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摘 要：根据当前社会状况以及应用型工科学生的需求，制定了一套数学物理方法课程的内容体系以及讲解方法，包括复变函数与积分变换部分、数学物理方程两部分，适合三本院校教师参考。
关键词：复变函数；积分变换；数学物理；课程建设
1、课程建设的意义
我国现行的数学物理方法课程包含复变函数与积分变换、数学物理方程两大模块。该课程是物理类专业的重要课程，是衔接普通物理与理论物理的重要纽带。该课程的学习涉及到大量的关联知识，包括高等数学、力学、电磁学、交流电路分析等，具有高度的抽象性，是一门公认的难学的课程。
随着社会经济的发展，整个社会关注的焦点逐渐由科学技术向经济金融转变，大学作为社会的一部分，也在经历着这样一个过程。这一转变最具体的表现就是理工科专业的热度逐渐下降，经济管理金融等专业变得异常火爆。即便是理工类专业的在读学生，对专业知识的兴趣也在逐年下降。这直接导致了数学物理类课程的课时逐渐减少，难度很大的数学物理方法课程在很多学校甚至已经消失。在这样的背景下，如何改革传统的数理方法课程体系，使之适合现阶段应用型工科专业的学生特点，就变得尤为重要。
2、课程的开设情况
北京理工大学珠海学院是一所三本层次的独立本科院校，开设数理方法课程的专业有：电子科学与技术、通信工程、信息工程、自动化、电气工程及其自动化、应用物理学。上述专业因为涉及到电信类的专业课程，因此目前都设置了复变函数与积分变换的教学内容。信息工程专业会涉及到无线电与雷达等后续专业课，早年曾经开设过数学物理方程，后来因为难度大而停止。只有应用物理学专业坚持开设完整的数理方法课程。
上述理工科专业在学习数理方法类课程之前，都已经学习了11学分的高等数学。从考试成绩反馈的信息可以发现，学生对于一元微积分掌握的很好，对常微分方程、幂级数与傅里叶级数部分掌握的稍差，多元微积分与场论掌握很差。从多年的教学经验发现，多数学生对数学类课程的理解上限就是高等数学，对于更高层次的数理方法很难透彻理解。
3、对数理方法课程的要求
从笔者了解的情况来看，我校各个专业对数理方法的内容要求都有所不同。下面分别阐述：
1）通信类专业，后续的《信号与系统》课程基本就是积分变换的延续，尤其是对频谱概念要求很高；后续的《电磁场与电磁波》课程对数理方程中的泊松方程和波动方程要求很多，而对于热传导方程基本无需求。
2）自动化类专业，在其后续的《自动控制原理》课程中，大量应用积分变换和极点的概念来研究线性控制系统。
3）应用物理学专业，主要培养的是无损检测方向，后续课程涉及到少量信号处理的知识，要求了解频谱的概念；其后续的《声学》课程对常微分方程和波动方程有较高的要求；后续的《涡流检测》以及《磁粉检测》涉及到一些波动方程与泊松方程。
4、复变函数与积分变换部分的内容设计
按照本文前面的描述，这部分内容的终极目标是让学生理解频谱的概念；理解极点的概念；理解积分变换在求解线性微积分方程中的应用，从而了解积分变换在线性系统中的应用。下面我们从课程目标倒推我们需要讲授哪些概念：
1）为了学习傅里叶变换与拉普拉斯变换，需要复习高数中的傅里叶级数，需要学习一些复积分的知识。
2）为了理解拉式逆变换的积分公式，需要学习留数定理。
3）为了学习留数定理，需要了解复变函数以及复变函數的洛朗展开。
4）所有涉及复变函数、复级数、复积分的知识，都需要复数的加、减、乘、除、乘方、开方运算。
基于上述由课程目标倒推所得到的结论以及学生的高等数学基础，我按照24-32课时设计复变函数部分的教学大纲如下：
1）复习复数的概念，掌握复数的加、减、乘、除、乘方、开方运算。
2）掌握复变函数的概念、复变函数的导数、解析函数的概念、奇点的概念。
3）理解复积分的含义，以及连通区域的柯西积分定理。但是不学习柯西积分公式。
4）理解复函数的幂级数展开。由于不学习柯西积分公式，所以不能用它导出复函数的级数展开。复函数的级数展开应该将高等数学的泰勒展开公式直接拿来应用，并简单的说明差异。
5）了解复函数的洛朗展开。不应该证明洛朗展开的定理，而是从幂级数展开直接拓展。例如通过sin（z）的级数展开，直接写出sin（z）/z、sin（z）/z2等函数的洛朗展开，进而说明洛朗级数的形状特点，以及奇点的分类。只要求学生了解函数在奇点邻域内可以展开为洛朗级数以及奇点的分类，不要求学生能够做具体函数的洛朗展开。
6）在了解洛朗级数的形状之后，理解确定奇点类型的几个规则。
7）通过将复函数的围到积分转化为洛朗级数的围到积分，得到留数的概念以及留数定理。理解计算留数的几个规则。
8）复习傅里叶级数，理解频谱分解的思想。
9）理解傅里叶变换的定义，以及频谱分解的思想。能够计算最简单函数的傅里叶变换。
10）理解拉普拉斯变换的定义，能够计算简单函数的拉氏变换。
11）理解拉氏变换的性质，能够通过查表方法计算拉式逆变换。
12）理解拉氏变换求解一阶振动系统和交流电路。
5、数学物理方程部分的内容设计
这部分内容更为庞杂，笔者还没有特别满意的处理方式。暂且提出初步的想法，与各位同行探讨：
1）重点讲述波动方程的建立，次重点讲授泊松方程的建立，不讲授热传导方程。要求学生理解方程的建立过程，不要求学生自己建立方程。
2）阐述方程的定解条件，要求学生理解，不要求学生自己书写。
3）重点讲授行波法，突出强调波的“传播”思想，让学生能够辨认左行波、右行波、波速这三个要素。 4）直接写出三维各向同性的波动方程，学生应该能够辨认出各向同性发散波与各向同性汇聚波。
5）重点讲授一维齐次弦振动方程的求解，与力学中的驻波做对比，与傅里叶分解做对比，强调特征频率的概念，强调谐波叠加的概念。不讲授非齐次方程，不讲授非齐次边条件。
6）讲授二维圆域内的拉普拉斯方程求解，写出其通解的级数形式，要求学生能够根据径向边界条件确定叠加系数。
7）教师演示球坐标中求解拉普拉斯方程的过程，学生需要理解轴对称形式的方程通解，能够根据径向边界条件确定叠加系数。
8）了解勒让德函数，不要求理解生成函数以及性质。
9）教师演示柱坐标下拉普拉斯方程的求解，学生了解贝塞尔方程以及贝塞尔函数的记号。
10）教师演示波动方程的分离变量法求解，得到亥姆霍兹方程。教师直接写出亥姆霍兹方程在柱坐标以及球坐标中的通解形式，学生了解即可。
6、不足之处与尚未解决的问题
1）从泰勒级数直接过渡到洛朗级数，学生还是有接受心理障碍，需要通过提升教学技巧来化解。
2）狄拉克δ函数还未有很简洁的处理方法。
3）一维波动方程的行波法和分离变量法教授较为成熟，但是高维曲线坐标中的分离变量法还未有很好的处理技巧。
4）曾经设想的用MATLAB中的工具箱DTOOLS数值求解方程，因为课时限制以及输入边界条件的难度，只讲授过一次，没有坚持下来。
全国教指委项目：应用型工科专业的数理方法课程内容体系研究与实践（JZW-15-SL-06）
参考文献
[1]李红，谢松法.复变函数与积分变换（第三版）[M].北京：高等教育出版社.2008.6
[2]张小红.信号与系统（第二版）[M].西安：西安电子科技大学出版社.2008.9
[3]卢京朝.自动控制原理（第二版）[M].西安：西北工業大学出版社.2009.8
[4]姚端正，梁家宝.数学物理方法（第三版）[M].北京：科学出版社.2010.3
[5]杨孔庆.数学物理方法[M].北京：高等教育出版社.2012.12
[6]臧涛成，马春兰.数学物理方法[M].北京：高等教育出版社.2014.9
作者简介：
邢秀文（1979），男，北理工珠海学院物理讲师，硕士研究生，从事大学物理教学，研究声波无损检测以及射线无损检测。
（作者单位：北京理工大学珠海学院 数理与土木工程学院）
关键词：复变函数；积分变换；数学物理；课程建设
1、课程建设的意义
我国现行的数学物理方法课程包含复变函数与积分变换、数学物理方程两大模块。该课程是物理类专业的重要课程，是衔接普通物理与理论物理的重要纽带。该课程的学习涉及到大量的关联知识，包括高等数学、力学、电磁学、交流电路分析等，具有高度的抽象性，是一门公认的难学的课程。
随着社会经济的发展，整个社会关注的焦点逐渐由科学技术向经济金融转变，大学作为社会的一部分，也在经历着这样一个过程。这一转变最具体的表现就是理工科专业的热度逐渐下降，经济管理金融等专业变得异常火爆。即便是理工类专业的在读学生，对专业知识的兴趣也在逐年下降。这直接导致了数学物理类课程的课时逐渐减少，难度很大的数学物理方法课程在很多学校甚至已经消失。在这样的背景下，如何改革传统的数理方法课程体系，使之适合现阶段应用型工科专业的学生特点，就变得尤为重要。
2、课程的开设情况
北京理工大学珠海学院是一所三本层次的独立本科院校，开设数理方法课程的专业有：电子科学与技术、通信工程、信息工程、自动化、电气工程及其自动化、应用物理学。上述专业因为涉及到电信类的专业课程，因此目前都设置了复变函数与积分变换的教学内容。信息工程专业会涉及到无线电与雷达等后续专业课，早年曾经开设过数学物理方程，后来因为难度大而停止。只有应用物理学专业坚持开设完整的数理方法课程。
上述理工科专业在学习数理方法类课程之前，都已经学习了11学分的高等数学。从考试成绩反馈的信息可以发现，学生对于一元微积分掌握的很好，对常微分方程、幂级数与傅里叶级数部分掌握的稍差，多元微积分与场论掌握很差。从多年的教学经验发现，多数学生对数学类课程的理解上限就是高等数学，对于更高层次的数理方法很难透彻理解。
3、对数理方法课程的要求
从笔者了解的情况来看，我校各个专业对数理方法的内容要求都有所不同。下面分别阐述：
1）通信类专业，后续的《信号与系统》课程基本就是积分变换的延续，尤其是对频谱概念要求很高；后续的《电磁场与电磁波》课程对数理方程中的泊松方程和波动方程要求很多，而对于热传导方程基本无需求。
2）自动化类专业，在其后续的《自动控制原理》课程中，大量应用积分变换和极点的概念来研究线性控制系统。
3）应用物理学专业，主要培养的是无损检测方向，后续课程涉及到少量信号处理的知识，要求了解频谱的概念；其后续的《声学》课程对常微分方程和波动方程有较高的要求；后续的《涡流检测》以及《磁粉检测》涉及到一些波动方程与泊松方程。
4、复变函数与积分变换部分的内容设计
按照本文前面的描述，这部分内容的终极目标是让学生理解频谱的概念；理解极点的概念；理解积分变换在求解线性微积分方程中的应用，从而了解积分变换在线性系统中的应用。下面我们从课程目标倒推我们需要讲授哪些概念：
1）为了学习傅里叶变换与拉普拉斯变换，需要复习高数中的傅里叶级数，需要学习一些复积分的知识。
2）为了理解拉式逆变换的积分公式，需要学习留数定理。
3）为了学习留数定理，需要了解复变函数以及复变函數的洛朗展开。
4）所有涉及复变函数、复级数、复积分的知识，都需要复数的加、减、乘、除、乘方、开方运算。
基于上述由课程目标倒推所得到的结论以及学生的高等数学基础，我按照24-32课时设计复变函数部分的教学大纲如下：
1）复习复数的概念，掌握复数的加、减、乘、除、乘方、开方运算。
2）掌握复变函数的概念、复变函数的导数、解析函数的概念、奇点的概念。
3）理解复积分的含义，以及连通区域的柯西积分定理。但是不学习柯西积分公式。
4）理解复函数的幂级数展开。由于不学习柯西积分公式，所以不能用它导出复函数的级数展开。复函数的级数展开应该将高等数学的泰勒展开公式直接拿来应用，并简单的说明差异。
5）了解复函数的洛朗展开。不应该证明洛朗展开的定理，而是从幂级数展开直接拓展。例如通过sin（z）的级数展开，直接写出sin（z）/z、sin（z）/z2等函数的洛朗展开，进而说明洛朗级数的形状特点，以及奇点的分类。只要求学生了解函数在奇点邻域内可以展开为洛朗级数以及奇点的分类，不要求学生能够做具体函数的洛朗展开。
6）在了解洛朗级数的形状之后，理解确定奇点类型的几个规则。
7）通过将复函数的围到积分转化为洛朗级数的围到积分，得到留数的概念以及留数定理。理解计算留数的几个规则。
8）复习傅里叶级数，理解频谱分解的思想。
9）理解傅里叶变换的定义，以及频谱分解的思想。能够计算最简单函数的傅里叶变换。
10）理解拉普拉斯变换的定义，能够计算简单函数的拉氏变换。
11）理解拉氏变换的性质，能够通过查表方法计算拉式逆变换。
12）理解拉氏变换求解一阶振动系统和交流电路。
5、数学物理方程部分的内容设计
这部分内容更为庞杂，笔者还没有特别满意的处理方式。暂且提出初步的想法，与各位同行探讨：
1）重点讲述波动方程的建立，次重点讲授泊松方程的建立，不讲授热传导方程。要求学生理解方程的建立过程，不要求学生自己建立方程。
2）阐述方程的定解条件，要求学生理解，不要求学生自己书写。
3）重点讲授行波法，突出强调波的“传播”思想，让学生能够辨认左行波、右行波、波速这三个要素。 4）直接写出三维各向同性的波动方程，学生应该能够辨认出各向同性发散波与各向同性汇聚波。
5）重点讲授一维齐次弦振动方程的求解，与力学中的驻波做对比，与傅里叶分解做对比，强调特征频率的概念，强调谐波叠加的概念。不讲授非齐次方程，不讲授非齐次边条件。
6）讲授二维圆域内的拉普拉斯方程求解，写出其通解的级数形式，要求学生能够根据径向边界条件确定叠加系数。
7）教师演示球坐标中求解拉普拉斯方程的过程，学生需要理解轴对称形式的方程通解，能够根据径向边界条件确定叠加系数。
8）了解勒让德函数，不要求理解生成函数以及性质。
9）教师演示柱坐标下拉普拉斯方程的求解，学生了解贝塞尔方程以及贝塞尔函数的记号。
10）教师演示波动方程的分离变量法求解，得到亥姆霍兹方程。教师直接写出亥姆霍兹方程在柱坐标以及球坐标中的通解形式，学生了解即可。
6、不足之处与尚未解决的问题
1）从泰勒级数直接过渡到洛朗级数，学生还是有接受心理障碍，需要通过提升教学技巧来化解。
2）狄拉克δ函数还未有很简洁的处理方法。
3）一维波动方程的行波法和分离变量法教授较为成熟，但是高维曲线坐标中的分离变量法还未有很好的处理技巧。
4）曾经设想的用MATLAB中的工具箱DTOOLS数值求解方程，因为课时限制以及输入边界条件的难度，只讲授过一次，没有坚持下来。
全国教指委项目：应用型工科专业的数理方法课程内容体系研究与实践（JZW-15-SL-06）
参考文献
[1]李红，谢松法.复变函数与积分变换（第三版）[M].北京：高等教育出版社.2008.6
[2]张小红.信号与系统（第二版）[M].西安：西安电子科技大学出版社.2008.9
[3]卢京朝.自动控制原理（第二版）[M].西安：西北工業大学出版社.2009.8
[4]姚端正，梁家宝.数学物理方法（第三版）[M].北京：科学出版社.2010.3
[5]杨孔庆.数学物理方法[M].北京：高等教育出版社.2012.12
[6]臧涛成，马春兰.数学物理方法[M].北京：高等教育出版社.2014.9
作者简介：
邢秀文（1979），男，北理工珠海学院物理讲师，硕士研究生，从事大学物理教学，研究声波无损检测以及射线无损检测。
（作者单位：北京理工大学珠海学院 数理与土木工程学院）