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【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089 (2012)01-0097-02
运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。另外物理极值，实质是针对某一物理现象的动态范围、发展变化趋势及其极限，这是由物理条件所制约的。物理极值，经常表现为物理约束条件下的最大或最小值，这与数学极值有本质的区别。就思维表现看，求极值过程是归纳和演绎综合运用过程。在错综复杂的变化条件中，要归纳出一般的状态表现，又要在此基础上，经演绎推理，寻求特殊的极端模型。这也是建立理想化模型，也要理想化。显然，解极值过程是综合运用几种常规的思维方法的高层次的思维过程。下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。
1 利用三角函数求极值
如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asinαcosα”的形式，则y=12Asin2α，在α=45°时，y有极值A2。
例1：如图1所示。一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大?最大值是多少?
［解析］：设圆弧半径为R，当小球运动到重力mg与半径夹角为θ时，速度为V，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：
12mV2=mgRcosθ
N-mgcosθ=mV2R
解得小球对小车的压力为：N=3mgcosθ，其水平分量为：Nx=3mgsinθcosθ=32mgsin2θ
根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：f=Nx=32mgsin2θ
可以看出：当sin2θ=1,即θ=45°时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：fmax=32
2 用图象法求极值
通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。
例2：甲、乙两物体同时、同地、同向由静止出发，甲做匀加速直线运动，加速度为4米／秒2，4秒后改为匀速直线运动；乙做匀加速直线运动，加速度为2米／秒2，10秒后改为匀速直线运动，求乙追上甲之前它们之间的最大距离。
［解析］：运用物理规律和图形相结合求极值．是常用的一种比较直观的方法。由题意可知，4秒后甲做匀速直线运动的速度为：V甲=a甲t甲＝44＝16(m／s)。
乙10秒后做匀速运动的速度为：V乙＝a乙t乙＝210＝20(m／s)。
可画出v—t如上图4所示。图线在A(8，16)点相交，这表明在t＝8秒时，两物体的速度相等，因此．在t＝8秒时，两者间的距离最大。此时两图线所围观积之差，就是两者间的最大距离。
即Smax＝12416 + 416-12×8×16＝32(m)。
3 利用一元二次方程判别式△=b2－4ac≥O求极值
对于二次函数y=ax2+bx+c，用判别式法利用Δ＝b2-4ac≥0。(式中含y)
若y≥A，则ymin＝A。
若y≤A，则ymax＝A。
例3：在一平直较窄的公路上，一辆汽车正以22m/s的速度匀速行驶，正前方有一辆自行车以4m/s的速度同向匀速行驶，汽车刹车的最大加速度为6m／s2，试分析两车不相撞的条件。
［解析］要使二者不相撞，则二者在任一时间内的位移关系应满足
V0t-12at2 代入数据整理得：3t2-18t+S>0，
显然，当满足＝b2-4ac0，即＝182-43S0得：S27m，Smin=27m。当汽车刹车时与自行车间距为27米时是汽车不与自行车相撞的条件。
4 利用配方法求极值
对于二次函数y=ax2+bx+c，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：（1）当x＝A时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = －( x-A)2+常数。（2）当x＝A时，常数为极大值。
例4：如图4所示，光滑轨道竖直放置，半圆部分的半径为R，在水平轨道上停着一质量为M=0.99kg的木块。一质量为0.01lkg的子弹以v=400m／s的水平速度射入木块中，然后一起运动到最高点水平抛出。问圆半径R为多大时平抛出的距离最远并？求此最大值。
［解析］：子弹和木快碰后一起运动，则碰后速度v’=mv／(m+M)=4m／s。当木块运动到最高点时，由机械能守恒得此时速度v 1满足：
(m+M)v12/2=(m+M)v’2／2－2(m+M)g R得v1=(16—40R)1/2 (单位略)，而t可以用平抛的知识求解得到，那么平抛距离可写成：
s=v1 t=4(0.4R—R2)1/2 ≤0.8m(R=0.2m时取得最大值)。
5 其他求极值方法
（1）利用排列组合求极值； （2）利用临界条件求极值； （3）利用几何法求极值；
上述方法中可看出灵活应用数学手段是解题的保证。但题中关键条件要靠物理分析得出，其结果也必是物理解。物理极值问题要求有很强的思维能力，应当有针对性地训练，有意识地掌握几种求极值的方法，是很必要的。而处理的基本思路和方法在于，首先应根据题目情境建立一个合适的模型和数学方程，再借用数学上求极值的方法求解。当然，此过程中应注意物理约束条件对各变量的制约关系。以及题目中的条件及“界”的范围。
运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。另外物理极值，实质是针对某一物理现象的动态范围、发展变化趋势及其极限，这是由物理条件所制约的。物理极值，经常表现为物理约束条件下的最大或最小值，这与数学极值有本质的区别。就思维表现看，求极值过程是归纳和演绎综合运用过程。在错综复杂的变化条件中，要归纳出一般的状态表现，又要在此基础上，经演绎推理，寻求特殊的极端模型。这也是建立理想化模型，也要理想化。显然，解极值过程是综合运用几种常规的思维方法的高层次的思维过程。下面重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。
1 利用三角函数求极值
如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asinαcosα”的形式，则y=12Asin2α，在α=45°时，y有极值A2。
例1：如图1所示。一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大?最大值是多少?
［解析］：设圆弧半径为R，当小球运动到重力mg与半径夹角为θ时，速度为V，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：
12mV2=mgRcosθ
N-mgcosθ=mV2R
解得小球对小车的压力为：N=3mgcosθ，其水平分量为：Nx=3mgsinθcosθ=32mgsin2θ
根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：f=Nx=32mgsin2θ
可以看出：当sin2θ=1,即θ=45°时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为：fmax=32
2 用图象法求极值
通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。
例2：甲、乙两物体同时、同地、同向由静止出发，甲做匀加速直线运动，加速度为4米／秒2，4秒后改为匀速直线运动；乙做匀加速直线运动，加速度为2米／秒2，10秒后改为匀速直线运动，求乙追上甲之前它们之间的最大距离。
［解析］：运用物理规律和图形相结合求极值．是常用的一种比较直观的方法。由题意可知，4秒后甲做匀速直线运动的速度为：V甲=a甲t甲＝44＝16(m／s)。
乙10秒后做匀速运动的速度为：V乙＝a乙t乙＝210＝20(m／s)。
可画出v—t如上图4所示。图线在A(8，16)点相交，这表明在t＝8秒时，两物体的速度相等，因此．在t＝8秒时，两者间的距离最大。此时两图线所围观积之差，就是两者间的最大距离。
即Smax＝12416 + 416-12×8×16＝32(m)。
3 利用一元二次方程判别式△=b2－4ac≥O求极值
对于二次函数y=ax2+bx+c，用判别式法利用Δ＝b2-4ac≥0。(式中含y)
若y≥A，则ymin＝A。
若y≤A，则ymax＝A。
例3：在一平直较窄的公路上，一辆汽车正以22m/s的速度匀速行驶，正前方有一辆自行车以4m/s的速度同向匀速行驶，汽车刹车的最大加速度为6m／s2，试分析两车不相撞的条件。
［解析］要使二者不相撞，则二者在任一时间内的位移关系应满足
V0t-12at2
显然，当满足＝b2-4ac0，即＝182-43S0得：S27m，Smin=27m。当汽车刹车时与自行车间距为27米时是汽车不与自行车相撞的条件。
4 利用配方法求极值
对于二次函数y=ax2+bx+c，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+常数：（1）当x＝A时，常数为极小值；或者函数解析式经配方可变为y = －( x-A)2+常数。（2）当x＝A时，常数为极大值。
例4：如图4所示，光滑轨道竖直放置，半圆部分的半径为R，在水平轨道上停着一质量为M=0.99kg的木块。一质量为0.01lkg的子弹以v=400m／s的水平速度射入木块中，然后一起运动到最高点水平抛出。问圆半径R为多大时平抛出的距离最远并？求此最大值。
［解析］：子弹和木快碰后一起运动，则碰后速度v’=mv／(m+M)=4m／s。当木块运动到最高点时，由机械能守恒得此时速度v 1满足：
(m+M)v12/2=(m+M)v’2／2－2(m+M)g R得v1=(16—40R)1/2 (单位略)，而t可以用平抛的知识求解得到，那么平抛距离可写成：
s=v1 t=4(0.4R—R2)1/2 ≤0.8m(R=0.2m时取得最大值)。
5 其他求极值方法
（1）利用排列组合求极值； （2）利用临界条件求极值； （3）利用几何法求极值；
上述方法中可看出灵活应用数学手段是解题的保证。但题中关键条件要靠物理分析得出，其结果也必是物理解。物理极值问题要求有很强的思维能力，应当有针对性地训练，有意识地掌握几种求极值的方法，是很必要的。而处理的基本思路和方法在于，首先应根据题目情境建立一个合适的模型和数学方程，再借用数学上求极值的方法求解。当然，此过程中应注意物理约束条件对各变量的制约关系。以及题目中的条件及“界”的范围。