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【摘要】类比法在中学数学的众多解题方法中一直占据着非常重要的地位，掌握并熟练使用类比方法，不但能够启发解题思路，提供解题线索，而且还可以帮助学生系统的掌握和巩固新知识，大力增强其发散思维以及创造思维能力。
【关键词】中学数学；类比法；意义；应用方法
High school mathematics；Type ratio method；Meaning；Application method
Chai Xiao-hong
【Abstract】The type has been occupy a count for much position in high school mathematics of numerously the solution the method than the method and control combine well-trained use a type for instance method， not only can inspire solution way of thinking， provide solution clues， and return can in aid of student's system of control and make stronger the new information know， strongly strengthen it dissipate of thinking and create thinking ability.
【Key words】High school mathematics；Type ratio method；Meaning；Application method
类比，作为一种推理的方法，指的是根据两种事物在某些特征上的“相似”，作出它们在其他特征上也可能“相似”的判断。类比法在初中数学范围内应用极其广泛， 是发现概念、方法、公式和定理的重要手段并能以此开创新领域、新分支。类比法是初中重要的教学方法，数学中的许多定理、公式和法则是通过类比得到的，在解题中寻找问题的线索，往往也借助于类比方法，从而达到启发思路的目的。以下结合自己的教学经验，以类比法在初中数学教学中的应用为主题进行探讨。
一、类比在数学概念教学中的应用
在教学数轴时，借助温度计这一生活中的数轴。从标有刻度的温度计来表示温度的高低这个事实出发引出数轴的画法和用数轴上点表示数的方法。
在一元一次不等式概念教学时，首先，复习一元一次方程的概念：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一次，这样的方程叫做一元一次方程，然后，我们把方程的概念引申到不等式上来，学生不难发现有“一元一次”的特征，类比一元一次方程的概念很容易得出，至于学生容易忽略的条件“两边都是整式”，教师应稍作强调。同样教师在讲授一元二次方程这一概念时，明确元指未知数，次指未知数或未知项的次数。然后问，如果我们将概念中的一次换成二次会得到什么样的概念呢？还可以类比引入一元高次方程和二元一次方程或多元高次方程的概念。
显然，概念类比使概念的得出更加自然，又大大降低了学生对初次接触的概念的陌生感，既复习巩固了旧概念，又加深理解了新概念。
二、类比在数学运算法则、定理教学中的应用
例如：两个分数相乘时，分子乘分子，分母乘分母，两个分式相乘时，也应该分子乘分子，分母乘分母，除以一个分数等于乘以这个分数的倒数，同理除以一个分式时，也应乘以这个分式的倒数。两个同分母分数相加减时，分母不变，分子相加减，同理，同分母分式相加减时，分母不变，分子相加减。异分母分数相加减时，要先进行通分，化成同分母分数后再加减，同理，异分母分式相加减时，也要先进行通分，化成同分母分式，然后再加减。分数通分时，要先找各分母的最小公倍数，分式通分时，也要找分母的最简公分母。
在学习三角形的外接圆和内切圆时，大多数学生会把外心和内心的概念及性质混淆。针对这一问题，采用类比思想，把三角形的外心和内心的概念及性质归纳为：外心是三角形三边中垂线的交点，它随三角形的形状不同，位置也不同：它在锐角三角形的内部，在直角三角形斜边的中点处，在钝角三角形的外部；它是三角形外接圆的圆心；具有到三角形三个顶点的距离相等的性质。内心是三角形内切圆的圆心；它是三角形三个内角平分线的交点；它一定在三角形的内部，不随三角形形状的改变而变化位置；它到三角形三边的距离相等。
三、类比在探究方法、解题方法上的应用
在讲概率问题时，我们可以建立概率模型，用类比法解决许多问题。如掷硬币问题，可用树状图来计算出现正反面的概率。类比此法，我们可以直接求出生男生女的概率。也可以直接计算出摸球的概率如口袋中有一红一白两球，从中摸出一球，放回，再摸一次，那么连生一男一女的概率和摸一红一白两球的概率都等于出现一正一反的概率。
在讲解等式和不等式时，根据天平的功能可以类比出等式和不等式的性质。天平的杠杆相当于等号和不等号，天平的左盘和右盘相当于等式和不等式的左边和右边。当天平的两边分别增加和减少相同的质量时，天平仍然平衡，即给等式两边同时加上或减去一个相同的数或代数式时，等式仍然成立。当给天平的两端同时扩大或缩小相同的量时，天平两端仍然平衡，即给等式的两边同时乘以或除以一个相同的数时，等式仍然成立。当天平倾斜时，给天平的两端同时加上或减去一个相同的量时，天平的倾斜方向不变，即不等式具有性质1；当天平的两端同时扩大或缩小相同的数时，天平的倾斜方向仍不变，即不等式具有性质2（负数另外考虑）。
四、培养和发展学生的类比思想的措施
在学生了解类比的涵义，具有类比的潜意识之后，首先在教学中向学生介绍类比的功能，激发学生参与类比的兴趣是培养和发展学生类比推理能力的重要举措之一。 爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师。”学生类比能力的提高很大程度上依赖于自主的参与类比过程，亲自感受到类比的作用和意义，因此教师要在如何激发学生积极参与类比上下功夫。
结合科学发明史是激发学生类比兴趣的有效途径。历史上有许多杰出的科学家，可以说无例外都是善于应用“类比”去发现真理的能手。如英国科学家牛顿由“苹果落地”类比推理到地球对苹果由吸引力，进而研究发现“万有引力”定律。又如英国生物学家达尔文从植物异花受精和自花受精试验中发现，异花受精的成果较优，进而联系自己娶其表姐，生的十多个子女。个个都是体弱多病，类比推断近亲结婚不好，它的这一推断已被人类繁衍的实践所证明。
结合数学发展史和教材实例是激发学生类比兴趣的主要渠道。德国数学家哥德巴赫通过对4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5……大量实例考察，类比提出了著名的哥德巴赫猜想：“凡是大于2的偶数都可表达成两个素数之和”。另外均值不等式的类比推断和归纳法的应用无一不是运用类比法的典范。
其次，挖掘类比素材，创设类比情境，这也是培养和发展学生类比推理能力的重要举措。
数学知识是相互联系相互沟通的，教学中可启发学生从知识的顺延、从属、引深、互逆、相似等方面考虑和发掘类比因素，抓住新旧知识的共同性质加以分析、比较、逐步引导学生由“已知”发现“未知”，同时应注重恰到好处地构造类比“舞台”，使学生独立自主地参与类比发现的全过程。
例如球的体积公式的推导可以作这样的教学设计：先不直接向学生提供球的体积公式，而是让学生以“小科学家”的身份，按照预先设计的类比道路去探索和发现结论。
对于圆面积公式，学生是很熟悉的，单从圆面积公式的原形很难类比出球的体积公式，可先启发学生改写圆面积公式：S=1/2（2πR）R，即圆的面积等于以其周长为底边，以半径为高的三角形的面积，再引导学生从三角形与棱锥的构成上进行分析：三角形可看作线段外一点与线段端点用线段相连所成的图形；棱锥可看作多变形（所在平面）外一点与多边形各项点用线段相连所生成的几何体。至此，学生只要稍加分析比较，求同存异，便不难做出类比猜想，球的体积等于以球面积为底面，以球半径为高的棱锥的体积，这一猜想无疑是正确的。
通过这一实例演练，学生不仅从中学到了从“已知”获取“未知”的方法，而且通过亲自感受这一推导过程，无不会收到类比推理的愉悦，探索求知的欲望和兴趣便会油然而生，自然而然也就发展了学生的想象力和创造能力。
类比是一项探索性和发展性的活动，因而常常会遇到一些意想不到的困难，这就要我们数学教师在重视学生类比能力培养的同时，不应忽视学生非智力因素心理品质的优化。因为一个没有坚定信念、缺乏毅力的人是不会在数学发现或创造上有重大突破的。
【关键词】中学数学；类比法；意义；应用方法
High school mathematics；Type ratio method；Meaning；Application method
Chai Xiao-hong
【Abstract】The type has been occupy a count for much position in high school mathematics of numerously the solution the method than the method and control combine well-trained use a type for instance method， not only can inspire solution way of thinking， provide solution clues， and return can in aid of student's system of control and make stronger the new information know， strongly strengthen it dissipate of thinking and create thinking ability.
【Key words】High school mathematics；Type ratio method；Meaning；Application method
类比，作为一种推理的方法，指的是根据两种事物在某些特征上的“相似”，作出它们在其他特征上也可能“相似”的判断。类比法在初中数学范围内应用极其广泛， 是发现概念、方法、公式和定理的重要手段并能以此开创新领域、新分支。类比法是初中重要的教学方法，数学中的许多定理、公式和法则是通过类比得到的，在解题中寻找问题的线索，往往也借助于类比方法，从而达到启发思路的目的。以下结合自己的教学经验，以类比法在初中数学教学中的应用为主题进行探讨。
一、类比在数学概念教学中的应用
在教学数轴时，借助温度计这一生活中的数轴。从标有刻度的温度计来表示温度的高低这个事实出发引出数轴的画法和用数轴上点表示数的方法。
在一元一次不等式概念教学时，首先，复习一元一次方程的概念：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一次，这样的方程叫做一元一次方程，然后，我们把方程的概念引申到不等式上来，学生不难发现有“一元一次”的特征，类比一元一次方程的概念很容易得出，至于学生容易忽略的条件“两边都是整式”，教师应稍作强调。同样教师在讲授一元二次方程这一概念时，明确元指未知数，次指未知数或未知项的次数。然后问，如果我们将概念中的一次换成二次会得到什么样的概念呢？还可以类比引入一元高次方程和二元一次方程或多元高次方程的概念。
显然，概念类比使概念的得出更加自然，又大大降低了学生对初次接触的概念的陌生感，既复习巩固了旧概念，又加深理解了新概念。
二、类比在数学运算法则、定理教学中的应用
例如：两个分数相乘时，分子乘分子，分母乘分母，两个分式相乘时，也应该分子乘分子，分母乘分母，除以一个分数等于乘以这个分数的倒数，同理除以一个分式时，也应乘以这个分式的倒数。两个同分母分数相加减时，分母不变，分子相加减，同理，同分母分式相加减时，分母不变，分子相加减。异分母分数相加减时，要先进行通分，化成同分母分数后再加减，同理，异分母分式相加减时，也要先进行通分，化成同分母分式，然后再加减。分数通分时，要先找各分母的最小公倍数，分式通分时，也要找分母的最简公分母。
在学习三角形的外接圆和内切圆时，大多数学生会把外心和内心的概念及性质混淆。针对这一问题，采用类比思想，把三角形的外心和内心的概念及性质归纳为：外心是三角形三边中垂线的交点，它随三角形的形状不同，位置也不同：它在锐角三角形的内部，在直角三角形斜边的中点处，在钝角三角形的外部；它是三角形外接圆的圆心；具有到三角形三个顶点的距离相等的性质。内心是三角形内切圆的圆心；它是三角形三个内角平分线的交点；它一定在三角形的内部，不随三角形形状的改变而变化位置；它到三角形三边的距离相等。
三、类比在探究方法、解题方法上的应用
在讲概率问题时，我们可以建立概率模型，用类比法解决许多问题。如掷硬币问题，可用树状图来计算出现正反面的概率。类比此法，我们可以直接求出生男生女的概率。也可以直接计算出摸球的概率如口袋中有一红一白两球，从中摸出一球，放回，再摸一次，那么连生一男一女的概率和摸一红一白两球的概率都等于出现一正一反的概率。
在讲解等式和不等式时，根据天平的功能可以类比出等式和不等式的性质。天平的杠杆相当于等号和不等号，天平的左盘和右盘相当于等式和不等式的左边和右边。当天平的两边分别增加和减少相同的质量时，天平仍然平衡，即给等式两边同时加上或减去一个相同的数或代数式时，等式仍然成立。当给天平的两端同时扩大或缩小相同的量时，天平两端仍然平衡，即给等式的两边同时乘以或除以一个相同的数时，等式仍然成立。当天平倾斜时，给天平的两端同时加上或减去一个相同的量时，天平的倾斜方向不变，即不等式具有性质1；当天平的两端同时扩大或缩小相同的数时，天平的倾斜方向仍不变，即不等式具有性质2（负数另外考虑）。
四、培养和发展学生的类比思想的措施
在学生了解类比的涵义，具有类比的潜意识之后，首先在教学中向学生介绍类比的功能，激发学生参与类比的兴趣是培养和发展学生类比推理能力的重要举措之一。 爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师。”学生类比能力的提高很大程度上依赖于自主的参与类比过程，亲自感受到类比的作用和意义，因此教师要在如何激发学生积极参与类比上下功夫。
结合科学发明史是激发学生类比兴趣的有效途径。历史上有许多杰出的科学家，可以说无例外都是善于应用“类比”去发现真理的能手。如英国科学家牛顿由“苹果落地”类比推理到地球对苹果由吸引力，进而研究发现“万有引力”定律。又如英国生物学家达尔文从植物异花受精和自花受精试验中发现，异花受精的成果较优，进而联系自己娶其表姐，生的十多个子女。个个都是体弱多病，类比推断近亲结婚不好，它的这一推断已被人类繁衍的实践所证明。
结合数学发展史和教材实例是激发学生类比兴趣的主要渠道。德国数学家哥德巴赫通过对4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5……大量实例考察，类比提出了著名的哥德巴赫猜想：“凡是大于2的偶数都可表达成两个素数之和”。另外均值不等式的类比推断和归纳法的应用无一不是运用类比法的典范。
其次，挖掘类比素材，创设类比情境，这也是培养和发展学生类比推理能力的重要举措。
数学知识是相互联系相互沟通的，教学中可启发学生从知识的顺延、从属、引深、互逆、相似等方面考虑和发掘类比因素，抓住新旧知识的共同性质加以分析、比较、逐步引导学生由“已知”发现“未知”，同时应注重恰到好处地构造类比“舞台”，使学生独立自主地参与类比发现的全过程。
例如球的体积公式的推导可以作这样的教学设计：先不直接向学生提供球的体积公式，而是让学生以“小科学家”的身份，按照预先设计的类比道路去探索和发现结论。
对于圆面积公式，学生是很熟悉的，单从圆面积公式的原形很难类比出球的体积公式，可先启发学生改写圆面积公式：S=1/2（2πR）R，即圆的面积等于以其周长为底边，以半径为高的三角形的面积，再引导学生从三角形与棱锥的构成上进行分析：三角形可看作线段外一点与线段端点用线段相连所成的图形；棱锥可看作多变形（所在平面）外一点与多边形各项点用线段相连所生成的几何体。至此，学生只要稍加分析比较，求同存异，便不难做出类比猜想，球的体积等于以球面积为底面，以球半径为高的棱锥的体积，这一猜想无疑是正确的。
通过这一实例演练，学生不仅从中学到了从“已知”获取“未知”的方法，而且通过亲自感受这一推导过程，无不会收到类比推理的愉悦，探索求知的欲望和兴趣便会油然而生，自然而然也就发展了学生的想象力和创造能力。
类比是一项探索性和发展性的活动，因而常常会遇到一些意想不到的困难，这就要我们数学教师在重视学生类比能力培养的同时，不应忽视学生非智力因素心理品质的优化。因为一个没有坚定信念、缺乏毅力的人是不会在数学发现或创造上有重大突破的。