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摘要：探讨利用Matlab 软件可视化复变函数的教学心得，旨在加深学生对知识的理解，提高教师课堂教学效果。
关键词：可视化 复变函数 教学实践
随着科技的发展，计算机已经走入千家万户，高校教学手段也发生了相应地改变，越来越多的教师尝试将数学课程与计算机结合起来，通过可视化手段增强学生对抽象的数学问题的理解，锻炼学生的自我动手能力，这也是高校教学改革的一个重要方面。复变函数是高等数学的一个重要分支，是很多专业的基础课程，该课程内容抽象，定理证明复杂，大部分教材侧重理论分析，复变函数可视化内容难得一见。
目前对于复变函数可视化教学实践主要包含理论分析、计算机编程、教育意义的思考等，不仅从理论上探讨了可视化的可行性与重要性，还从教学实践的层面上分析了可视化在教学中所存在的问题及相应的对策，有很多一线教师总结了复变函数可视化教学的实施经验，还开发了一系列有创意的可操作的课题学习案例，其中有来自于数学知识内部的，也有来自于实际生活中的，甚至还有和其它学科相关联的课题等等。本文是作者根据自己教授《复变函数》的教学实践，总结的一些教学心得。
1 复变函数可视化有利于学生熟练掌握计算机编程语言
复变函数的可视化需要借助计算机来实现，因此教师和学生本身必须熟悉计算机编程语言。原则上，可以通过C，FORTRAN等语言来实现，但是基于成本考虑，个人更倾向于Matlab语言编程。Matlab 是美国MathWorks 公司20 世纪80 年代中期推出的数学软件，优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在数学软件中脱颖而出。由于Matlab不区分实数、复数和整数之间的区别，所有数都采用双精度表示，再加上Matlab中具有丰富的数学函数库使得计算更加简便，所以利用Matlab 编写复变函数程序更加方便，实现复变函数的数据计算以及图形显示更加快捷。在《复变函数》教学中Matlab的应用非常广泛，可以用来可视化函数，计算残数，分析傅里叶级数，理解平面场问题，应用到傅里叶变换和拉普拉斯变换中等，有兴趣的读者可以参考文献[1]。将Matlab 应用到《复变函数》教学中，可以简化计算过程，直观地表示函数及表达式的图形，使抽象的数学知识变得生动、形象。这样就很容易激发学生的学习兴趣，同时在利用Matlab进行计算和绘图的过程中，需要学生自己参与编程，这也培养了学生的创新精神和创新能力，有效地提高了教学效果， 增强了学生计算机编程的能力。
2 复变函数可视化有利于培养学生空间想象能力
众所周知，一元实变量函数y=f（x）表示平面xy上的一条曲线；二元实变量函数z=f（x，y）表示空间xyz上的一个曲面。而对于复变函数w=f（z）來说不再那么简单，因为假设z=x+iy（其中i为虚数单位）为复变量，函数w=f（z）通过整理可以表示为w=u（x，y）+iv（x，y），其实部u（x，y）和虚部v（x，y）都是二元实变量函数，如果要画出复变函数的图像，就需要四个量表示，显然三维图形是不能完整地表现复变函数的图像。例如：w=z2=（x+y）2=x2-y2+i2xy，这里w的实部u（x，y）=x2-y2，w的虚部v（x，y）=2xy，显然w对应两个二元实函数，很难在一个图形上表示出来。为了克服这样的困难，Matlab表现四维空间数据的方法是用三个空间坐标再加上颜色。具体画法是以xy平面表示自变量所在复平面，z轴表示复变函数值的实部，将复变函数虚部值和颜色建立一一对应关系，可以通过colorbar来注明各个颜色代表的数值，具体的复变函数matlab编程读者可以参考文献[2]。为了使读者更好地理解复变函数可视化的思想，可以在Matlab指令窗口输入以下程序
>>z=cplxgrid（30）；%建立（30+1）*（2*30+1）的复数的极坐标下的数据网格
>>cplxmap（z，z.^2）；%画出w=z2的图形
>>colorbar（‘vert’）；%在竖直方向标出颜色对应的数值
>>title（‘w=z^2’）；%给图像标出题目w=z2
就可以画出w=z2的图像了。对四维空间几何图形的表示，学生才开始理解起来比较困难，教师一方面需要反复讲解四维空间几何图形的表示方法，另一方面也要讲明白实部和虚部所表示的物理意义。例如电场w=u（x，y）+iv（x，y）实部u虚部v分别表示力函数和势函数，有定理保证了等势线与等离线在相交处相互垂直，结合图形，同学们可以大致观察出电场强度和受力情况，加深对场论的理解。受到四维空间的几何图形表示方法的启发，我们就可以引导学生表示更高维数空间的几何图形，例如引入时间变量，加入动态效果，添加声音等措施。这样不仅培养了学生空间想象能力，也激发学生探索知识的兴趣。
3 复变函数可视化有利于帮助学生深入理解课程内容
复变函数中，多值函数的内容是一个难点，处理起来相对棘手，我们可以借助可视化方法，让学生观察图像，看出多值函数的性质，引导学生寻找化复杂数学问题为简单数学问题的方法。例如通过让学生观察w=■图形，提出为什么需要引入支点，支割线的概念[3]。实际上支点，支割线的概念主要用来转化多值函数为多个单值分支，每个单值分支都是单值解析函数，从而将复杂问题简单化。可视化过程其实就是数形结合的过程，在教学实践中运用严谨的代数推理并结合形象直观的图形，可以将某些抽象的概念解释得清楚明了，并给学生留下形象直观的感性认识，也为他们进一步深入理解这些抽象概念提供了一个思考分析的几何模型。作为教师，应进一步更新观念，引导学生在积极主动的探索过程中，寻找数形结合的切入点，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程。同时努力提高自身的数学素养，深入钻研教材，抓准数形结合思想与相关知识的切合点，创设适当的问题情境，引导学生探索解决问题的办法，让学生在数学学习的活动中逐步提高创造性思维，从而达到授人以渔的效果。
总之，根据《复变函数》课程的特点，讲授这门课程必须坚持理论联系实际，学生的重点不仅在于书本知识的掌握，更应着眼于能力的培养与提高。有效地利用Matlab 软件，既能丰富教学过程，又有利于学生对数学问题的直观认识和理解，提高了教学效果。因此教师要侧重引导学生学习数学的一些带有普遍意义的思维方法，而不要仅仅满足于学习一些数学知识和个别技巧，更不要满足于对个别实例的机械模仿。当然，如何结合Matlab完善《复变函数》的教学工作，还值得进一步深入探究。
参考文献：
[1]杨冰，闫循领.浅谈Matlab在《复变函数》教学中的应用[J].科技信息，（2010）414-416.
[2]彭芳麟，数学物理方程的Matlab解法与可视化[M].北京：清华大学出版社，2004.
[3]余家荣，复变函数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2007.
关键词：可视化 复变函数 教学实践
随着科技的发展，计算机已经走入千家万户，高校教学手段也发生了相应地改变，越来越多的教师尝试将数学课程与计算机结合起来，通过可视化手段增强学生对抽象的数学问题的理解，锻炼学生的自我动手能力，这也是高校教学改革的一个重要方面。复变函数是高等数学的一个重要分支，是很多专业的基础课程，该课程内容抽象，定理证明复杂，大部分教材侧重理论分析，复变函数可视化内容难得一见。
目前对于复变函数可视化教学实践主要包含理论分析、计算机编程、教育意义的思考等，不仅从理论上探讨了可视化的可行性与重要性，还从教学实践的层面上分析了可视化在教学中所存在的问题及相应的对策，有很多一线教师总结了复变函数可视化教学的实施经验，还开发了一系列有创意的可操作的课题学习案例，其中有来自于数学知识内部的，也有来自于实际生活中的，甚至还有和其它学科相关联的课题等等。本文是作者根据自己教授《复变函数》的教学实践，总结的一些教学心得。
1 复变函数可视化有利于学生熟练掌握计算机编程语言
复变函数的可视化需要借助计算机来实现，因此教师和学生本身必须熟悉计算机编程语言。原则上，可以通过C，FORTRAN等语言来实现，但是基于成本考虑，个人更倾向于Matlab语言编程。Matlab 是美国MathWorks 公司20 世纪80 年代中期推出的数学软件，优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在数学软件中脱颖而出。由于Matlab不区分实数、复数和整数之间的区别，所有数都采用双精度表示，再加上Matlab中具有丰富的数学函数库使得计算更加简便，所以利用Matlab 编写复变函数程序更加方便，实现复变函数的数据计算以及图形显示更加快捷。在《复变函数》教学中Matlab的应用非常广泛，可以用来可视化函数，计算残数，分析傅里叶级数，理解平面场问题，应用到傅里叶变换和拉普拉斯变换中等，有兴趣的读者可以参考文献[1]。将Matlab 应用到《复变函数》教学中，可以简化计算过程，直观地表示函数及表达式的图形，使抽象的数学知识变得生动、形象。这样就很容易激发学生的学习兴趣，同时在利用Matlab进行计算和绘图的过程中，需要学生自己参与编程，这也培养了学生的创新精神和创新能力，有效地提高了教学效果， 增强了学生计算机编程的能力。
2 复变函数可视化有利于培养学生空间想象能力
众所周知，一元实变量函数y=f（x）表示平面xy上的一条曲线；二元实变量函数z=f（x，y）表示空间xyz上的一个曲面。而对于复变函数w=f（z）來说不再那么简单，因为假设z=x+iy（其中i为虚数单位）为复变量，函数w=f（z）通过整理可以表示为w=u（x，y）+iv（x，y），其实部u（x，y）和虚部v（x，y）都是二元实变量函数，如果要画出复变函数的图像，就需要四个量表示，显然三维图形是不能完整地表现复变函数的图像。例如：w=z2=（x+y）2=x2-y2+i2xy，这里w的实部u（x，y）=x2-y2，w的虚部v（x，y）=2xy，显然w对应两个二元实函数，很难在一个图形上表示出来。为了克服这样的困难，Matlab表现四维空间数据的方法是用三个空间坐标再加上颜色。具体画法是以xy平面表示自变量所在复平面，z轴表示复变函数值的实部，将复变函数虚部值和颜色建立一一对应关系，可以通过colorbar来注明各个颜色代表的数值，具体的复变函数matlab编程读者可以参考文献[2]。为了使读者更好地理解复变函数可视化的思想，可以在Matlab指令窗口输入以下程序
>>z=cplxgrid（30）；%建立（30+1）*（2*30+1）的复数的极坐标下的数据网格
>>cplxmap（z，z.^2）；%画出w=z2的图形
>>colorbar（‘vert’）；%在竖直方向标出颜色对应的数值
>>title（‘w=z^2’）；%给图像标出题目w=z2
就可以画出w=z2的图像了。对四维空间几何图形的表示，学生才开始理解起来比较困难，教师一方面需要反复讲解四维空间几何图形的表示方法，另一方面也要讲明白实部和虚部所表示的物理意义。例如电场w=u（x，y）+iv（x，y）实部u虚部v分别表示力函数和势函数，有定理保证了等势线与等离线在相交处相互垂直，结合图形，同学们可以大致观察出电场强度和受力情况，加深对场论的理解。受到四维空间的几何图形表示方法的启发，我们就可以引导学生表示更高维数空间的几何图形，例如引入时间变量，加入动态效果，添加声音等措施。这样不仅培养了学生空间想象能力，也激发学生探索知识的兴趣。
3 复变函数可视化有利于帮助学生深入理解课程内容
复变函数中，多值函数的内容是一个难点，处理起来相对棘手，我们可以借助可视化方法，让学生观察图像，看出多值函数的性质，引导学生寻找化复杂数学问题为简单数学问题的方法。例如通过让学生观察w=■图形，提出为什么需要引入支点，支割线的概念[3]。实际上支点，支割线的概念主要用来转化多值函数为多个单值分支，每个单值分支都是单值解析函数，从而将复杂问题简单化。可视化过程其实就是数形结合的过程，在教学实践中运用严谨的代数推理并结合形象直观的图形，可以将某些抽象的概念解释得清楚明了，并给学生留下形象直观的感性认识，也为他们进一步深入理解这些抽象概念提供了一个思考分析的几何模型。作为教师，应进一步更新观念，引导学生在积极主动的探索过程中，寻找数形结合的切入点，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程。同时努力提高自身的数学素养，深入钻研教材，抓准数形结合思想与相关知识的切合点，创设适当的问题情境，引导学生探索解决问题的办法，让学生在数学学习的活动中逐步提高创造性思维，从而达到授人以渔的效果。
总之，根据《复变函数》课程的特点，讲授这门课程必须坚持理论联系实际，学生的重点不仅在于书本知识的掌握，更应着眼于能力的培养与提高。有效地利用Matlab 软件，既能丰富教学过程，又有利于学生对数学问题的直观认识和理解，提高了教学效果。因此教师要侧重引导学生学习数学的一些带有普遍意义的思维方法，而不要仅仅满足于学习一些数学知识和个别技巧，更不要满足于对个别实例的机械模仿。当然，如何结合Matlab完善《复变函数》的教学工作，还值得进一步深入探究。
参考文献：
[1]杨冰，闫循领.浅谈Matlab在《复变函数》教学中的应用[J].科技信息，（2010）414-416.
[2]彭芳麟，数学物理方程的Matlab解法与可视化[M].北京：清华大学出版社，2004.
[3]余家荣，复变函数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2007.