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物理学中，两个物理量间的函数关系，不仅可以用公式来表示，还可以用图象来表示。物理图象是数与形相结合的产物，是具体与抽象相结合的体现，它能够直观、形象、简洁地展现两个物理量之间的关系，清晰地表达物理过程，正确地反映实验规律。
利用图象分析物理问题（即数形结合）的方法有着广泛的应用。笔者在此从表示物理图象的曲线与横轴所围面积的角度做了一些剖析。“面积”是另一个物理量的大小，这一点有时可以为我们解题带来意想不到的效果。
有些图象的曲线与横轴所围的面积的值，是另一个物理量的大小。学习图象时，要有意识地利用求面积的方法，计算有关问题，可使有些物理问题的解答变得简便。在此我想用一点笔墨来谈谈图象的曲线与横轴所围的面积。
一、速度——时间（ｖ-ｔ）图象
例1如图1所示，实线为一物体做直线运动的ｖ-ｔ图象，初速度v0，末速度vt，则物体在t时间内的平均速度为（）
该曲线上每一点的切线代表该点的加速度，每一点的加速度都不相同，物体作变速直线运动。如何求物体在时间t内的位移大小？
在此将时间间隔分为很小的小段，每一段时间间隔内物体的速度近似看作不变，物体运动看作匀速直线运动，走过的距离可近似表示为：△xi=vi·△ti它数值上等于图中带斜线矩型的面积。若把该物体所走过的距离分成无限多小段，且令每小段的时间间隔趋向于零，则有：数值上等于曲线下所围面积。这是高等数学的基本思想。但我们却由此认识了ｖ-ｔ图线下所围面积代表位移。当我们把v0和vt两点用虚线连结后，虚线与ｔ轴所夹梯形面积是匀变速直线运动的位移，曲线与ｔ轴所夹的面积是该物体的位移，相等时间面积大的平均速度就大。故该题的正确答案为B。
ｖ-ｔ图象与ｔ轴所夹的面积代表位移，这一点在解决本题中显示了它的作用和强大威力。那么其它图象中的面积又有什么含义呢？我们从以下的几种图象中再做深刻的理解。
二、速度的倒数——位移（ -L）图象
例2蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心的距离L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm/s。试问蚂蚁从A点爬到距巢中心的距离L2=2m的B点所需的时间为多少？
本题若采用将AB无限分割，每一等分可看作匀速直线运动，然后求和，这一办法原则上可行，实际上很难计算。
题中有一关键条件：蚂蚁运动的速度v与蚂蚁离巢的距离L成反比，即 ∝L，作出 -L图象如图2所示，从图上可以看出梯形ABCD的面积，就是蚂蚁从A到B的时间：
解该题的关键是确定坐标轴所代表的物理量，可以写成v∝ ，也可以写成 ∝L，若按前者确定坐标轴代表的量，图线下的面积就没有意义了，而以后者来确定，面积恰好表示时间，因此在分析时要有一个尝试的过程。
三、力——时间（Ｆ-ｔ）图象
例3一个物体静止于光滑水平面上，当它受到在一条水平线上的两个力F1和F2的作用时，F1、F2与时间的关系如图3所示，求：物体的最大动量是多少？
图中反映F1、F2这两个力都在随时间做线性变化，它们是两个变力。物体的动量显然和作用在物体上的两个力的冲量相关。这两个变力的冲量怎样解决？在F-t图象中，图象与ｔ轴所夹的面积代表冲量，只要找到一处“+”面积和“-”面积之和最大即可。
本题只要抓住Ｆ-ｔ图象与ｔ轴所夹的面积含义，该题我们就能掌控并找到突破口。
四、力——位移（F-s）图象
例4跳水运动员从高于水面H=10m的跳台自由落下，假设运动员的质量m=60kg，其体形可等效为长度L=1.0m，直径d=0.30m的圆柱体，略去空气阻力，运动员入水后，水的等效阻力f作用于圆柱体的下端面，f的量值随入水深度H变化的函数曲线如图4所示，该曲线可近似看作椭圆的一部分，该椭圆的长﹑短半轴分别与坐标轴OH和Of重合，椭圆与H轴相交于H=h处，与f轴相交于f= mg处，为了确保运动员的安全，试计算水池中水的深度h至少应为多少？(水的密度ρ=1.0×103kg/m3)
运动员的运动过程可分为三个阶段：自由下落至水面；运动员部分没入水中；运动员全部没入水中，当运动员到达池底时速度为零即可保证安全。在水中，运动员所受阻力随深度做非线性变化，故用牛顿运动定律不便求解。
又考虑到求解的是力作用的位移，故可以从功能关系的角度进行分析，用动能定理求解。
本题的关键是求各力做的功，运动员部分没入水中过程所受的浮力成线性变化，可用平均值法计算浮力做的功，全部没入水中浮力不变可直接求这一段的功；由阻力随深度变化的函数关系，决定了阻力的功用图象法求解。
本题在求解水的阻力做功时，就用到了椭圆的面积公式S=πab（a为长半轴，b为短半轴），数形结合的能力是高考考查之一。
以上我只对速度——时间（v——t）图象；速度的倒数——位移（ ——L）图象；力——时间（F——t）图象；力——位移（F——s）图象这四种物理图象的图线与横轴所围面积的含义，通过例题做了一些分析，希望能给大家的解题带去“柳暗花明又一村”的感觉！
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
利用图象分析物理问题（即数形结合）的方法有着广泛的应用。笔者在此从表示物理图象的曲线与横轴所围面积的角度做了一些剖析。“面积”是另一个物理量的大小，这一点有时可以为我们解题带来意想不到的效果。
有些图象的曲线与横轴所围的面积的值，是另一个物理量的大小。学习图象时，要有意识地利用求面积的方法，计算有关问题，可使有些物理问题的解答变得简便。在此我想用一点笔墨来谈谈图象的曲线与横轴所围的面积。
一、速度——时间（ｖ-ｔ）图象
例1如图1所示，实线为一物体做直线运动的ｖ-ｔ图象，初速度v0，末速度vt，则物体在t时间内的平均速度为（）
该曲线上每一点的切线代表该点的加速度，每一点的加速度都不相同，物体作变速直线运动。如何求物体在时间t内的位移大小？
在此将时间间隔分为很小的小段，每一段时间间隔内物体的速度近似看作不变，物体运动看作匀速直线运动，走过的距离可近似表示为：△xi=vi·△ti它数值上等于图中带斜线矩型的面积。若把该物体所走过的距离分成无限多小段，且令每小段的时间间隔趋向于零，则有：数值上等于曲线下所围面积。这是高等数学的基本思想。但我们却由此认识了ｖ-ｔ图线下所围面积代表位移。当我们把v0和vt两点用虚线连结后，虚线与ｔ轴所夹梯形面积是匀变速直线运动的位移，曲线与ｔ轴所夹的面积是该物体的位移，相等时间面积大的平均速度就大。故该题的正确答案为B。
ｖ-ｔ图象与ｔ轴所夹的面积代表位移，这一点在解决本题中显示了它的作用和强大威力。那么其它图象中的面积又有什么含义呢？我们从以下的几种图象中再做深刻的理解。
二、速度的倒数——位移（ -L）图象
例2蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心的距离L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm/s。试问蚂蚁从A点爬到距巢中心的距离L2=2m的B点所需的时间为多少？
本题若采用将AB无限分割，每一等分可看作匀速直线运动，然后求和，这一办法原则上可行，实际上很难计算。
题中有一关键条件：蚂蚁运动的速度v与蚂蚁离巢的距离L成反比，即 ∝L，作出 -L图象如图2所示，从图上可以看出梯形ABCD的面积，就是蚂蚁从A到B的时间：
解该题的关键是确定坐标轴所代表的物理量，可以写成v∝ ，也可以写成 ∝L，若按前者确定坐标轴代表的量，图线下的面积就没有意义了，而以后者来确定，面积恰好表示时间，因此在分析时要有一个尝试的过程。
三、力——时间（Ｆ-ｔ）图象
例3一个物体静止于光滑水平面上，当它受到在一条水平线上的两个力F1和F2的作用时，F1、F2与时间的关系如图3所示，求：物体的最大动量是多少？
图中反映F1、F2这两个力都在随时间做线性变化，它们是两个变力。物体的动量显然和作用在物体上的两个力的冲量相关。这两个变力的冲量怎样解决？在F-t图象中，图象与ｔ轴所夹的面积代表冲量，只要找到一处“+”面积和“-”面积之和最大即可。
本题只要抓住Ｆ-ｔ图象与ｔ轴所夹的面积含义，该题我们就能掌控并找到突破口。
四、力——位移（F-s）图象
例4跳水运动员从高于水面H=10m的跳台自由落下，假设运动员的质量m=60kg，其体形可等效为长度L=1.0m，直径d=0.30m的圆柱体，略去空气阻力，运动员入水后，水的等效阻力f作用于圆柱体的下端面，f的量值随入水深度H变化的函数曲线如图4所示，该曲线可近似看作椭圆的一部分，该椭圆的长﹑短半轴分别与坐标轴OH和Of重合，椭圆与H轴相交于H=h处，与f轴相交于f= mg处，为了确保运动员的安全，试计算水池中水的深度h至少应为多少？(水的密度ρ=1.0×103kg/m3)
运动员的运动过程可分为三个阶段：自由下落至水面；运动员部分没入水中；运动员全部没入水中，当运动员到达池底时速度为零即可保证安全。在水中，运动员所受阻力随深度做非线性变化，故用牛顿运动定律不便求解。
又考虑到求解的是力作用的位移，故可以从功能关系的角度进行分析，用动能定理求解。
本题的关键是求各力做的功，运动员部分没入水中过程所受的浮力成线性变化，可用平均值法计算浮力做的功，全部没入水中浮力不变可直接求这一段的功；由阻力随深度变化的函数关系，决定了阻力的功用图象法求解。
本题在求解水的阻力做功时，就用到了椭圆的面积公式S=πab（a为长半轴，b为短半轴），数形结合的能力是高考考查之一。
以上我只对速度——时间（v——t）图象；速度的倒数——位移（ ——L）图象；力——时间（F——t）图象；力——位移（F——s）图象这四种物理图象的图线与横轴所围面积的含义，通过例题做了一些分析，希望能给大家的解题带去“柳暗花明又一村”的感觉！
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文