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[摘要]发散性思维又称扩散性思维，表现为思维视野广阔，在数学教学中，教师需要激发学生学习数学的兴趣，墙养学生的发散性思维.提高学生的解题能力，以“师为主导，疑为主轴”，则是培养学生发散性思维的有效手段之一
[关键词]培养 发散性思维 一题多解 一题多变
[中图分类号] G633.6
[文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2016）02-0044
发散性思维是不依常规、寻求变异，对给出的材料和信息从不同角度、向不同方向、用不同方法或途径进行分析和解决问题的一种思维方式.长期以来.中学数学教学以集中思维为主要思维方式，课本上的题日和材料的呈现过程大都遵循一个模式，学生习惯于按照书上写的与教师教的方式去思考问题，用常规的思路和方法解决问题.这对基础知识与基本技能的掌握是必要的，但对中学生学习兴趣的激发、思维能力的发展，特别是创造性思维的发展，显然是不够的.而发散性思维正好反映了创造性思维“尽快联想，尽多作出假设和提出多种解决方案”的特点，因而成为创造性思维的一种主要形式.在中学数学教学的过程中，教师在培养学生逻辑思维能力的同时，也要有意识地培养学生的发散性思维.近几年来，我校进行了关于课堂教学的研究，笔者根据白身的教学实践，以一个具体案例来浅谈如何实践“师为主导，疑为主轴”，培养学生的发散性思维。
[题目]已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有_______条.
对于本题，学生易想到在空间取一点O，过O作a1//a，b1//b，从而得a1与b1所成的锐角为50°.如右图，∠AOB=50°，∠POA=∠POB=30°.这样，问题便转化为：这样的直线OP有多少条？
而对于这类题日，学生常出现束手无策的情况，教师若能作如下引导，便可以很快释疑.
师：请大家思考一下，P点在面AOB上的射影P，落在何处？
生：点P1落在∠AOB的平分线上.
师：请大家画出这个点.有何发现？
生：啊！这不是出现了我们熟悉的一个数学模型了吗？
师：什么模型？
生：在刚才的图形中，设∠POB=θ，∠POP1=θ1，∠BOP1=θ2，则有cOsθ=cOsθ1·cosθ2.
师：大家能告诉我，此时θ，θ1，θ2中，知道那个？求哪一个？
生：已知θ2=25°，θ=30°，求θ1.
师：那么，θ1=？
生：根据。cosθ=cosθ1·cosθ2，可知所以θ1存在.
师：θ1存在，说明什么问题？
生：说明直线OP存在.
师：请同学们给出答案.
生1：这样的直线OP有两条.
生2：还有两条！
师：为什么还有两条？
生2：此时θ2可能为65°，即OP的射影在∠AOB补角的平分线上.
师：很好，我们来尝试一下！
师（让学生练习，并给出结论）：此时有cOsθ1=>l，不可能再有，所以应有两条.
对于这个题目，本可以到此结束，但如果教师抓住这个教学契机，围绕生2提出的问题，进一步设疑的话，便可以解决这类问题，有助于培养学生的发散性思维.比如，教师可作如下处理.
师：若把刚才题日中的θ改为25°，65°，70°，情况会有怎样的变化？并给出图形.（让学生当堂练习）
生：用类似的方法，当θ=25°时，满足条件的直线有且只有一条，即直线OP是∠AOB的平分线所在的直线；当θ=65°时，满足条件的直线有且只有三条；当θ=70°时，满足条件的直线有且只有四条.
师：回答得很好！同学们，通过该题的练习，你能说出本题考查的知识点是什么吗？本题可以转化为什么？
生：考查立体几何中，直线和平面所成角的性质cosθ=cosθ1·COSθ2的应用，可以转化为三角函数的应用.
可见，教师在平时的教学过程中.不仅要给学生传授常规的解题方法与技巧，而且要培养学生的发散性思维.教师不应一味地讲解例题，而应挖掘例题的本质，通过变换条件、结论和图形等，让学生学会思考，学会在复杂的问题中随机应变，从而培养学生的发散性思维，提高学生解题的灵活性.
在中学数学教学过程中，笔者结合教学内容和学生的实际情况，采取以下四种形式的训练，培养学生思维的敏捷性和灵活性，以达到诱导学生发散思维，培养学生的发散性思维的日的.
1.一题多变.对题目中的条件、问题和情节作各种扩缩、对比或叙述形式的变化，让学生在各种变化的情境中，从不同角度认识数量关系.
2.一图多问.引导学生观察同一图形时，要从不同的角度、不同的方向仔细地观察图形、认识图形，从而理解知识.这样既能提高学生思维的灵活性，又能培养学生的发散性思维.
3.一题多议.创设某种数学情境，激发学生的学习兴趣，促使学生利用已有的知识、技能或经验解决问题，组织学生交流讨论，引起思维的碰撞.
4.一题多解.在条件和问题不变的情况下，让学生多角度、多方面地分析、思考问题，探求不同的解题途径.一题多解的训练是培养学生发散性思维的好方法.它可以通过纵横发散，将知识串联起来，帮助学生达到举一反三、融会贯通的日的.
综上所述，在中学数学教学中，我们要时刻注意培养学生的发散性思维.但是值得注意的是，如果片面地培养学生的发散性思维，就会有失偏颇.在思维向某一方向发散的过程中，仍然需要集中思维的配合，需要严谨的分析和合乎逻辑的推理.在发散的多种途径、多种方法中，我们也需要通过比较、判断，选择一种最简捷、最科学的方案.所以，思维的发散与集中犹如鸟之双翼，需要和谐配合，才能使学生的思维得到发展.
[关键词]培养 发散性思维 一题多解 一题多变
[中图分类号] G633.6
[文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2016）02-0044
发散性思维是不依常规、寻求变异，对给出的材料和信息从不同角度、向不同方向、用不同方法或途径进行分析和解决问题的一种思维方式.长期以来.中学数学教学以集中思维为主要思维方式，课本上的题日和材料的呈现过程大都遵循一个模式，学生习惯于按照书上写的与教师教的方式去思考问题，用常规的思路和方法解决问题.这对基础知识与基本技能的掌握是必要的，但对中学生学习兴趣的激发、思维能力的发展，特别是创造性思维的发展，显然是不够的.而发散性思维正好反映了创造性思维“尽快联想，尽多作出假设和提出多种解决方案”的特点，因而成为创造性思维的一种主要形式.在中学数学教学的过程中，教师在培养学生逻辑思维能力的同时，也要有意识地培养学生的发散性思维.近几年来，我校进行了关于课堂教学的研究，笔者根据白身的教学实践，以一个具体案例来浅谈如何实践“师为主导，疑为主轴”，培养学生的发散性思维。
[题目]已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有_______条.
对于本题，学生易想到在空间取一点O，过O作a1//a，b1//b，从而得a1与b1所成的锐角为50°.如右图，∠AOB=50°，∠POA=∠POB=30°.这样，问题便转化为：这样的直线OP有多少条？
而对于这类题日，学生常出现束手无策的情况，教师若能作如下引导，便可以很快释疑.
师：请大家思考一下，P点在面AOB上的射影P，落在何处？
生：点P1落在∠AOB的平分线上.
师：请大家画出这个点.有何发现？
生：啊！这不是出现了我们熟悉的一个数学模型了吗？
师：什么模型？
生：在刚才的图形中，设∠POB=θ，∠POP1=θ1，∠BOP1=θ2，则有cOsθ=cOsθ1·cosθ2.
师：大家能告诉我，此时θ，θ1，θ2中，知道那个？求哪一个？
生：已知θ2=25°，θ=30°，求θ1.
师：那么，θ1=？
生：根据。cosθ=cosθ1·cosθ2，可知所以θ1存在.
师：θ1存在，说明什么问题？
生：说明直线OP存在.
师：请同学们给出答案.
生1：这样的直线OP有两条.
生2：还有两条！
师：为什么还有两条？
生2：此时θ2可能为65°，即OP的射影在∠AOB补角的平分线上.
师：很好，我们来尝试一下！
师（让学生练习，并给出结论）：此时有cOsθ1=>l，不可能再有，所以应有两条.
对于这个题目，本可以到此结束，但如果教师抓住这个教学契机，围绕生2提出的问题，进一步设疑的话，便可以解决这类问题，有助于培养学生的发散性思维.比如，教师可作如下处理.
师：若把刚才题日中的θ改为25°，65°，70°，情况会有怎样的变化？并给出图形.（让学生当堂练习）
生：用类似的方法，当θ=25°时，满足条件的直线有且只有一条，即直线OP是∠AOB的平分线所在的直线；当θ=65°时，满足条件的直线有且只有三条；当θ=70°时，满足条件的直线有且只有四条.
师：回答得很好！同学们，通过该题的练习，你能说出本题考查的知识点是什么吗？本题可以转化为什么？
生：考查立体几何中，直线和平面所成角的性质cosθ=cosθ1·COSθ2的应用，可以转化为三角函数的应用.
可见，教师在平时的教学过程中.不仅要给学生传授常规的解题方法与技巧，而且要培养学生的发散性思维.教师不应一味地讲解例题，而应挖掘例题的本质，通过变换条件、结论和图形等，让学生学会思考，学会在复杂的问题中随机应变，从而培养学生的发散性思维，提高学生解题的灵活性.
在中学数学教学过程中，笔者结合教学内容和学生的实际情况，采取以下四种形式的训练，培养学生思维的敏捷性和灵活性，以达到诱导学生发散思维，培养学生的发散性思维的日的.
1.一题多变.对题目中的条件、问题和情节作各种扩缩、对比或叙述形式的变化，让学生在各种变化的情境中，从不同角度认识数量关系.
2.一图多问.引导学生观察同一图形时，要从不同的角度、不同的方向仔细地观察图形、认识图形，从而理解知识.这样既能提高学生思维的灵活性，又能培养学生的发散性思维.
3.一题多议.创设某种数学情境，激发学生的学习兴趣，促使学生利用已有的知识、技能或经验解决问题，组织学生交流讨论，引起思维的碰撞.
4.一题多解.在条件和问题不变的情况下，让学生多角度、多方面地分析、思考问题，探求不同的解题途径.一题多解的训练是培养学生发散性思维的好方法.它可以通过纵横发散，将知识串联起来，帮助学生达到举一反三、融会贯通的日的.
综上所述，在中学数学教学中，我们要时刻注意培养学生的发散性思维.但是值得注意的是，如果片面地培养学生的发散性思维，就会有失偏颇.在思维向某一方向发散的过程中，仍然需要集中思维的配合，需要严谨的分析和合乎逻辑的推理.在发散的多种途径、多种方法中，我们也需要通过比较、判断，选择一种最简捷、最科学的方案.所以，思维的发散与集中犹如鸟之双翼，需要和谐配合，才能使学生的思维得到发展.