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向量是从丰富的物理背景中抽象出的数学概念，无论是平面向量还是空间向量都是既有大小又有方向的量. 向量的表示方式与坐标密切相关，坐标表示形式可以刻画量的大小和方向. 向量的运算有其自有的法则、运算律、几何解释和表示形式.
题型一 空间向量的线性运算
例1 已知空间四边形[ABCD]中，[G]为[△BCD]的重心，[E、F、H]分别为边[CD、AD]和[BC]的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量.
（1）[AG+13BE+12CA]；
（2）[12AB+AC-AD]；
（3）[13AB+13AC+13AD].
分析 重心是三角形的三边上中线的交点，可充分利用重心和中点的比例关系，根据向量的加法、减法和数乘运算的意义化简.
解 （1）如图所示，[G]是[△BCD]的重心,
[∴|GE|=13|BE|]，[∴13BE=GE].
又由向量加法的三角形法则可知
[AG+13BE=AG+GE=AE.]
又[AE+EF=AF,] [12CA=EF,]
从而[AG+13BE+12CA=AF,]
[AF]如图所示.
（2）如图，分别取[AB、AC]的中点[P、Q]，连[PH、QH]，则四边形[APHQ]为平行四边形，
且有[12AB=AP]，[12AC=AQ].
而 [AP+AQ=AH]，[12AD=AF]，
从而[12(AB+AC-AD)=AP+AQ-AF]
[=AH-AF=FH]，
[FH]如图所示.
（3）由[G]是[△BCD]的重心，
猜想[13(AB+AC+AD)=AG],事实上
[AG=AB+BG=AB+23BE]
[=AB+23×12(BC+BD)]
[=AB+13(AC-AB)+13(AD-AB)]
[=13(AB+AC+AD)],
[AG]如图所示.
点拨 重心为中线上靠近边的三等分点，空间向量的线性运算应注意向量的三角形法则、平行四边形法则的灵活运用.
题型二 共线、共面向量定理的应用
例2 如下图，已知四边形[ABCD]的四个顶点[A、B、C、D]不共面，而[AE=EB]，[BF=FC]，[CG=GD]，[DH=AH].
（1）用向量证明：[E、F、G、H]四点共面；
（2）向量证明：[DB∥]面[EFGH]；
（3）设[M]是[EG]和[FH]的交点，求证：对空间任一点[O]，有[OM=14(OA+OB+OC+OD)].
分析 将一个向量用其它向量来表示，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要
[∴cosθ=23]， 则[θ]为锐角，即为所求.
[∴]异面直线[AN]与[CM]所成角余弦值为[23.]
点拨 向量夹角的范围为[0，[π]]，直线所成角范围为[[0,π2]]. 此题中若求出[cosθ]为负值, 则[θ]为钝角，此时[θ]的补角才是异面直线[AN]与[CM]所成角.
题型四 空间向量基本定理
例4 已知矩形[ABCD]，[P]为平面[ABCD]外一点，且[PA]⊥平面[ABCD，M、N]分别为[PC、PD]上的点，且[M]分[PC]成定比2∶1，[N]为[PD]的中点，求满足[MN=xAB+yAD+zAP]的实数[x、y、z]的值.
分析 结合图形，从向量[MN]出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用[AB、AD、AP]表示出来，即可求出[x、y、z]的值.
点拨 选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功. 要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解. 空间向量基本定理说明，用空间三个不共面的向量组[a,b,c]可以表示出空间任意一个向量，而且[a、b、c]的系数是惟一的.
题型五 空间向量的坐标运算
例5已知关于[x]的方程[x2-t-2x+t2+3t+][5=0]有两个实根，[a=-1,1,3,b=1,0,-2,][c=a+tb].
（1）在[c]取最小值时，求[t]的值；
（2）在（1）的情况下，求[b]和[c]的夹角的余弦值.
分析 利用向量长度计算公式，建立[c]关于[t]的目标函数，然后利用求函数的最值的方法求[c]的最小值时[t]的值.
解 （1）关于[x]的方程[x2-t-2x+t2+3t][+5=0]有两个实根，
则[Δ=t-22-4t2+3t+5≥0,]
即[-4≤t≤-43.]
又[c=-1,1,3+t1,0,-2=-1+t,1,3-2t,]
[∴c=-1+t2+1+3-2t2=5t-752+65.]
[∵t∈-4,-43]时，上述关于[t]的函数单调递减，
[∴t=-43]时，[c]取最小值[3473.]
（2）当[t=-43]时，[c=-73,1,173，]
[cos=b⋅cb⋅c=-4117351735,]
[∴b和c]的夹角的余弦值为[-4117351735.]
点拨 空间向量基本定理中，若基底为单位正交基底，则可确定点在空间直角坐标系中的坐标. 若[a=x1、y1、z1、b=x2、y2、z2]的夹角为[θ]，则[cosθ=x1x2+y1y2+z1z2x21+y21+z21⋅x22+y22+z22.]
题型六 空间向量的坐标表示及其运算的综合应用
例4 如图，棱长为1的正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E、F、G]是[DD1、BD、BB1]的中点.
（1）求证：[EF⊥CF];
（2）求[EF与CG]所成角的余弦值;
（3）求[CE]的长.
分析 空间向量的坐标运算，关键是建系后注意向量坐标与点的坐标间的关系，并熟练掌握运算公式.
解 （1）以[D]为坐标原点，[DA、DC、DD1]所在直线为[x]轴、[y]轴、[z]轴建立空间直角坐标系[D-xyz,]则[D
点拨 空间向量的坐标运算应用较为广泛，如该例中可采用证明垂直，计算异面直线所成角，转化为向量的模计算距离，还可用于证明平行，计算线面高、面面角等.
用空间向量处理某些立体几何问题为我们提供新的视角. 空间向量及其运算是立体几何中的向量方法的基础，它可以避免逻辑性较强的推理论证，但应注意基本定理的应用和计算的正确.
题型一 空间向量的线性运算
例1 已知空间四边形[ABCD]中，[G]为[△BCD]的重心，[E、F、H]分别为边[CD、AD]和[BC]的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量.
（1）[AG+13BE+12CA]；
（2）[12AB+AC-AD]；
（3）[13AB+13AC+13AD].
分析 重心是三角形的三边上中线的交点，可充分利用重心和中点的比例关系，根据向量的加法、减法和数乘运算的意义化简.
解 （1）如图所示，[G]是[△BCD]的重心,
[∴|GE|=13|BE|]，[∴13BE=GE].
又由向量加法的三角形法则可知
[AG+13BE=AG+GE=AE.]
又[AE+EF=AF,] [12CA=EF,]
从而[AG+13BE+12CA=AF,]
[AF]如图所示.
（2）如图，分别取[AB、AC]的中点[P、Q]，连[PH、QH]，则四边形[APHQ]为平行四边形，
且有[12AB=AP]，[12AC=AQ].
而 [AP+AQ=AH]，[12AD=AF]，
从而[12(AB+AC-AD)=AP+AQ-AF]
[=AH-AF=FH]，
[FH]如图所示.
（3）由[G]是[△BCD]的重心，
猜想[13(AB+AC+AD)=AG],事实上
[AG=AB+BG=AB+23BE]
[=AB+23×12(BC+BD)]
[=AB+13(AC-AB)+13(AD-AB)]
[=13(AB+AC+AD)],
[AG]如图所示.
点拨 重心为中线上靠近边的三等分点，空间向量的线性运算应注意向量的三角形法则、平行四边形法则的灵活运用.
题型二 共线、共面向量定理的应用
例2 如下图，已知四边形[ABCD]的四个顶点[A、B、C、D]不共面，而[AE=EB]，[BF=FC]，[CG=GD]，[DH=AH].
（1）用向量证明：[E、F、G、H]四点共面；
（2）向量证明：[DB∥]面[EFGH]；
（3）设[M]是[EG]和[FH]的交点，求证：对空间任一点[O]，有[OM=14(OA+OB+OC+OD)].
分析 将一个向量用其它向量来表示，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要
[∴cosθ=23]， 则[θ]为锐角，即为所求.
[∴]异面直线[AN]与[CM]所成角余弦值为[23.]
点拨 向量夹角的范围为[0，[π]]，直线所成角范围为[[0,π2]]. 此题中若求出[cosθ]为负值, 则[θ]为钝角，此时[θ]的补角才是异面直线[AN]与[CM]所成角.
题型四 空间向量基本定理
例4 已知矩形[ABCD]，[P]为平面[ABCD]外一点，且[PA]⊥平面[ABCD，M、N]分别为[PC、PD]上的点，且[M]分[PC]成定比2∶1，[N]为[PD]的中点，求满足[MN=xAB+yAD+zAP]的实数[x、y、z]的值.
分析 结合图形，从向量[MN]出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用[AB、AD、AP]表示出来，即可求出[x、y、z]的值.
点拨 选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功. 要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解. 空间向量基本定理说明，用空间三个不共面的向量组[a,b,c]可以表示出空间任意一个向量，而且[a、b、c]的系数是惟一的.
题型五 空间向量的坐标运算
例5已知关于[x]的方程[x2-t-2x+t2+3t+][5=0]有两个实根，[a=-1,1,3,b=1,0,-2,][c=a+tb].
（1）在[c]取最小值时，求[t]的值；
（2）在（1）的情况下，求[b]和[c]的夹角的余弦值.
分析 利用向量长度计算公式，建立[c]关于[t]的目标函数，然后利用求函数的最值的方法求[c]的最小值时[t]的值.
解 （1）关于[x]的方程[x2-t-2x+t2+3t][+5=0]有两个实根，
则[Δ=t-22-4t2+3t+5≥0,]
即[-4≤t≤-43.]
又[c=-1,1,3+t1,0,-2=-1+t,1,3-2t,]
[∴c=-1+t2+1+3-2t2=5t-752+65.]
[∵t∈-4,-43]时，上述关于[t]的函数单调递减，
[∴t=-43]时，[c]取最小值[3473.]
（2）当[t=-43]时，[c=-73,1,173，]
[cos
[∴b和c]的夹角的余弦值为[-4117351735.]
点拨 空间向量基本定理中，若基底为单位正交基底，则可确定点在空间直角坐标系中的坐标. 若[a=x1、y1、z1、b=x2、y2、z2]的夹角为[θ]，则[cosθ=x1x2+y1y2+z1z2x21+y21+z21⋅x22+y22+z22.]
例4 如图，棱长为1的正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E、F、G]是[DD1、BD、BB1]的中点.
（1）求证：[EF⊥CF];
（2）求[EF与CG]所成角的余弦值;
（3）求[CE]的长.
分析 空间向量的坐标运算，关键是建系后注意向量坐标与点的坐标间的关系，并熟练掌握运算公式.
解 （1）以[D]为坐标原点，[DA、DC、DD1]所在直线为[x]轴、[y]轴、[z]轴建立空间直角坐标系[D-xyz,]则[D
点拨 空间向量的坐标运算应用较为广泛，如该例中可采用证明垂直，计算异面直线所成角，转化为向量的模计算距离，还可用于证明平行，计算线面高、面面角等.
用空间向量处理某些立体几何问题为我们提供新的视角. 空间向量及其运算是立体几何中的向量方法的基础，它可以避免逻辑性较强的推理论证，但应注意基本定理的应用和计算的正确.