【摘要】： 给出以Rolle 定理为基础，用不同方法构造辅助函数来证明Lagrange 定理，强调了证明Lagrange 定理过程中辅助函数构造的思维.
　　【关键词】： 辅助函数 试验法 分析法 待定系数法
　　1. 引言
　　Lagrange定理又称为微分中指定理，它是Rolle定理的推广，因而在证明它是，自然要把满足它的条件的函数 转换为满足 定理条件的函数 ，即由函数 构造辅助函数 .于是构造辅助函数就成了证明Lagrange定理的基本手段，从参考文献中我们可到常用的构造函数的方法有几何法、分析法、待定系数法，我们在此基础上，利用试验法，和对待定系数法稍加改进，进行函数的构造.
　　2. 主要内容
　　首先引入Rolle定理、Lagrange定理：
　　引理1 （Rolle定理）若函数 满足以下条件：
　　⑴ 在 上面连续；⑵ 在 上面可导；⑶ .则在 至少存在一点 ，使得 成立.
　　引理2（Lagrange定理）若函数 满足以下条件：⑴ 上面连续；⑵ 上面可导那么在 之间至少存在一点 ，使 成立即 .
　　函数构造的方法
　　一、 试验法
　　实验法的思路是：设函数 满足定理2的条件，在 的基础上再加一个函数 ，我们称 为试验函数，使得和函数 满足Rolle定理的条件.
　　1、 取 为简单函数时，即 ，得和函数 ，由于 ，故 .不满足Rolle定理的条件，所以不成立.
　　2、 然后取 為一次函数，即 得和函数 显然， 在 上连续且在 内可微.微使 满足Rolle定理的最后一个条件，考虑 .不失一般性，可令 .解方程组 ，即 得：
　　故
　　为证Lagrange定理的推广—— Cauchy中值定理，继续试验法.
　　3、 取 ，其中函数 在闭区间上连续，在 上可微，且 .令 其中 在 上面连续，在 内可微，解方程组 即
　　得到：
　　故
　　这样函数 满足Rolle定理的全部条件，故存在 ，使得 因而
　　当 时，使得Lagrange定理的结论：
　　介于 之间.
　　当 时，使得Cauchy中值定理的结论：
　　介于 之间.
　　二、 待定系数法改进
　　设函数 在 上连续，在 内可微，任取 做下述构造
　　，
　　其中 为待定系数.不妨设 ，令
　　则由Rolle定理知存在 ，使得 ，因而 = ，故
　　更一般的方法是，考虑
　　其中 为常数。函数 在 上连续、在 内可微.又
　　令 ，得
　　（也可取 ）
　　故
　　或者
　　建立函数族.
　　令 则有
　　令 则
　　令 则
　　使用它们就可以证明几种微分中值定理.
　　3.结语
　　构造辅助函数是数学中常用的一种方法，它的工作原理就是利用已有的性质或者定理，来解决新的问题，或者在已有定理的基础上，对定理进行推广，所以构造函数的方法对解决实际中的问题有着非常重要的作用.，文中的构造函数的方法 以及夏银红提出的几种方法，尽管着眼点不同，对问题的处理各有千秋，但是找到辅助函数的 的形式却是相似的.
　　参考文献
　　[1]李志飞. 罗尔定理应用中辅助函数的构造[J]. 高等数学研究， 2006，（ 9） ： 19 - 20.
　　[2]华东师范大学数学系. 数学分析： 上册[M]. 北京： 高等教育出版社. 2001： 116 - 120.
　　[3] 夏银红 王宝珍 Lagrange定理证明中辅助函数的构造[J]. 商丘职业技术学院学报， 2010，（10）：17-19.