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【摘 要】小学数学教学中渗透模型思想是课程改革的一个重要方向，数学思想作为数学知识的载体，有助于培养小学生数学思维能力。在小学数学教学中应通过感知模型思想、发展模型思想、应用模型思想三个教学环节循序渐进渗透模型思想，让学生在学习过程中自主构建模型思想的意识和观念。
【关键词】小学数学;数学模型;模型思想
引言
2011年《义务教育数学课程标准》在基本素养中增加了“模型思想”这一核心概念。注重数学思想渗透是当代数学教育的一个重要内涵，它反映了小学数学课程内容变革的一个基本方向。然而在小学日常课堂中渗透模型思想的教学并不多见。尤其是教师在指导和帮助学生在获取数学知识与掌握数学技能的同时，在领悟数学模型思想这方面缺乏深入的研究。小学阶段是学生数学思维形成的启蒙时期，让学生在小学阶段累积一定的模型思想，并逐步体会数学建模过程是数学教学的核心目标之一，是学生数学素养形成的重要体现。本文研究如何在小學数学教学中渗透模型思想。希望能为广大师生进行相关研究提供参考。
一、数学模型与模型思想内涵认识
徐立治教授认为：“数学模型乃是参照某种事物系统的特征和数量相依关系，采用形式化数学语言，概括的或近似地表述出来的一种数学结构。”从广义上理解，数学模型包括数学概念、数学公式、数学理论体系以及由它们构成的算法系统，我们都可以把它们称为数学模型。从狭义理解，数学模型单指那些反映了特定问题或特定系统的数学关系结构。小学数学模型一般取其广义的理解，具体来讲，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种公式、性质、定理、数量关系式、结构性算法、图表、图形等都是数学模型。
模型思想是利用数学知识建立数学模型以解决问题的一种数学思想方法。2011年《义务教育数学课程标准》前言部分指出：“从现实生活和具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化的规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”由此可见，数学模型思想蕴涵于现实问题的数学化、模型化的过程中，它更多地是指用数学建模的思想和精神来指导数学教学。国内学者许卫兵认为：运用建模思想来指导小学数学教学在很大程度上是要在学生的认知过程中建立起一种统摄性、符号化的具有数学结构特征的“模型”载体，通过这样具有“模型”功能的载体，帮助学生实现数学抽象，为后续学习提供强有力的基础支持。
二、小学数学教学中有效渗透模型思想的策略
新数学课程标准并没有对小学数学教学融入模型思想提出明确的要求，并不意味着在小学阶段没有必要渗透模型思想，实事上模型思想的形成是一个长期的过程，小学是模型思想形成的萌芽阶段，用模型思想来指导小学数学教学，要结合学生的心理认知特点，有差异、分学段来逐步实施。
（一）引导低年级学生在现实情境中初步感知模型思想
小学阶段的数学知识，是人类数学知识发展的初级阶段，与生活实践活动密切联系，具有较强的直观性和操作性，然而对于小学生来说，仍然是十分抽象难懂。对小学低年级学生而言，学习数学的过程实际上就是“数学化”的过程，即让学生从现实的具体情境出发，经过观察、归纳、抽象、概括等思维活动，获得某种带有“模型”意义的数学结论的过程，从而渗透和点化学生的“模型思想”意识。
例如：儿童对加法运算的掌握和理解是建立在对加法的意义和计算模型基础上的，加法运算的本质是刻画由两个集合合并而生成的新集合的元素个数。因此，构造两个不同的集合，并对这两个集合的元素合并的问题情景，是学习加法运算的前提和基础。教师在教学中，首先创设具体的问题情景，引导学生进行“合并”的思维活动，让学生经历观察、操作、探索、体验的过程，形成对加法运算意义的掌握，在合理的问题情境中构建抽象的加法计算算式，并让学生继续通过摆一摆的活动，理解加法算式的数学本质。恰如其分的情境对于学生体会加法运算模型的建立过程，初步感知模型思想，理解数学本质，培养抽象思维能力是非常重要的。
（二）让高年级学生经历和体验数学发生的过程，发展模型思想
数学是在不断的抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。引导小学高年级学生关注数学“模型”的存在，培养建模能力符合新课程观的教育理念。教师在教学过程中引导学生将现实问题抽象成数学模型，并进行解释、运用和扩展的过程，实际上就是让学生在具体的行为操作和思维探究中经历“再发现”和“再创造”的过程。只有经历了这样的探究过程，数学模型思想才能沉淀、丰厚，才能使学生更深入地体验、感悟到数学问题的本质，逐步积累和发展模型思想。
例如：“服装搭配数学问题”主要是向学生渗透有序搭配的方法，教师首先有意识的唤醒学生的图表和符号意识，首先教师利用图表或符号表示1件衣服和2条裤子的搭配方案，并列出数量关系式。接下来让学生自己探究2件衣服3件裤子的搭配方案，引导学生明确有序搭配的思路，用图表或符号来表示搭配方案，并列出数量关系式。在解决服装搭配问题过程中，让学生经历了语言表述、图表化、算式化表示的逐步抽象化过程，让学生自己总结概括出“搭配方式的种类=衣服数×裤子数”。在整个教学中教师注重引导学生从无意识地简化搭配线路图到有意识发展学生数学符号思想过程，让学生自主构建数学问题模型，使学生在探究问题中发展学生的模型思想意识和观念。
（三）引导学生反思，应用模型思想
由于数学学习过程的抽象性决定了小学生不可能一次性把握数学学习活动的本质，必须要经历多次的反复思考才能洞察数学活动的本质，逐步完善数学模型，并应用模型对问题进行拓展，让学生体验数学建模的丰富性和应用价值，从而培养数学建模能力。
例如：“植树问题”在于引导学生建构“种树棵树=间隔数+1”，在教学中引导学生对基本问题进行反思，变式应用，让“植树问题”模型的建构过程具有层次感。首先让学生观察手，将手指当作树，将指缝当作树与树的间隔，让学生用自己的语言概括出“两端都栽：棵树=间隔数+1”。此时有些学生会以为问题已经解决，就会停下思考，教师适时提出路的一端或两端都是墙角或者第一棵或最后一棵不算的情况等，再次吸引学生的注意力，提起学生兴趣。学生在已有的解题方法上，再次思考，经过综合和创造，概括出“两端都不栽：棵树=间隔数-1”和“一端栽树：棵树=间隔数”。当然，还可以有更深层次的问题，如已知路的长度，种了几颗数，判断间隔的米数这样的逆向思维的题目等。在解释应用模型的过程中，要引导学生掌握自主探究、迁移类比的有效方法，这样学生对数学模型建构的认识变得丰富立体，同时也能更深刻地感受模型思想。
帮助学生形成模型思想是数学教育的一项长期任务。小学阶段教师要积极挖掘教材中蕴含的模型思想，创设学生熟悉的生活情景，引导学生感知模型的存在，感受模型的作用，在教师的引导下建立简单的数学模型，进而运用模型，促进学生了解数学知识的本质，形成模型思想意识，提高数学应用能力。
【参考文献】
[1]徐利治.数学方法论十二讲[M].辽宁：大连理工大学出版社，2007：19-21
[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012：4-8
[3]许卫兵.磨·模·魔——小学数学教学中渗透模型思想的思考[J].课程·教材·教法，2012.32（01）：89-94
[4]顾晓东.小学数学模型思想的理性定位与教学实践[J].小学数学教育，2016（10）：28-29
[5]张奠宙，等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2版2009：241
（项目基金：2016年湖南省大学生研究性学习和创新性实验计划项目（DXYC201608）：小学数学教学中渗透模型思想的应用研究。）
【关键词】小学数学;数学模型;模型思想
引言
2011年《义务教育数学课程标准》在基本素养中增加了“模型思想”这一核心概念。注重数学思想渗透是当代数学教育的一个重要内涵，它反映了小学数学课程内容变革的一个基本方向。然而在小学日常课堂中渗透模型思想的教学并不多见。尤其是教师在指导和帮助学生在获取数学知识与掌握数学技能的同时，在领悟数学模型思想这方面缺乏深入的研究。小学阶段是学生数学思维形成的启蒙时期，让学生在小学阶段累积一定的模型思想，并逐步体会数学建模过程是数学教学的核心目标之一，是学生数学素养形成的重要体现。本文研究如何在小學数学教学中渗透模型思想。希望能为广大师生进行相关研究提供参考。
一、数学模型与模型思想内涵认识
徐立治教授认为：“数学模型乃是参照某种事物系统的特征和数量相依关系，采用形式化数学语言，概括的或近似地表述出来的一种数学结构。”从广义上理解，数学模型包括数学概念、数学公式、数学理论体系以及由它们构成的算法系统，我们都可以把它们称为数学模型。从狭义理解，数学模型单指那些反映了特定问题或特定系统的数学关系结构。小学数学模型一般取其广义的理解，具体来讲，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种公式、性质、定理、数量关系式、结构性算法、图表、图形等都是数学模型。
模型思想是利用数学知识建立数学模型以解决问题的一种数学思想方法。2011年《义务教育数学课程标准》前言部分指出：“从现实生活和具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化的规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”由此可见，数学模型思想蕴涵于现实问题的数学化、模型化的过程中，它更多地是指用数学建模的思想和精神来指导数学教学。国内学者许卫兵认为：运用建模思想来指导小学数学教学在很大程度上是要在学生的认知过程中建立起一种统摄性、符号化的具有数学结构特征的“模型”载体，通过这样具有“模型”功能的载体，帮助学生实现数学抽象，为后续学习提供强有力的基础支持。
二、小学数学教学中有效渗透模型思想的策略
新数学课程标准并没有对小学数学教学融入模型思想提出明确的要求，并不意味着在小学阶段没有必要渗透模型思想，实事上模型思想的形成是一个长期的过程，小学是模型思想形成的萌芽阶段，用模型思想来指导小学数学教学，要结合学生的心理认知特点，有差异、分学段来逐步实施。
（一）引导低年级学生在现实情境中初步感知模型思想
小学阶段的数学知识，是人类数学知识发展的初级阶段，与生活实践活动密切联系，具有较强的直观性和操作性，然而对于小学生来说，仍然是十分抽象难懂。对小学低年级学生而言，学习数学的过程实际上就是“数学化”的过程，即让学生从现实的具体情境出发，经过观察、归纳、抽象、概括等思维活动，获得某种带有“模型”意义的数学结论的过程，从而渗透和点化学生的“模型思想”意识。
例如：儿童对加法运算的掌握和理解是建立在对加法的意义和计算模型基础上的，加法运算的本质是刻画由两个集合合并而生成的新集合的元素个数。因此，构造两个不同的集合，并对这两个集合的元素合并的问题情景，是学习加法运算的前提和基础。教师在教学中，首先创设具体的问题情景，引导学生进行“合并”的思维活动，让学生经历观察、操作、探索、体验的过程，形成对加法运算意义的掌握，在合理的问题情境中构建抽象的加法计算算式，并让学生继续通过摆一摆的活动，理解加法算式的数学本质。恰如其分的情境对于学生体会加法运算模型的建立过程，初步感知模型思想，理解数学本质，培养抽象思维能力是非常重要的。
（二）让高年级学生经历和体验数学发生的过程，发展模型思想
数学是在不断的抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。引导小学高年级学生关注数学“模型”的存在，培养建模能力符合新课程观的教育理念。教师在教学过程中引导学生将现实问题抽象成数学模型，并进行解释、运用和扩展的过程，实际上就是让学生在具体的行为操作和思维探究中经历“再发现”和“再创造”的过程。只有经历了这样的探究过程，数学模型思想才能沉淀、丰厚，才能使学生更深入地体验、感悟到数学问题的本质，逐步积累和发展模型思想。
例如：“服装搭配数学问题”主要是向学生渗透有序搭配的方法，教师首先有意识的唤醒学生的图表和符号意识，首先教师利用图表或符号表示1件衣服和2条裤子的搭配方案，并列出数量关系式。接下来让学生自己探究2件衣服3件裤子的搭配方案，引导学生明确有序搭配的思路，用图表或符号来表示搭配方案，并列出数量关系式。在解决服装搭配问题过程中，让学生经历了语言表述、图表化、算式化表示的逐步抽象化过程，让学生自己总结概括出“搭配方式的种类=衣服数×裤子数”。在整个教学中教师注重引导学生从无意识地简化搭配线路图到有意识发展学生数学符号思想过程，让学生自主构建数学问题模型，使学生在探究问题中发展学生的模型思想意识和观念。
（三）引导学生反思，应用模型思想
由于数学学习过程的抽象性决定了小学生不可能一次性把握数学学习活动的本质，必须要经历多次的反复思考才能洞察数学活动的本质，逐步完善数学模型，并应用模型对问题进行拓展，让学生体验数学建模的丰富性和应用价值，从而培养数学建模能力。
例如：“植树问题”在于引导学生建构“种树棵树=间隔数+1”，在教学中引导学生对基本问题进行反思，变式应用，让“植树问题”模型的建构过程具有层次感。首先让学生观察手，将手指当作树，将指缝当作树与树的间隔，让学生用自己的语言概括出“两端都栽：棵树=间隔数+1”。此时有些学生会以为问题已经解决，就会停下思考，教师适时提出路的一端或两端都是墙角或者第一棵或最后一棵不算的情况等，再次吸引学生的注意力，提起学生兴趣。学生在已有的解题方法上，再次思考，经过综合和创造，概括出“两端都不栽：棵树=间隔数-1”和“一端栽树：棵树=间隔数”。当然，还可以有更深层次的问题，如已知路的长度，种了几颗数，判断间隔的米数这样的逆向思维的题目等。在解释应用模型的过程中，要引导学生掌握自主探究、迁移类比的有效方法，这样学生对数学模型建构的认识变得丰富立体，同时也能更深刻地感受模型思想。
帮助学生形成模型思想是数学教育的一项长期任务。小学阶段教师要积极挖掘教材中蕴含的模型思想，创设学生熟悉的生活情景，引导学生感知模型的存在，感受模型的作用，在教师的引导下建立简单的数学模型，进而运用模型，促进学生了解数学知识的本质，形成模型思想意识，提高数学应用能力。
【参考文献】
[1]徐利治.数学方法论十二讲[M].辽宁：大连理工大学出版社，2007：19-21
[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012：4-8
[3]许卫兵.磨·模·魔——小学数学教学中渗透模型思想的思考[J].课程·教材·教法，2012.32（01）：89-94
[4]顾晓东.小学数学模型思想的理性定位与教学实践[J].小学数学教育，2016（10）：28-29
[5]张奠宙，等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2版2009：241
（项目基金：2016年湖南省大学生研究性学习和创新性实验计划项目（DXYC201608）：小学数学教学中渗透模型思想的应用研究。）