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摘要： 对于非欧几何中的直线，中学生感到很难理解。为了便于他们对非欧几何有更直观的认识，本文从非欧几何的来源说起，叙述了非欧几何中的直线是延续数学家的说法；从现代数学观念看，此直线非彼直线；从直线与测地线之间的关联，提出用测地线代替几何中的直线可能更有利于传播非欧几何的一些常识。
关键词： 非欧几何 直线 测地线
几何学中存在着欧氏与非欧几何之分。然而在介绍到欧氏与非欧氏几何的区别时，总有直线参与其中。那么非欧几何的直线是中学生认可的直线吗？
对于中学生而言，直线就是欧氏几何里的直线，且在我们狭小的范围内能明显地感受到的。如手电筒的发射的光线给人直线的感觉，而关于非欧几何的直线如果不重新解释的话，非欧几何就很难被直观地感受到。如平面上的三角形的内角和是270°或100°，这对于中学生来讲简直是难以相信的。为了向中学生普及非欧几何知识，因此要认识这里的直线。
这一切源于人们对《几何原本》中的平行公设的怀疑，因为在《几何原本》中的其它的公设都显得精简，只有平行公设显得冗长，比较像定理。事实上，书中对平行公设的应用是很谨慎的，只有在不得不用的情况下才用了平行公设。这给后人一种感觉：平行公设可以用其它的公设证明出来（第一个最有影响的对平行公设的证明是由托勒密给出的，但没有成功。公元5世纪著名的古希腊数学评论家普罗克拉斯就认为平行公设应当从几何的公设、公理之中去掉），有很多人因此付出了很多的努力，但毫无结果。直到数学家萨开里开始用反证法来证明平行公设时，才有了转机。他用反证法得到了一系列的结果，没有得出相互矛盾的地方，但由于当时人们认为《几何原本》是绝对的直理体系，不可能有与之不相同的几何存在，所以最终也是草草收场。他的论证方法为非欧几何的诞生打开了大门，但后来者依旧在犯与他同样的错误。直到十九世纪，人们才觉得应该有另外的几何存在，代表人物有高斯、鲍尔、罗巴切夫斯基。最终由于罗巴切夫斯基的坚持，非欧几何才得以诞生，故罗巴切夫斯基被后人称为“非欧几何之父”。
然而非欧几何一出现，就被人认为是不可思议的，很难令人接受的。直到1868年意大利数学家贝尔拉米利用当时微分几何的最新研究成果，证明了非欧几何的正确性，人们才渐渐地打消了怀疑的念头。后来的数学家为了让非欧几何更容易被人们所理解，就着手为非欧几何寻找现实的模型，其中克莱因和彭加莱的非欧模型较为典型。接着高斯的学生黎曼提出了黎曼几何。这种几何在爱因斯坦的广义相对论中有重要的应用，且在后来的实验中对于黎曼几何的正确性作了更进一步的验证，这为非欧几何的发展找到了广泛的、应用的基础。数学家中再没有人对非欧几何表示怀疑，至于在非欧几何的公设体系中仍采用直线的概念，是因为这对于专业人士而言不会有任何理解上的问题。
到了二十一世纪，集合悖论的出现，导致了数学的三大主义的出现，其中希尔伯特的形式主义更形象地对数学作了比喻：数学体系只满足无矛盾的原则，即由一些最基本的几个假设开始，进行一系列的推导，便可得到相应的数学体系（在这里不管这些假设的实在意义）。由此可解释为何萨开里用反证法时并没有考虑直线的实在意义，而只是遵从形式上的无矛盾的推导（那时只是一种反证法游戏所产生的一些好玩的结果，无法体会到真实的原型）。事实上，希尔伯特也希望用形式主义的体系包含一切数学（即由一些固定的假设，便可推导出所有的数学知识）。然而很快就被奥地利的数学家哥德尔的证明所否定，哥德尔在证明中指出了这样的事实：在任何一个完备的数学命题体系中，总有无法证明或否定的命题。这就为欧氏几何与非欧幾何的并存从理论上找到了有力的证明，即平行公设在《几何原本》中是不可能得到证明，也不会被否定的，那么与平行公设相对的公设也同样是如此。至此，可以认为在萨开里开始用反证法证明第五公设时，所用的直线已经发生了质的变化，即不再是欧氏几何中的直线，它是抽象的直线或符号化的直线了。它包括欧氏几何中的直线，也包括非欧几何中所谓的直线。
至于在非欧几何中的“直线”到底是什么？在黎曼几何中给出了一个数学的定义，即这种“直线”乃是测地线。因为在黎曼几何中，过两点的距离最短的线一定是测地线。如在球面上的两点，这两点之间最短的连线一定在过这两点的大圆上，而球面上的所有大圆都是测地线；在椭圆球上的两点间的最短的线也在测地线上，用绷紧的橡皮筋固定在这两点上所形成的就是椭圆球上的测地线，这种方法可用于寻找椭圆球上的测地线。另外罗巴切夫期基几何后被克莱因称之为双曲几何，引进普通直线作为测地线。如果按照测地线的定义，欧氏几何中的直线定义与之有本质上的一致性。这种一致性表现在如下的描述中：“平面上的直线可以定义为由彼此有一部分重叠的线段组成的线。同理可以定义测地线，只是线段换成了最短线。换句话说，测地线是曲面上的这样的曲线，它的每一个充分小的弧都是最短线。”所以在不区别欧氏几何与非欧氏几何中的直线，又不想引起不必要的误会时，完全可用测地线取而代之，因为它们都是最短线。只需清楚地交代在平面中测地线就是直线即可，事实上也是如此的，在平面空间中没有比线段还要短的曲线。总之，在任何光滑的面上的任意两点之间的“直线”一定是这光滑面上的测地线。
事实上，在古代文明中，测地线就是用于丈量土地的线。在近似平面的空间中，测量土地的线段自然给人的感觉是一条笔直的线段，人们想象这样的线段可以向两端笔直地无限延伸成直线。如果真得要很精准的话，我们生活的世界不可能存在欧氏几何中的平面及直线的模型，这些模型多少带点弯曲。高斯曾经做过测量三个大山峰所形成的三角形的内角，试图证明在生活中能找到内角和不等于180度的三角形，无奈他所选择的山峰的范围太小，试验的结果与180度相差无几，很难判定这是不是由测量的误差所造成的，故不了了之。在非欧几何的产生过程中，高斯是较早明确地知道这种几何的存在性，他没有公之于世，后来人们在他遗留的笔记中发现了这些，这与他的实验失败有关。也正是因为实验的失败，高斯将这类几何称之为星空几何（因为他认为在星空中或许能找到这类几何的现实模型）。现在设想一只蚂蚁在一只球上，它想到达球面上离它有一段距离的米粒，它应如何走最短的线到达这米粒？这肯定是球面上的测地线，也即是大圆的某一部分。但这只球非常之大时，这只蚂蚁肯定认为它所走的线是一条笔直的线段。
因此，欧氏几何中的直线与非欧几何的直线都可统一于测地线这个概念之下，便于中学生对非欧几何认识和理解。他们至少能觉得非欧几何是可以理喻的，这种几何在某些时候还是有价值的，也还是值得他们去认真了解的。
参考文献：
［1］彭林.非欧几何的由来［J］.中学数学教学参考，2004，（5）.
［2］李忠.非欧几何及其模型［J］.数学通报，2005，第44卷，（4）.
［3］李忠.非欧几何及其模型（续）［J］.数学通报，2005，第44卷，（5）.
［4］［美］莫里斯·克莱因.古今数学思想［M］.上海：上海科学技术出版社，2002，第三册：328.
［5］［俄］A.D.亚历山大洛夫.数学它的内容，方法和意义［M］.北京：科学出版社，2001，第二卷：138.
（作者系安徽师范大学数计学院2006级研究生）
关键词： 非欧几何 直线 测地线
几何学中存在着欧氏与非欧几何之分。然而在介绍到欧氏与非欧氏几何的区别时，总有直线参与其中。那么非欧几何的直线是中学生认可的直线吗？
对于中学生而言，直线就是欧氏几何里的直线，且在我们狭小的范围内能明显地感受到的。如手电筒的发射的光线给人直线的感觉，而关于非欧几何的直线如果不重新解释的话，非欧几何就很难被直观地感受到。如平面上的三角形的内角和是270°或100°，这对于中学生来讲简直是难以相信的。为了向中学生普及非欧几何知识，因此要认识这里的直线。
这一切源于人们对《几何原本》中的平行公设的怀疑，因为在《几何原本》中的其它的公设都显得精简，只有平行公设显得冗长，比较像定理。事实上，书中对平行公设的应用是很谨慎的，只有在不得不用的情况下才用了平行公设。这给后人一种感觉：平行公设可以用其它的公设证明出来（第一个最有影响的对平行公设的证明是由托勒密给出的，但没有成功。公元5世纪著名的古希腊数学评论家普罗克拉斯就认为平行公设应当从几何的公设、公理之中去掉），有很多人因此付出了很多的努力，但毫无结果。直到数学家萨开里开始用反证法来证明平行公设时，才有了转机。他用反证法得到了一系列的结果，没有得出相互矛盾的地方，但由于当时人们认为《几何原本》是绝对的直理体系，不可能有与之不相同的几何存在，所以最终也是草草收场。他的论证方法为非欧几何的诞生打开了大门，但后来者依旧在犯与他同样的错误。直到十九世纪，人们才觉得应该有另外的几何存在，代表人物有高斯、鲍尔、罗巴切夫斯基。最终由于罗巴切夫斯基的坚持，非欧几何才得以诞生，故罗巴切夫斯基被后人称为“非欧几何之父”。
然而非欧几何一出现，就被人认为是不可思议的，很难令人接受的。直到1868年意大利数学家贝尔拉米利用当时微分几何的最新研究成果，证明了非欧几何的正确性，人们才渐渐地打消了怀疑的念头。后来的数学家为了让非欧几何更容易被人们所理解，就着手为非欧几何寻找现实的模型，其中克莱因和彭加莱的非欧模型较为典型。接着高斯的学生黎曼提出了黎曼几何。这种几何在爱因斯坦的广义相对论中有重要的应用，且在后来的实验中对于黎曼几何的正确性作了更进一步的验证，这为非欧几何的发展找到了广泛的、应用的基础。数学家中再没有人对非欧几何表示怀疑，至于在非欧几何的公设体系中仍采用直线的概念，是因为这对于专业人士而言不会有任何理解上的问题。
到了二十一世纪，集合悖论的出现，导致了数学的三大主义的出现，其中希尔伯特的形式主义更形象地对数学作了比喻：数学体系只满足无矛盾的原则，即由一些最基本的几个假设开始，进行一系列的推导，便可得到相应的数学体系（在这里不管这些假设的实在意义）。由此可解释为何萨开里用反证法时并没有考虑直线的实在意义，而只是遵从形式上的无矛盾的推导（那时只是一种反证法游戏所产生的一些好玩的结果，无法体会到真实的原型）。事实上，希尔伯特也希望用形式主义的体系包含一切数学（即由一些固定的假设，便可推导出所有的数学知识）。然而很快就被奥地利的数学家哥德尔的证明所否定，哥德尔在证明中指出了这样的事实：在任何一个完备的数学命题体系中，总有无法证明或否定的命题。这就为欧氏几何与非欧幾何的并存从理论上找到了有力的证明，即平行公设在《几何原本》中是不可能得到证明，也不会被否定的，那么与平行公设相对的公设也同样是如此。至此，可以认为在萨开里开始用反证法证明第五公设时，所用的直线已经发生了质的变化，即不再是欧氏几何中的直线，它是抽象的直线或符号化的直线了。它包括欧氏几何中的直线，也包括非欧几何中所谓的直线。
至于在非欧几何中的“直线”到底是什么？在黎曼几何中给出了一个数学的定义，即这种“直线”乃是测地线。因为在黎曼几何中，过两点的距离最短的线一定是测地线。如在球面上的两点，这两点之间最短的连线一定在过这两点的大圆上，而球面上的所有大圆都是测地线；在椭圆球上的两点间的最短的线也在测地线上，用绷紧的橡皮筋固定在这两点上所形成的就是椭圆球上的测地线，这种方法可用于寻找椭圆球上的测地线。另外罗巴切夫期基几何后被克莱因称之为双曲几何，引进普通直线作为测地线。如果按照测地线的定义，欧氏几何中的直线定义与之有本质上的一致性。这种一致性表现在如下的描述中：“平面上的直线可以定义为由彼此有一部分重叠的线段组成的线。同理可以定义测地线，只是线段换成了最短线。换句话说，测地线是曲面上的这样的曲线，它的每一个充分小的弧都是最短线。”所以在不区别欧氏几何与非欧氏几何中的直线，又不想引起不必要的误会时，完全可用测地线取而代之，因为它们都是最短线。只需清楚地交代在平面中测地线就是直线即可，事实上也是如此的，在平面空间中没有比线段还要短的曲线。总之，在任何光滑的面上的任意两点之间的“直线”一定是这光滑面上的测地线。
事实上，在古代文明中，测地线就是用于丈量土地的线。在近似平面的空间中，测量土地的线段自然给人的感觉是一条笔直的线段，人们想象这样的线段可以向两端笔直地无限延伸成直线。如果真得要很精准的话，我们生活的世界不可能存在欧氏几何中的平面及直线的模型，这些模型多少带点弯曲。高斯曾经做过测量三个大山峰所形成的三角形的内角，试图证明在生活中能找到内角和不等于180度的三角形，无奈他所选择的山峰的范围太小，试验的结果与180度相差无几，很难判定这是不是由测量的误差所造成的，故不了了之。在非欧几何的产生过程中，高斯是较早明确地知道这种几何的存在性，他没有公之于世，后来人们在他遗留的笔记中发现了这些，这与他的实验失败有关。也正是因为实验的失败，高斯将这类几何称之为星空几何（因为他认为在星空中或许能找到这类几何的现实模型）。现在设想一只蚂蚁在一只球上，它想到达球面上离它有一段距离的米粒，它应如何走最短的线到达这米粒？这肯定是球面上的测地线，也即是大圆的某一部分。但这只球非常之大时，这只蚂蚁肯定认为它所走的线是一条笔直的线段。
因此，欧氏几何中的直线与非欧几何的直线都可统一于测地线这个概念之下，便于中学生对非欧几何认识和理解。他们至少能觉得非欧几何是可以理喻的，这种几何在某些时候还是有价值的，也还是值得他们去认真了解的。
参考文献：
［1］彭林.非欧几何的由来［J］.中学数学教学参考，2004，（5）.
［2］李忠.非欧几何及其模型［J］.数学通报，2005，第44卷，（4）.
［3］李忠.非欧几何及其模型（续）［J］.数学通报，2005，第44卷，（5）.
［4］［美］莫里斯·克莱因.古今数学思想［M］.上海：上海科学技术出版社，2002，第三册：328.
［5］［俄］A.D.亚历山大洛夫.数学它的内容，方法和意义［M］.北京：科学出版社，2001，第二卷：138.
（作者系安徽师范大学数计学院2006级研究生）