摘 要：抽象函数是高中数学中一个难点、热点问题.教师难教，学生难学，对能力的要求较高，更能体现函数的抽象性。
　　关键词：抽象函数;题目类型;解题方法;变换方式
　　抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数.抽象函数常常集函数的性质、图象、定义域、值域等问题于一身.既考查函数的概念与性质，又能考查学生的思维能力，并且概念抽象，构思新颖，隐蔽性强，灵活性大，综合程度高.它在高中数学教材中虽然没有涉及到，但在各类高考模拟试题中常常见到，也是近几年高考试题中的新宠.本文就以常见问题归纳一下抽象函数的常见解法.
　　一、定义域问题
　　例1：已知函数f（x2）的定义域是[1，2]，求f（x）的定义域.
　　解：f（x2）的定义域是[1，2]，是指f（x2）式子中x的范围，即1≤x≤2，所以f（x2）中满足1≤x2≤4，利用整体代换思想，即f（x）为中x的取值范围，即1≤x≤4，所以f（x）的定义域为[1，4].
　　评析：一般地，已知f（φ（x））的定义域A，求f（x）的定义域问题，相当于已知f（φ（x））中的x取值范围，据此求φ（x）的值域问题.
　　二、求值问题
　　例2：已知函数f（x）的定义域为R+，同时满足下列条件：（1）f（2）=1，f（6）=1/5;（2）f（x·y）=f（x）+f（y）;求f（3），f（9）的值.
　　解：由式子f（x·y）=f（x）+f（y），取x=2，y=3得f（6）=f（2）+f（3），由f（2）=1，f（6）=1/5，∴f（3）=f（6）-f（2）=1/5-1=-4/5.
　　又在式子中取x=y=3，f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=-4/5+（-4/5）=-8/5
　　評析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取x=2，y=3，这样使已知条件f（2）=1，f（6）=1/5与欲求f（3）沟通起来，赋值法是解此类问题的常用技巧.
　　三、值域问题
　　例3：设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数x，y，式子f（x+y）=f（x）·f（y）总成立，且存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2），求f（x）的值域.
　　解：在式子中令x=y=0，得f（0）=f（0）·f（0）=[f（0）]2，即f（0）=0或f（0）=1.
　　若f（0）=0，则f（x）=f（x+0）=f（x）·f（0）=0，这对任意x∈R均成立，这与存在实数x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）成立矛盾，故f（0）≠0，所以必有f（0）=1.
　　由于f（x+y）=f（x）·f（y）对任意x，y∈R均成立，因此对任意x∈R，有：
　　f（x）=f（x/2+x/2）=f（x/2）·f（x/2）=[f（x/2）]2≥0
　　下面证明：对任意x∈R，f（x）≠0.
　　若存在x0∈R，使f（x0）=0，则f（0）=f（x0-x0）=f[x0+（-x0）]=f（x0）·f（-x0）=0，这与上面证明的f（0）≠0矛盾，因此，对任意的x∈R，f（x）≠0.∴f（x）>0.
　　评析：在处理抽象函数问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段.
　　四、解析式问题
　　例4：设对满足x≠0，x≠1的所有实数x，函数f（x）满足f（x）+f[（x-1）/x]=1+x，求f（x）的解析式.
　　解：在f（x）+f[（x-1）/x]=1+x中①，用（x-1）/x代替式子中的x，得f[（x-1）/x]+f[-1/（x-1）]=（2x-1）/x ②，再去①式中用-1/（x-1）代换式子中的x，得f[-1/（x-1）]+f（x）=（x-2）/（x-1） ③，则由①-②+③化简得f（x）=（x3-x2-1）/2x（x-1）.
　　评析：如果把x和（x-1）/x分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题的关键.通常情况下，给某些变量适当赋值，使它在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略.
　　五、单调性问题
　　例5：定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）  （x，y∈R），当x<0时，f（x）>0，证明f（x）在R上是减函数.
　　证明：通过例6可知f（x）在R上是奇函数，设x1　　f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）
　　由条件知：∵x10∴f（x1）-f（x2）>0
　　即f（x1）>f（x2）又x1　　评析：抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值求变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式即所求结果相关联.
　　六、周期性问题
　　例7：设f（x）定义在R上且对任意的x有f（x）=f（x+1）-f（x+2），求证：f（x）是周期函数，且找出它的一个周期.
　　证明：∵f（x）=f（x+1）-f（x+2）…………………………①
　　∴f（x+1）=f（x+2）-f（x+3）……………………②
　　由①+②得f（x）=-f（x+3）…………………………③
　　由③式得f（x+3）=-f（x+6）…………………………④
　　由③及④式得f（x）=f（x+6）以上式子对任意x∈R都成立.
　　因此f（x）是周期函数，且周期是6.
　　评析：周期函数的求解主要是构选定义的条件f（x+T）=f（x），若函数式子满足f（x+a）=±f（x）或f（x）=1/[±f（x+a）]的形式，就一定是周期函数.
　　参考文献：
　　[1].《抽象函数问题的背景透析》湖南周良质.
　　[2].《抽象函数常见问题及解题策略》、《学习方法报》张先云.
　　[3].《抽象函数问题分类解析》甘肃苏文云.