一题“三变”心心相印

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  三角形中有内心、外心、重心、垂心这“四心”。下面以一道典型例题为载体,通过一题“三变”,对三角形的“四心”问题进行举例解析。
  题目 已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的i个点,动点P满足,则点P的轨迹一定通过△ABC的()。
  A.外心
  B.内心
  C.重心
  D.垂心
  解:先根据题意画出图形,再根据平面向量共线的有关性质进行求解。
  如图1所示,表示与同向的单位向量,设为示与同向的单位向量,设为。由向量的平行四边形法则,知
  因为,所以,则共线。由于平分角,可知点P的轨迹一定通过三角形ABC的内心,选B。
  变式l:已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则动点P的轨迹一定通过△ABC的()。
  A.重心
  B.外心
  C.垂心
  D.内心
  提示:从题设条件入手,利用平面向量的数量积进行适当转化求解。
  设BC的中点为D。
  因为,所以。又λ∈[0,+∞),上式两边同乘以向量,可得数量积,则,所以点P的轨迹一定在BC的中垂线上,即点P的轨迹一定通过△ABC的外心,选B。
  变式2:0是平面上一定点.A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足[0,十∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的().
  A.外心
  B.内心
  C.重心
  D.垂心
  提示:设Bc的中点为D,由,可利用平面向量共线的性质求解。
  因为 ,所以,则与共线,也即A,D,P三点共线。由于AD是△ABC的中线.所以点P的轨迹一定通过△ABC的重心,选C。
  变式3:已知0是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足则动点P的轨迹一定通过△ABC的()。
  A.重心
  B.外心
  C.垂心
  D.内心
  提示:解答本题的关键是对 AB
  存 AB co—B十一o
  i)进行等价转化。
  因为.又λ∈(O,+∞),将此式两边同乘以向量,可得数量积,所以,则动点P的轨迹一定在BC的高线上,即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心,选C。
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