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【摘要】本文通过几个教学实例展示了基于数学软件Mathematica的高职数学教学实践.在高职数学教学中引入Mathematica，可以有效地使抽象的概念形象直观化，帮助学生更好地理解数学概念、定理，简化计算，激发学生的学习兴趣，进而提高课堂教学质量.
【关键词】高职数学；Mathematica；教学实践
【基金项目】广州南洋理工职业学院2016年度校级教育教学改革立项资助项目（nyjg2016016）.
一、Mathematica的特点
Mathematica是美国Wolfram公司开发的一款科学计算软件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统以及与其他应用程序的高级连接.很多功能在相应领域内处于世界领先地位，它也是目前为止使用最广泛的数学软件之一.Mathematica作为一种专门工具，具有其显著的特点，主要包括：
（1）内容丰富，功能齐全.Mathematica可以对初等数学、高等数学、工程数学等进行各种数值计算及符号运算.特别是它的符号运算功能，极大地方便了数学公式的推导.它具有很强大的绘图能力，能快速画出各种美丽的曲线和曲面，甚至可以设计动画.
（2）语法简洁，编程效率高.Mathematica的语法规则简洁，语句简单.和其他高级语言（如，C语言、Fortran语言）对比，其语法规则和表达方式更接近数学运算的思维和表达方式.使用该软件编程，用较少的语句，就可以完成复杂运算和公式推导等任务.
（3）操作简单，易于使用.Mathematica命令容易学习和记忆，操作也非常方便.用户可以和Mathematica互动“对话”，一个一个地执行命令，也可以完成“批处理”，将多个命令组成的程序，一次性地交给Mathematica，完成指定的任务.
二、教学实践
我们选取高职数学中几个典型案例来展示基于Mathematica的高职数学教学实践，结合多媒体的使用，将大大提升教学效果.
（一）Mathematica辅助理解极限概念
极限知识是微积分的基础，要学好微积分，必须理解极限思想.极限思想是近代数学的一种重要思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.对于高职学生来说，极限知识是非常抽象的，学生在理解极限思想时倍感吃力.现在有了Mathematica，在课堂上可以结合多媒体的使用，利用Mathematica强大的操作命令和图像功能帮助学生通俗地理解极限知识.Mathematica计算函数极限的命令格式是：
limx→af（x）：Limit[f[x]，x->a]
limx→∞f（x）：Limit[f[x]，x->Infinity]
limx→a f（x）：Limit[f[x]，x->a，Direction->-1]
limx→a-f（x）：Limit[f[x]，x->a，Direction-> 1]
limx→ ∞f（x）：Limit[f[x]，x->Infinity，Direction-> 1]
limx→-∞f（x）：Limit[f[x]，x->Infinity，Direction->-1]
畫一元函数图像的命令格式是：
Plot[f[x]，{x，a，b}]
例1在学习第一个重要极限 limx→0sinxx时，我们在Mathematica窗口输入命令：
Limit[Sin[x]/x，x->0]
按shift enter运行后输出结果为1.利用作图命令：
Plot[Sin[x]/x，{x，-10，10}，PlotRange {-0.3，1.1}]
运行后输出图像（如图1所示）.
图1
通过观察函数图像，可以知道当x无限接近于0时，函数值会无限接近于1.数学软件计算极限速度快且准确，通过作出函数图形，让学生从直观上理解极限的定义，极大地提高学生听课的积极性，达到良好的教学效果.
（二）函数在闭区间上的性质——零点定理
零点定理：设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号（即f（a）f（b）<0），则在开区间（a，b）内至少有函数f（x）的一个零点，
即至少存在一点ξ（a<ξ 对于高职学生来说，函数的零点个数及零点的教学是一个难点，基础较薄弱的学生遇到这类问题更是无从下手.有了Mathematica辅助教学，高职学生解决零点问题就轻松很多，而且从直观上更容易理解零点定理的本质.
例2利用Mathematica寻找函数f（x）=sinx-0.5cos25x的零点个数，并求出零点.
首先，利用Mathematica的画图功能画出函数的图像，观察图像和x轴的交点个数即为函数的零点个数.
Clear[f]；
f[x_]：=Sin[x]-0.5 Cos[25 x]；
Plot[f[x]，{x，0，2}]
图2
图2所示的是一条很有意思的曲线，从图像可以看出有5个零点，全在0和0.6之间，它们群集在左边，所以我们可以利用Mathematica在一个更合适的区间里画出函数的图形，如图3所示.
Plot[f[x]，{x，0，0.55}]
图3
最后将零点定位在0.2附近，用命令
FindRoot[f[x]，{x，0.2}]
{x0.205293}
得到零点是x=0.205 293，其他4个零点也可类似求出，这里就不再重复. （三）利用Mathematica设计微元法求平面图形的面积
在讲授定积分微元法求平面图形面积时，我们可以借助Mathematica提供的三种操作命令Plot、Solve和Integrate分别求平面曲线围成的平面图形描绘、积分区间和面积的定积分表达式.这三种操作命令格式如下：
（1）作图：Plot[{f[x]，g[x]}，{x，min，max}]
（2）求交点，确定积分区间：
Solve[y==f[x]，y==g[x]，{x，y}]
（3）确定积分变量即面积微元：
dA==（f[x]-g[x]）dx
（4）计算定积分求所求面积：
Integrate[f[x]-g[x]，{x，a，b}]
例3求由抛物线y 1=x2与直线y=1 x围成的平面图形的面积.
利用Mathematica操作命令求解：
Plot[{x^2-1，1 x}，{x，-1，2}，AxesLabel{x，y}]
运行后输出图形（如图4所示）：
图4
由图4可知所围平面图形应该选x为积分变量，为确定x的变化范围，利用Mathematica的Solve命令求它们的交点：
Solve[{y==x^2-1，y==1 x}，{x，y}]
运行后输出结果：{{x -1，y 0}，{x 2，y 3}}
在Mathematica窗口輸入命令：
所求面积微元：dA=（（1 x）-（x^2-1））dx
所求面积：Integrate[（1 x）-（x^2-1），{x，-1，2}]
最后输出结果9/2.
由此可以看出，利用Mathematica的Plot命令画出所求平面图形，用Solve求出图形的交点，进而确定积分范围，最后用Integrate求出所围平面图形的面积，学生对求解定积分的应用——平面图形的面积的步骤理解起来非常直观，学生只要掌握这几个命令的用法就可以很快求出所求的平面图形的面积.
三、结束语
高职教育以培养生产、建设、服务和管理第一线的专业技能型专门人才为主要任务，而高职数学的原则是“以应用为目的，以必须够用为度”，在高职数学教学中引入Mathematica进行辅助教学，正是符合这样的教学原则.利用Mathematica的绘图功能，能直观、形象地展示抽象概念的逻辑演变过程，将抽象的理论具体化，将烦琐复杂的计算简单化，增强学生的学习兴趣，丰富了高职数学课堂，提高课堂教学质量.
【参考文献】
[1]吴赣昌.高等数学（理工类·高职高专版）[M].第3版.北京：中国人民大学出版社，2011.
【关键词】高职数学；Mathematica；教学实践
【基金项目】广州南洋理工职业学院2016年度校级教育教学改革立项资助项目（nyjg2016016）.
一、Mathematica的特点
Mathematica是美国Wolfram公司开发的一款科学计算软件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统以及与其他应用程序的高级连接.很多功能在相应领域内处于世界领先地位，它也是目前为止使用最广泛的数学软件之一.Mathematica作为一种专门工具，具有其显著的特点，主要包括：
（1）内容丰富，功能齐全.Mathematica可以对初等数学、高等数学、工程数学等进行各种数值计算及符号运算.特别是它的符号运算功能，极大地方便了数学公式的推导.它具有很强大的绘图能力，能快速画出各种美丽的曲线和曲面，甚至可以设计动画.
（2）语法简洁，编程效率高.Mathematica的语法规则简洁，语句简单.和其他高级语言（如，C语言、Fortran语言）对比，其语法规则和表达方式更接近数学运算的思维和表达方式.使用该软件编程，用较少的语句，就可以完成复杂运算和公式推导等任务.
（3）操作简单，易于使用.Mathematica命令容易学习和记忆，操作也非常方便.用户可以和Mathematica互动“对话”，一个一个地执行命令，也可以完成“批处理”，将多个命令组成的程序，一次性地交给Mathematica，完成指定的任务.
二、教学实践
我们选取高职数学中几个典型案例来展示基于Mathematica的高职数学教学实践，结合多媒体的使用，将大大提升教学效果.
（一）Mathematica辅助理解极限概念
极限知识是微积分的基础，要学好微积分，必须理解极限思想.极限思想是近代数学的一种重要思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.对于高职学生来说，极限知识是非常抽象的，学生在理解极限思想时倍感吃力.现在有了Mathematica，在课堂上可以结合多媒体的使用，利用Mathematica强大的操作命令和图像功能帮助学生通俗地理解极限知识.Mathematica计算函数极限的命令格式是：
limx→af（x）：Limit[f[x]，x->a]
limx→∞f（x）：Limit[f[x]，x->Infinity]
limx→a f（x）：Limit[f[x]，x->a，Direction->-1]
limx→a-f（x）：Limit[f[x]，x->a，Direction-> 1]
limx→ ∞f（x）：Limit[f[x]，x->Infinity，Direction-> 1]
limx→-∞f（x）：Limit[f[x]，x->Infinity，Direction->-1]
畫一元函数图像的命令格式是：
Plot[f[x]，{x，a，b}]
例1在学习第一个重要极限 limx→0sinxx时，我们在Mathematica窗口输入命令：
Limit[Sin[x]/x，x->0]
按shift enter运行后输出结果为1.利用作图命令：
Plot[Sin[x]/x，{x，-10，10}，PlotRange {-0.3，1.1}]
运行后输出图像（如图1所示）.
图1
通过观察函数图像，可以知道当x无限接近于0时，函数值会无限接近于1.数学软件计算极限速度快且准确，通过作出函数图形，让学生从直观上理解极限的定义，极大地提高学生听课的积极性，达到良好的教学效果.
（二）函数在闭区间上的性质——零点定理
零点定理：设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号（即f（a）f（b）<0），则在开区间（a，b）内至少有函数f（x）的一个零点，
即至少存在一点ξ（a<ξ
例2利用Mathematica寻找函数f（x）=sinx-0.5cos25x的零点个数，并求出零点.
首先，利用Mathematica的画图功能画出函数的图像，观察图像和x轴的交点个数即为函数的零点个数.
Clear[f]；
f[x_]：=Sin[x]-0.5 Cos[25 x]；
Plot[f[x]，{x，0，2}]
图2
图2所示的是一条很有意思的曲线，从图像可以看出有5个零点，全在0和0.6之间，它们群集在左边，所以我们可以利用Mathematica在一个更合适的区间里画出函数的图形，如图3所示.
Plot[f[x]，{x，0，0.55}]
图3
最后将零点定位在0.2附近，用命令
FindRoot[f[x]，{x，0.2}]
{x0.205293}
得到零点是x=0.205 293，其他4个零点也可类似求出，这里就不再重复. （三）利用Mathematica设计微元法求平面图形的面积
在讲授定积分微元法求平面图形面积时，我们可以借助Mathematica提供的三种操作命令Plot、Solve和Integrate分别求平面曲线围成的平面图形描绘、积分区间和面积的定积分表达式.这三种操作命令格式如下：
（1）作图：Plot[{f[x]，g[x]}，{x，min，max}]
（2）求交点，确定积分区间：
Solve[y==f[x]，y==g[x]，{x，y}]
（3）确定积分变量即面积微元：
dA==（f[x]-g[x]）dx
（4）计算定积分求所求面积：
Integrate[f[x]-g[x]，{x，a，b}]
例3求由抛物线y 1=x2与直线y=1 x围成的平面图形的面积.
利用Mathematica操作命令求解：
Plot[{x^2-1，1 x}，{x，-1，2}，AxesLabel{x，y}]
运行后输出图形（如图4所示）：
图4
由图4可知所围平面图形应该选x为积分变量，为确定x的变化范围，利用Mathematica的Solve命令求它们的交点：
Solve[{y==x^2-1，y==1 x}，{x，y}]
运行后输出结果：{{x -1，y 0}，{x 2，y 3}}
在Mathematica窗口輸入命令：
所求面积微元：dA=（（1 x）-（x^2-1））dx
所求面积：Integrate[（1 x）-（x^2-1），{x，-1，2}]
最后输出结果9/2.
由此可以看出，利用Mathematica的Plot命令画出所求平面图形，用Solve求出图形的交点，进而确定积分范围，最后用Integrate求出所围平面图形的面积，学生对求解定积分的应用——平面图形的面积的步骤理解起来非常直观，学生只要掌握这几个命令的用法就可以很快求出所求的平面图形的面积.
三、结束语
高职教育以培养生产、建设、服务和管理第一线的专业技能型专门人才为主要任务，而高职数学的原则是“以应用为目的，以必须够用为度”，在高职数学教学中引入Mathematica进行辅助教学，正是符合这样的教学原则.利用Mathematica的绘图功能，能直观、形象地展示抽象概念的逻辑演变过程，将抽象的理论具体化，将烦琐复杂的计算简单化，增强学生的学习兴趣，丰富了高职数学课堂，提高课堂教学质量.
【参考文献】
[1]吴赣昌.高等数学（理工类·高职高专版）[M].第3版.北京：中国人民大学出版社，2011.