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摘 要：本文通过分析高等数学中的Rolle定理，探讨了高等数学学习过程中遇到的一些问题，提出把高等数学的艺术性充分的发挥出来，从而刺激学习者的学习兴趣这一观念。
关键词：高等数学 艺术性 Rolle定理 重现
在高等数学的教学与学习中，不可避免的要遇到"听不懂，学不会，算不出"的问题。而在求解的过程中，一道题要花一小时甚至更久的现象也愈发频繁，这就让有些学生甚至教师感到沮丧。有人不禁会想，花上这么久的时间，仅仅为了算一道数学题，解决不了任何实际生活中的问题，这未免代价太大了。于是就有了越来越多的人慢慢的放弃了高等数学。
事实上，高等数学虽然表面与生活联系不大，却可以培养学生的逻辑思维推理能力，建立数学模型能力，运算能力，抽象思维能力等等。高等数学中的概念、定理和方法，尽管条理清楚，思维严密，却不易深入掌握。作为教师已适应了这种体系，可对学生（初学者）来说，很难马上适应这种不明目的抽象理论及其严密论证。势必造成学生难以理解，进而越听越糊徐，导致厌学。因此，如果能够在教学的过程中，一方面向学生阐述高等数学对于思维能力的重要用处；另一方面让学生发现高等数学中所蕴含的"艺术性"，使学生能够带着欣赏的眼光来认识这些概念和定理，这样就能够充分刺激学生的学习兴趣，甚至对于一些复杂的问题，学生遇到困难时心里可能会这样想："一件艺术品，总不可能一眼就看出其艺术性吧。"从而有动力来进行深入的剖析。
高等数学中我们所接触的几乎所有概念与定理，就其理论的严密性和结构的完整性来说，其实都是一件件的艺术品，是之前的伟大数学家们呕心沥血的杰作。只不过我们现在看到的只是最后的成品，看不到创造这些艺术品的艰辛过程。如果能够在教学过程中，给学生重现这些过程，并一步步的让学生体验要做到毫无漏洞所需要的努力，最后将一个完整的定理展现给学生。就像一幅美术作品一样，了解了作画的过程，中间的每一个细节，并且看到了最后的作品，再加以语言的引导，所谓欣赏艺术的眼光自然就产生了。下面我通过一个定理的讲授来简单说明一下这个过程。
例、Rolle定理：
如果函数f（x） 满足：
1.在闭区间[a ，b]上连续，
2.在开区间（a，b） 内可导，
3.在区间端点的函数值相等，即f（a）=f（b） ，
那么在（a，b） 内至少有一点€%g （a<€%g 这个定理的条件有三个，结论是找到至少一个一阶导数为零的点，即驻点。如果按照定理顺序，向学生一一讲解条件和结论，很难让学生脑子里产生对应，学生也许会记住这些结论，但形不成具体的印象。
那么如何用尽量具体的语言描述这个定理，并且在这个过程中体现出其艺术价值呢？
首先，画一条连续并且光滑的曲线（这里刻意的不画直线，最好多拐几个弯），并用一条水平的直线来截取。让同学们看着这条曲线思考，如果这条曲线想做到"两端一样高"，那么它至少要拐一个弯。对于这样一个问题，事实上就是Rolle定理的本质内容。光滑即可导，端点函数值相等即两端一样高，导数等于零的点即能够做出一条水平的切线，其实就是拐弯处的点。到这里，具体的对应就产生了，然而学生心里可能会觉得太容易，甚至有些不屑，如此简单的问题也能称得上是定理？艺术就更不必提了。
随后我们开始一起分析这个定理产生的过程和中间遇到的困难。事实上这个定理并不是Rolle发明的，他只是发现了这个问题的前身，是由后来的数学家不断加以完善，最后为了纪念他提出的原始问题，才冠以他的名字的。我向学生们介绍这一过程并在中间略微修改，让学生更加易懂。原始问题是：两端一样高的光滑曲线，中间一定会拐弯。请同学们讨论这个命题的正确性，并和最后的定理加以对照，其实我们就是在重现定理产生的过程。
就像一件艺术品一样，首先是一个朴素的想法或模型，然后逐步加以修正，把能够发现的瑕疵全都找到并且完善，最后成型。
如此简单的一个原始问题，但中间却有很大的漏洞。
提问：如果曲线不是连续的，即有间断点，会遇到什么问题？同学们自己动手开始画一画，有的人画出的曲线仍然是拐弯的，但有的人就会发现问题所在：如果在拐弯处恰巧断开呢？事实上，这一"恰巧断开"就是第一个瑕疵。为了避免这个漏洞，才加上了连续性的条件。
到这里似乎就没什么漏洞了，现在把修补后的原始问题再次阐述："一条连续的，两端一样高的光滑曲线，中间一定会拐弯。"同学们对比定理内容，找出区别。细心的同学会发现，定理的前两个条件都在强调区间端点处的连续和可导的情况。补充提问，如果把定理的前2个条件就写成："在闭区间上连续并且可导"，定理的结论是否成立？答案当然是肯定的。但这样的话条件未免有点太"强"了，这时就进一步显出了这个定理的艺术性，要做到毫无漏洞，并不是一味的加强条件，而是尽可能的让条件减弱并使结论成立，从而使得定理的用途尽可能的广泛。这时再画一段两端一样高的曲线，中间光滑，但两端画成有"尖"的。让同学们思考，这两端的"尖"是否影响了曲线一定会拐弯这一结论？答案是否定的，也就是第2个条件的完善："在开区间内可导"即可。
条件的完善其实就是定理的形成过程，也就是对艺术品的修饰。这时回顾一下这个定理，条件的加强和减弱都是一种艺术行为，并且再看看条件还是否可以有所修改。
这时有同学会提问，或者心里会有所思考，再或者教师进一步提问："那干脆把两个条件都改成开区间好了。"事实上这一过程已经显现出了大家对艺术的追求和探索，也对这个定理的理解层面有了进一步的加深。如果把条件1改成"开区间内连续"，请同学们还是自己画一画，看结果能否成立。这时可能大多数同学都会说不影响结果，因为这确实是一个很难发现的问题。进一步加以引导，要画成开区间内连续，但两个端点是间断的这种情况，看看是否一定能够拐弯。有可能就会有人成功的画出了反例：没有拐弯但一个端点是空心的，取值与另一端一样高的情况。
因此，要想使定理的条件做到恰到好处，需要不断的加以修正，这种严密的思维正是高等数学的精髓所在，也是每一种艺术要想达到极致所必须具备的条件之一。
这个定理到这里也就基本学习完毕，大家一起探索，思考，对条件加以分析和修改，不断的反复试验，最后终于得到了最严密的结论。这时再请回顾整个过程，就像我们一起完成了一件艺术作品一样，成就感不言而喻。当然，有同学会提出一些自己的看法和问题，也可以大家一起继续讨论。
高等数学作为一门工具性学科，很容易就陷入理论与实际脱节的怪圈，同学们的学习也因此变得"空对空"。认为数学没用，将来自己绝不会走数学这条路的同学不占少数，这虽然有可能是学生们不愿学习的借口，但却在某些方面是事实。因此，对于看起来"没用"的数学，如果实在不能把它变得"有用"，那么用欣赏的眼光来看待它，发现它内部的艺术性，总比把它看作是一些枯燥无味的符号要好的多，毕竟艺术品们究竟有多大的用处，也很难讲，不是吗？
参考文献：
[1]徐涛，李海青.《提高高等数学教学的艺术性》《青海师专学报》2003年 第6期31-32页
[2]郭跃进.《论提高高等数学教学的科学性和艺术性》《常熟理工学院学报》2008年第22卷第6期
[3]郑隆炘.形象灵感审美与数学创造[M].武汉：湖北教育出版社，1990.149-150.
作者简介：孙刚，男，汉族，河南人， 硕士研究生， 现就职于郑州工业贸易学校，助理讲师。杨敏，女，硕士研究生，现就职于新乡医学院计算机教研室。
关键词：高等数学 艺术性 Rolle定理 重现
在高等数学的教学与学习中，不可避免的要遇到"听不懂，学不会，算不出"的问题。而在求解的过程中，一道题要花一小时甚至更久的现象也愈发频繁，这就让有些学生甚至教师感到沮丧。有人不禁会想，花上这么久的时间，仅仅为了算一道数学题，解决不了任何实际生活中的问题，这未免代价太大了。于是就有了越来越多的人慢慢的放弃了高等数学。
事实上，高等数学虽然表面与生活联系不大，却可以培养学生的逻辑思维推理能力，建立数学模型能力，运算能力，抽象思维能力等等。高等数学中的概念、定理和方法，尽管条理清楚，思维严密，却不易深入掌握。作为教师已适应了这种体系，可对学生（初学者）来说，很难马上适应这种不明目的抽象理论及其严密论证。势必造成学生难以理解，进而越听越糊徐，导致厌学。因此，如果能够在教学的过程中，一方面向学生阐述高等数学对于思维能力的重要用处；另一方面让学生发现高等数学中所蕴含的"艺术性"，使学生能够带着欣赏的眼光来认识这些概念和定理，这样就能够充分刺激学生的学习兴趣，甚至对于一些复杂的问题，学生遇到困难时心里可能会这样想："一件艺术品，总不可能一眼就看出其艺术性吧。"从而有动力来进行深入的剖析。
高等数学中我们所接触的几乎所有概念与定理，就其理论的严密性和结构的完整性来说，其实都是一件件的艺术品，是之前的伟大数学家们呕心沥血的杰作。只不过我们现在看到的只是最后的成品，看不到创造这些艺术品的艰辛过程。如果能够在教学过程中，给学生重现这些过程，并一步步的让学生体验要做到毫无漏洞所需要的努力，最后将一个完整的定理展现给学生。就像一幅美术作品一样，了解了作画的过程，中间的每一个细节，并且看到了最后的作品，再加以语言的引导，所谓欣赏艺术的眼光自然就产生了。下面我通过一个定理的讲授来简单说明一下这个过程。
例、Rolle定理：
如果函数f（x） 满足：
1.在闭区间[a ，b]上连续，
2.在开区间（a，b） 内可导，
3.在区间端点的函数值相等，即f（a）=f（b） ，
那么在（a，b） 内至少有一点€%g （a<€%g
那么如何用尽量具体的语言描述这个定理，并且在这个过程中体现出其艺术价值呢？
首先，画一条连续并且光滑的曲线（这里刻意的不画直线，最好多拐几个弯），并用一条水平的直线来截取。让同学们看着这条曲线思考，如果这条曲线想做到"两端一样高"，那么它至少要拐一个弯。对于这样一个问题，事实上就是Rolle定理的本质内容。光滑即可导，端点函数值相等即两端一样高，导数等于零的点即能够做出一条水平的切线，其实就是拐弯处的点。到这里，具体的对应就产生了，然而学生心里可能会觉得太容易，甚至有些不屑，如此简单的问题也能称得上是定理？艺术就更不必提了。
随后我们开始一起分析这个定理产生的过程和中间遇到的困难。事实上这个定理并不是Rolle发明的，他只是发现了这个问题的前身，是由后来的数学家不断加以完善，最后为了纪念他提出的原始问题，才冠以他的名字的。我向学生们介绍这一过程并在中间略微修改，让学生更加易懂。原始问题是：两端一样高的光滑曲线，中间一定会拐弯。请同学们讨论这个命题的正确性，并和最后的定理加以对照，其实我们就是在重现定理产生的过程。
就像一件艺术品一样，首先是一个朴素的想法或模型，然后逐步加以修正，把能够发现的瑕疵全都找到并且完善，最后成型。
如此简单的一个原始问题，但中间却有很大的漏洞。
提问：如果曲线不是连续的，即有间断点，会遇到什么问题？同学们自己动手开始画一画，有的人画出的曲线仍然是拐弯的，但有的人就会发现问题所在：如果在拐弯处恰巧断开呢？事实上，这一"恰巧断开"就是第一个瑕疵。为了避免这个漏洞，才加上了连续性的条件。
到这里似乎就没什么漏洞了，现在把修补后的原始问题再次阐述："一条连续的，两端一样高的光滑曲线，中间一定会拐弯。"同学们对比定理内容，找出区别。细心的同学会发现，定理的前两个条件都在强调区间端点处的连续和可导的情况。补充提问，如果把定理的前2个条件就写成："在闭区间上连续并且可导"，定理的结论是否成立？答案当然是肯定的。但这样的话条件未免有点太"强"了，这时就进一步显出了这个定理的艺术性，要做到毫无漏洞，并不是一味的加强条件，而是尽可能的让条件减弱并使结论成立，从而使得定理的用途尽可能的广泛。这时再画一段两端一样高的曲线，中间光滑，但两端画成有"尖"的。让同学们思考，这两端的"尖"是否影响了曲线一定会拐弯这一结论？答案是否定的，也就是第2个条件的完善："在开区间内可导"即可。
条件的完善其实就是定理的形成过程，也就是对艺术品的修饰。这时回顾一下这个定理，条件的加强和减弱都是一种艺术行为，并且再看看条件还是否可以有所修改。
这时有同学会提问，或者心里会有所思考，再或者教师进一步提问："那干脆把两个条件都改成开区间好了。"事实上这一过程已经显现出了大家对艺术的追求和探索，也对这个定理的理解层面有了进一步的加深。如果把条件1改成"开区间内连续"，请同学们还是自己画一画，看结果能否成立。这时可能大多数同学都会说不影响结果，因为这确实是一个很难发现的问题。进一步加以引导，要画成开区间内连续，但两个端点是间断的这种情况，看看是否一定能够拐弯。有可能就会有人成功的画出了反例：没有拐弯但一个端点是空心的，取值与另一端一样高的情况。
因此，要想使定理的条件做到恰到好处，需要不断的加以修正，这种严密的思维正是高等数学的精髓所在，也是每一种艺术要想达到极致所必须具备的条件之一。
这个定理到这里也就基本学习完毕，大家一起探索，思考，对条件加以分析和修改，不断的反复试验，最后终于得到了最严密的结论。这时再请回顾整个过程，就像我们一起完成了一件艺术作品一样，成就感不言而喻。当然，有同学会提出一些自己的看法和问题，也可以大家一起继续讨论。
高等数学作为一门工具性学科，很容易就陷入理论与实际脱节的怪圈，同学们的学习也因此变得"空对空"。认为数学没用，将来自己绝不会走数学这条路的同学不占少数，这虽然有可能是学生们不愿学习的借口，但却在某些方面是事实。因此，对于看起来"没用"的数学，如果实在不能把它变得"有用"，那么用欣赏的眼光来看待它，发现它内部的艺术性，总比把它看作是一些枯燥无味的符号要好的多，毕竟艺术品们究竟有多大的用处，也很难讲，不是吗？
参考文献：
[1]徐涛，李海青.《提高高等数学教学的艺术性》《青海师专学报》2003年 第6期31-32页
[2]郭跃进.《论提高高等数学教学的科学性和艺术性》《常熟理工学院学报》2008年第22卷第6期
[3]郑隆炘.形象灵感审美与数学创造[M].武汉：湖北教育出版社，1990.149-150.
作者简介：孙刚，男，汉族，河南人， 硕士研究生， 现就职于郑州工业贸易学校，助理讲师。杨敏，女，硕士研究生，现就职于新乡医学院计算机教研室。