论文部分内容阅读
摘要：空间在科学认识层面被分为数学空间和物理空间。试图从科学哲学层面探讨空间结构，空间需要几何来描述，谈论几何必然会联系到空间。从几何入手，梳理了非欧几何的创立及证实历程，探讨空间和几何之间的联系，尝试思考空间的结构体系的变化带来的哲学意义。
关键词：空间结构 非欧几何 物理空间
中图分类号：B017 文献标识码：A 文章编号：1007-3973(2010)011-180-02
1 空间与几何
科学认识中，空间可以分为数学空间和物理空间。现代数学和物理的发展表明，这二者之间是存在着基本的差别的。首先是研究对象不同，数学空间研究的是形式的符号体系，物理空间则是对象的经验描述。；其次在不同领域，空间的称呼不一样，在物理学上称呼为”场”，或“场概念的扩张”，而在数学上成为“几何”，或“几何对象”。
空间需要用几何来描述，而谈论几何时，必然会联想到空间。那么空间的特性是什么呢?彭加勒所指的是作为几何学的对象的空间，即“几何的空间”。他认为空间主要存在以下五个特性：是连续的；是无穷的：是三维的：是均匀的，即是各点都是恒等的；是各向同性的，即是经过同一点的各线都是恒等的。。
几何的性质是科学哲学上一个极为重要的课题。因为它导致了现代物理学结构的基础——时空系统的分析。几何存在数学几何和物理几何，这是获得知识的两种基本不同的方法的范例。其不同在于，前者是先验的方法，后者是经验的方法。
2 非欧几何的孕育与创立
2.1 欧氏几何遇到挑战
最初的几何学对象是图形，于是研究它必然要借助于空间的直观性，但是直观性也有不可靠(不符合客观)的时候，因而在明确地规定了定义和公理的基础上，排除直观性，建议合乎逻辑的几何学体系的思想，欧几里得(Euclid，约公元前330-275年)在这种思想基础上，系统地总结和概括了古代几何学的成就，编著完成《几何原本》这一古代几何学的杰作，以这5条公设和5个公理作为基础，通过逻辑推理，论证几何定理，构成几何体系，创立了欧氏几何学。反映了三维平直空间结构，人们将此空间称为欧氏空间。
其中第五公设引人注目，“如有两条直线与第三条直线相交，而且截线同侧的两内角之和小于两直角时，则此两直线经过充分延长后，必在截线所成两内角之和小于两直角的一侧相交。”由第五公设可推出直线外一点只能作一条平行线的欧氏平行公理。卡尔纳普概括为，对于任意的平面，在其上有一条线L以及不在L线上的一点P，在平面上过P点有一条而且只有一条线L’平行于L线(两条线在一平面上，如果它们没有公共点，定义为平行)。
关于此公设争论的焦点不在于其真理性，而在于是否有必要作为一个公理。许多数学家相信它可能是一个定理，能够从其他公理中推导出来。许多学者做过这钟推导的无数尝试，但都没有成功。在今天看来，为什么是错的呢?因为这些尝试通常依赖直觉而难于发现其漏洞，加之当时还不存在一种充分有力地为几何的证明提供严格的逻辑规则。在推导过程中，有时候很明显地存在诉诸想象的情况。这些隐蔽的、直觉的前提原来是伪装形式的平行公理自身。当关系逻辑出现之前，平行公理的各种假想的证明的逻辑漏洞一直不容易被揭露。
2.2 非欧几何的创立
直至19世纪，才真正运用严格的逻辑证明平行公理独立于其他欧氏公理，而不能从后者导出。
19世纪20年代，罗巴切夫斯基在前人的基础上，运用反证法，圆满地解决了两千多年来关于欧氏第五公设的难题，完成了非欧几何的创立工作，对人类的科学事业作出了重大的贡献。他引用与欧氏第五公设相矛盾的命题(即直线外一点可作两条平行线)作为假设，与欧氏几何其它公设和公理联系起来，展开推理。如果这个假设与欧氏几何其他公设和公理不相容，在推理中就会引出逻辑上的矛盾，这样从反面证明了欧氏第五公设。然而，在实际的推论过程中并未出现这种矛盾，而是合乎逻辑地推出了一个新的几何体系来。由此，罗巴切夫斯基得出了三个结论：(1)用欧氏几何其他公设和公理不能证明欧氏第五公殴，欧氏第五公设是一个独立的公设。(2)与欧氏第五公设相矛盾的公设(即直线外一点可作两条平行线)同欧氏几何其他公设、公理相结合展开一系列推论，获得了许多在逻辑上无矛盾的定理，构成了不同于欧氏几何的新的几何学。(3)这种逻辑上无矛盾的几何学的真理性跟物理学上的定理一样，只能凭实验例如天文观测来检验。
黎曼也对欧氏第五公设进行了深入研究。在罗巴切夫斯基的几何学(专门地称为双曲几何学)中，有无数条平行线。在黎曼几何(被称作椭圆几何学)中，不存在平行线。
2.3 非欧几何的检验
由于非欧几何既与传统的几何学在表面上直接相矛盾，又与占统治地位的康德唯心主义空间观念相对立，因此，它的创立不能不引起人们的怀疑、讥笑和反对。
1868年，意大利数学家贝尔特拉米在《非欧几何解释的尝试》中，证明了非欧几何可以在欧氏曲面(伪球面)得到片段解释，从而使它的实际意义得到了间接的说明，于是非欧几何的思想开始被人们所接受。
然而，就整个平面或空间上解释罗氏几何的现实意义是由1870年为德国数学家克莱因所解决，他把欧氏平面上的圆的内部看作罗氏平面，把圆周看作罗氏平面上的无穷远线，把圆的弦看作罗氏直线。经过这些约定后，就可以证明，在圆内部的普遍几何的事实就变成了罗巴切夫斯基几何的定理，而且反过来，罗巴切夫斯基几何的每一个定理，就可以解释成圆内部的普通几何的事实。
通过科学实践检验那是在爱因斯坦创立广义相对论以后的事情。广义相对论完满地解释了水星运动轨道近日点的进动现象；认为水星运动轨道近日点进动现象是由于太阳的巨大质量使周围时空弯曲引起的，根据计算和观测的数据完全符合：还预言了星光经过太阳附近发生偏折的现象，不久也被英国的爱丁顿率领的人员在天文观测实践中所证实。
由此可见，广义相对论及其相应的科学实践已经证明，非欧几何(主要是黎曼几何)是反映了弯曲空间形式的科学真理。
3 关于空间哲学上的思考
非欧几何的创立使人们认识到，数学空间与物理空间有着本质的区别。
在欧氏几何到非欧几何的发展过程中。也引起了人们对空间概念的肃清。直观空间，视觉空间，动觉空间与科学意义上的空间是有区别的：而物理空间与数学空间存在本质的区别。数学空间原则上可以不涉及外部世界的现象和物体，以及现象和物体之间的关系。只涉及自己的想象物以及它们之间的关系。在欧几里得空间中，数学图形大部分被认为与出现在物理空间的物体是一致的。但在n(n>3)维空间中的数学图形很难在现实中找到它的直接抽象，然而它能被应用到对物理世界的描述中。当数学空间被用作概念框架来说明现实空间的结构时，抽象空间就转化为物理空间，此种意义上，物理空间包含数学空间和实在。物理空间的维数随所依据的数学空间以及所研究的对象而变。关于宏观物体以及星系的普通物理学中，空间是以欧几里得空间为形式的牛顿物理空间：而在以星河系为尺度的宇宙观世界的物理学中所用的则是以黎曼空间为形式的广义相对论空间。广义相对空间把几何学同物理学统一了起来，用空间结构的几何性质来表述引力场，从而使非欧几何学获得了实际的物理意义。爱因斯坦发现现实的有物质存在的宇宙空间，不是平直的欧几里得空间，而是弯曲的黎曼空间。在广义相对论中，物质的存在不仅产生了引力场，而且还使时空的特性发生了变化，造成了时空弯曲的效应。综上分析可知，物理空间是应用数学空间而获得的。
19世纪的科学创造中，非欧几何的发现，在思想上是极其深刻的意义。它的发现，是自希腊时代以来数学中一次最重大最深刻的革新，开创了几何学和数学的新时代，对其以后的发展起着深远的影响和重大的作用；从根本上迫使数学家改变对数学的性质以及数学和物理世界的关系的理解，迫使人们改变传统的空间观念，在自然科学领域中发起了对唯心论形而上学宇宙观的猛烈攻击，因此是人类认识和思想方法上的一场重大变革。
关键词：空间结构 非欧几何 物理空间
中图分类号：B017 文献标识码：A 文章编号：1007-3973(2010)011-180-02
1 空间与几何
科学认识中，空间可以分为数学空间和物理空间。现代数学和物理的发展表明，这二者之间是存在着基本的差别的。首先是研究对象不同，数学空间研究的是形式的符号体系，物理空间则是对象的经验描述。；其次在不同领域，空间的称呼不一样，在物理学上称呼为”场”，或“场概念的扩张”，而在数学上成为“几何”，或“几何对象”。
空间需要用几何来描述，而谈论几何时，必然会联想到空间。那么空间的特性是什么呢?彭加勒所指的是作为几何学的对象的空间，即“几何的空间”。他认为空间主要存在以下五个特性：是连续的；是无穷的：是三维的：是均匀的，即是各点都是恒等的；是各向同性的，即是经过同一点的各线都是恒等的。。
几何的性质是科学哲学上一个极为重要的课题。因为它导致了现代物理学结构的基础——时空系统的分析。几何存在数学几何和物理几何，这是获得知识的两种基本不同的方法的范例。其不同在于，前者是先验的方法，后者是经验的方法。
2 非欧几何的孕育与创立
2.1 欧氏几何遇到挑战
最初的几何学对象是图形，于是研究它必然要借助于空间的直观性，但是直观性也有不可靠(不符合客观)的时候，因而在明确地规定了定义和公理的基础上，排除直观性，建议合乎逻辑的几何学体系的思想，欧几里得(Euclid，约公元前330-275年)在这种思想基础上，系统地总结和概括了古代几何学的成就，编著完成《几何原本》这一古代几何学的杰作，以这5条公设和5个公理作为基础，通过逻辑推理，论证几何定理，构成几何体系，创立了欧氏几何学。反映了三维平直空间结构，人们将此空间称为欧氏空间。
其中第五公设引人注目，“如有两条直线与第三条直线相交，而且截线同侧的两内角之和小于两直角时，则此两直线经过充分延长后，必在截线所成两内角之和小于两直角的一侧相交。”由第五公设可推出直线外一点只能作一条平行线的欧氏平行公理。卡尔纳普概括为，对于任意的平面，在其上有一条线L以及不在L线上的一点P，在平面上过P点有一条而且只有一条线L’平行于L线(两条线在一平面上，如果它们没有公共点，定义为平行)。
关于此公设争论的焦点不在于其真理性，而在于是否有必要作为一个公理。许多数学家相信它可能是一个定理，能够从其他公理中推导出来。许多学者做过这钟推导的无数尝试，但都没有成功。在今天看来，为什么是错的呢?因为这些尝试通常依赖直觉而难于发现其漏洞，加之当时还不存在一种充分有力地为几何的证明提供严格的逻辑规则。在推导过程中，有时候很明显地存在诉诸想象的情况。这些隐蔽的、直觉的前提原来是伪装形式的平行公理自身。当关系逻辑出现之前，平行公理的各种假想的证明的逻辑漏洞一直不容易被揭露。
2.2 非欧几何的创立
直至19世纪，才真正运用严格的逻辑证明平行公理独立于其他欧氏公理，而不能从后者导出。
19世纪20年代，罗巴切夫斯基在前人的基础上，运用反证法，圆满地解决了两千多年来关于欧氏第五公设的难题，完成了非欧几何的创立工作，对人类的科学事业作出了重大的贡献。他引用与欧氏第五公设相矛盾的命题(即直线外一点可作两条平行线)作为假设，与欧氏几何其它公设和公理联系起来，展开推理。如果这个假设与欧氏几何其他公设和公理不相容，在推理中就会引出逻辑上的矛盾，这样从反面证明了欧氏第五公设。然而，在实际的推论过程中并未出现这种矛盾，而是合乎逻辑地推出了一个新的几何体系来。由此，罗巴切夫斯基得出了三个结论：(1)用欧氏几何其他公设和公理不能证明欧氏第五公殴，欧氏第五公设是一个独立的公设。(2)与欧氏第五公设相矛盾的公设(即直线外一点可作两条平行线)同欧氏几何其他公设、公理相结合展开一系列推论，获得了许多在逻辑上无矛盾的定理，构成了不同于欧氏几何的新的几何学。(3)这种逻辑上无矛盾的几何学的真理性跟物理学上的定理一样，只能凭实验例如天文观测来检验。
黎曼也对欧氏第五公设进行了深入研究。在罗巴切夫斯基的几何学(专门地称为双曲几何学)中，有无数条平行线。在黎曼几何(被称作椭圆几何学)中，不存在平行线。
2.3 非欧几何的检验
由于非欧几何既与传统的几何学在表面上直接相矛盾，又与占统治地位的康德唯心主义空间观念相对立，因此，它的创立不能不引起人们的怀疑、讥笑和反对。
1868年，意大利数学家贝尔特拉米在《非欧几何解释的尝试》中，证明了非欧几何可以在欧氏曲面(伪球面)得到片段解释，从而使它的实际意义得到了间接的说明，于是非欧几何的思想开始被人们所接受。
然而，就整个平面或空间上解释罗氏几何的现实意义是由1870年为德国数学家克莱因所解决，他把欧氏平面上的圆的内部看作罗氏平面，把圆周看作罗氏平面上的无穷远线，把圆的弦看作罗氏直线。经过这些约定后，就可以证明，在圆内部的普遍几何的事实就变成了罗巴切夫斯基几何的定理，而且反过来，罗巴切夫斯基几何的每一个定理，就可以解释成圆内部的普通几何的事实。
通过科学实践检验那是在爱因斯坦创立广义相对论以后的事情。广义相对论完满地解释了水星运动轨道近日点的进动现象；认为水星运动轨道近日点进动现象是由于太阳的巨大质量使周围时空弯曲引起的，根据计算和观测的数据完全符合：还预言了星光经过太阳附近发生偏折的现象，不久也被英国的爱丁顿率领的人员在天文观测实践中所证实。
由此可见，广义相对论及其相应的科学实践已经证明，非欧几何(主要是黎曼几何)是反映了弯曲空间形式的科学真理。
3 关于空间哲学上的思考
非欧几何的创立使人们认识到，数学空间与物理空间有着本质的区别。
在欧氏几何到非欧几何的发展过程中。也引起了人们对空间概念的肃清。直观空间，视觉空间，动觉空间与科学意义上的空间是有区别的：而物理空间与数学空间存在本质的区别。数学空间原则上可以不涉及外部世界的现象和物体，以及现象和物体之间的关系。只涉及自己的想象物以及它们之间的关系。在欧几里得空间中，数学图形大部分被认为与出现在物理空间的物体是一致的。但在n(n>3)维空间中的数学图形很难在现实中找到它的直接抽象，然而它能被应用到对物理世界的描述中。当数学空间被用作概念框架来说明现实空间的结构时，抽象空间就转化为物理空间，此种意义上，物理空间包含数学空间和实在。物理空间的维数随所依据的数学空间以及所研究的对象而变。关于宏观物体以及星系的普通物理学中，空间是以欧几里得空间为形式的牛顿物理空间：而在以星河系为尺度的宇宙观世界的物理学中所用的则是以黎曼空间为形式的广义相对论空间。广义相对空间把几何学同物理学统一了起来，用空间结构的几何性质来表述引力场，从而使非欧几何学获得了实际的物理意义。爱因斯坦发现现实的有物质存在的宇宙空间，不是平直的欧几里得空间，而是弯曲的黎曼空间。在广义相对论中，物质的存在不仅产生了引力场，而且还使时空的特性发生了变化，造成了时空弯曲的效应。综上分析可知，物理空间是应用数学空间而获得的。
19世纪的科学创造中，非欧几何的发现，在思想上是极其深刻的意义。它的发现，是自希腊时代以来数学中一次最重大最深刻的革新，开创了几何学和数学的新时代，对其以后的发展起着深远的影响和重大的作用；从根本上迫使数学家改变对数学的性质以及数学和物理世界的关系的理解，迫使人们改变传统的空间观念，在自然科学领域中发起了对唯心论形而上学宇宙观的猛烈攻击，因此是人类认识和思想方法上的一场重大变革。