格论中的一些反例

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  【摘要】 Dedekind观察到环的附加子群格和群的正规子群格满足模律不等式,而后引出了一个非分配模格的例子M3,本文由M3开始归纳探讨了格论中的一些反例.
  【关键词】 模律;不等式;反例
  【中图分类号】 O153.1
  一、预备知识
  格论是代数学的一个分支,其在19世纪由Boole,Peirce,Schroder的工作演化而来,并由Dedekind,Birkhoff等人在20世纪上页所做的工作推动.Boole奠定了代数学的基础,从那时起就已经由集合系统引出了对分配格的研究.而后Dedekind观察到一个环的附加子群和一个群的正规子群在自然方式下构成格,并且这些格满足一个特殊的性质叫做模律,我们用一个式子
  c≤b,c∨(a∧b)=(c∨a)∧b
  表示这个性质.这个式子被称为一个不等式,我们在格论中用这样一些不等式刻画格的性质.已经知道模律是分配律的一个结果,即任意满足分配律的格一定满足模律,而Dedekind的观察引出了一个满足模律但不满足分配律的例子,即下文要提到的非分配模格M3.在格论中有不少这样的反例,本文归纳其中一部分并进行讨论.
  定义1 一个包含最小元0的格是原子格,如果对于每一个非0元b>0,都有一个原子a在其下方,即b≥a>0.
  定义2 一个格中的任意三个元素a,b,c,如果c≤b,都有c∨(a∧b)=(c∨a)∧b成立,那么这个格叫模格.
  定义3 任取一个格中的元素x,如果存在一个元素y,使得x∧y=0,x∨y=1同时成立,那么元素y叫做x的一个补.如果一个格中任意元素都有补,那么这个格叫有补格.
  引理1 模格不一定是分配格,如菱形M3
  图1 菱形M3
  证明:菱形M3是模格,因为对任意三个元素a,b,c,如果c≤b,都有
  c∨(a∧b)=(c∨a)∧b 成立;取M3中所示的三个元素a,b,c,
  有c∨(a∧b)=c≠1=(c∨a)∧(c∨b), 所以M3不是分配格.
  二、主要结果
  1.模律和分配性相关条件下的反例
  定理1 六边形格为不满足正交模律的正交补格
  证明:图中任意元素a,都存在元a⊥,使得正交补的三个条件成立,即每个元素都有一个正交补,所以这个六边形为正交补格.另一方面,因为b⊥≤b⊥,所以有b⊥⊥b.已知a≤b,而a∨(b∧b⊥)=a≠0=(a∨b)∧b⊥,所以这个正交补格不是正交模格.
  图2 六边形
  定理2 下图所示的格为非模正交模格
  图3
  2.有补性相关的条件下格的反例
  定理3 N5是有补格但不是相对有补格,也不是部分有补格
  图4 五边形N3
  证明:格N5中的任意元素都有补,因此N5为有补格.而区间 0,b 中的元素c没有补,所以N5既不是相对有补格也不是部分有补格.
  三、小 结
  格论中的不等式用来刻画格的性质,各个不等式之间既有联系也有区别.本文分别从原子格,模格和有补格这三类格出发,归纳并探讨了相关条件下的格的反例.格论中具有丰富的不等式条件,本文只是摘取了其中一部分进行讨论,更多复杂的情形还有待于进一步的研究.
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