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2010年12月，作为教研员教学实践活动，笔者到学校上课，上课年级是高一，课题是“数列的概念”。众所周知，数列是高中数学的传统内容，教学设计似乎已没有多少可创新的空间。但是，学无止境，教亦无止境。在备课的过程中，笔者对几种版本的新课程教材作了研究对比，对新课程及其解读进行了再学习，并引发了一些思考。笔者尝试使教学设计回归自然，追求课堂教学过程中的和谐平稳，力求避免一些人为雕琢的痕迹。这里，笔者就教学设计过程中的一些做法思考与广大同仁交流，请批评指正。至于课堂教学过程及其反思，拟再另撰文交流。
1
有关分析
1.1 教学内容的定位
我们知道，“数列是刻画离散现象的数学模型，在日常生活中有着重要应用。”数列是一种离散函数，学习数列对深化函数的学习有着积极的意义；数列是以后学习极限、级数求和的基础。因此，数列在高中数学中占有重要位置。“概念是思维的基本单位。”数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点；学生主动自我建构概念，需要经历辨别、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，是教学的难点。
1.2 学情分析
学生经过高一近一个学期的学习，特别是学习了重要内容“函数的概念与基本初等函数”后，在观察、抽象、概括等学习策略与学习能力方面，有了一定的基础。况且，数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难。这些都是数列概念教学的有利条件。同时也要看到，刚刚开始高中数学学习的学生，其学习经验还是很有限的，特别是概念的学习，作为“固着点”的已有知识相对较少，一些学生还习惯于记忆，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高。同时，在建立概念的过程中，学生在辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言(符号)表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学。故在教学中要积极面对这些差异，努力使全体同学都得到发展。
1.3 教法分析
从新课程教材的有关内容和已有的教学经历经验来看，学生获得“数列的概念”的方式应当是“概念形成”：“同类事物的关键属性可以由学生从大量同类事物的不同例证中独立发现。”而且，“在概念形成方式进行教学时，教师一定要扎扎实实地引导学生完成概念的形成的每一个步骤……”所以，创设有利于学生辨别、抽象、概括的“刺激模式”——问题情境，是实施数学教学活动的基础。从而，本节课的教法应是：在教师指导下的学生的自主探究与自我建构学习——创设问题情境，启发引导学生完成观察、辨别、抽象、概括、应用、强化等一系列过程。自然地，对探究学习的过程，教师要舍得花时间，要倾注更多的精力，作出悉心的指导。
2 对教学设计几个关键点的思考
基于上述分析，笔者认为，“数列的概念”的教学设计有三点不容忽视，或者说，这三个方面把握的恰当与否是教学设计成败的关键。
其一，设计恰当的问题情境。“《标准》把数列视为反映自然规律的基本数学模型，要求在教学中通过日常生活中的实例，讲解数列的概念和几种表示方法。”因此设计的问题情境应是“大量的”、蕴含数列概念的“本质属性的”，与学生的“距离较近的”、学生比较“感兴趣的”的社会生活或数学实例。与此同时，要设计出在学生观察、辨别、抽象、概括等一系列活动过程中的教师角色与行为：如何启发引导，如何调控探究过程，甚至对启发提问用语(包括语气、口气、神情，等等)都要作出精心的设计。
其二，处理好数列与函数的关系。这是由函数在中学数学中的地位所决定的。“克莱因认为函数为数学的‘灵魂’，应该成为中学数学的‘基石’”。南京师范大学涂荣豹教授认为，数学教学要把握大观点，函数的观点就是大观点，教学要“……用函数的观点把握学过的知识，然后把它纳入到函数里面去……”
“《标准》……特别指出要体现数列是一种特殊函数，通过列表、图象、通项公式表示数列，把数列融于函数之中。”①“新课程特别要求把数列的学习与研究放置到函数的大背景之下，既可以用函数的观点方法来研究数列，指导数列的学习，又能够深化对函数的进一步的深刻理解。那么，作为数列的起始课，作为数列学习基础的基本概念的教学，如何体现这一重要观点呢?是先数列，还是先函数?还是在数列概念的教学过程中，让函数半路“杀出”来，硬凑在数列的“旁边”?这恐怕都不妥，因为函数是数列的“根”，数列是“特殊的”函数。笔者认为，应当让数列去“寻根问祖”，自然地融入函数，让数列还其本来面目，让数列的概念得以深化，让函数的内涵得以进一步丰富发展。而渗透于其问的学生主动观察与猜想，探索与求证，正是发展其思维能力的最佳时机和重要过程。
其三，教学设计要考虑整体性。数列的概念名词较多：定义、分类、符号、图象、与函数关系、通项公式……教学过程中逐条抛出显然是不合适的。那样会使概念知识失去本身固有的联系，加重学生的记忆负担，试图通过概念的教学，发展学生思维能力也将大打折扣。如何保持数学活动的整体性与连续性，让每一个概念适时地自然地生长出来，并将它们连为一体，是值得探索的。
3 教学过程设计的几个节点分析与思考
基于上述分析，笔者认为，在备课过程中既要目标明确，突出主线，又要顾及到各个节点的衔接与过渡，平衡各种矛盾，从而从整体上把握一堂课的教学设计，构建和谐的课堂活动过程。
3.1 整体把握问题情境的设计
概念课的问题情境设计，无疑是教学的基础和起点。笔者给出以下问题情境：
情境1 举世瞩目的第16届亚运会在广州落下帷幕，中国夺得199枚金牌。是自1982年夺得金牌总数第一以后，连续八届蝉联金牌总数第一。这8次取得的金牌数依次是
61，94，183，125，129，150，165，199.
情境2 某家庭记录2010年内前9个月的用电量(单位：度)依次是：
110，120，90，80，62，80，103，115，84.
情境3 据开学体检记录，本班学号1～5的同学的身高(单位：cm)依次是
172，173，169，177，176。
情境4 某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟后，1个细胞分裂的个数依次为
1，2，4，8，16，…
情境5
正奇数按从小到大的顺序排列如下：
1，3，5，7，9，11，…
情境6π的不足近似值的前7项依次为
3，3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592.
笔者认为，这一组问题情境的设计，有以下几个特点：一是充分联系现实生活与数学背景，特别是刚 刚闭幕的第16届亚运会金牌数、该班部分同学的身高，是学生身边的“数学”或热门话题，意在引发学生的学习兴趣；二是注意问题情境的“数学含量”，即考虑问题情境为数学教学服务。比如，情境1、2、3是有穷数列，情境4、5是无穷数列；情境4是等比，情境5是等差；情境4、5有通项公式，情境6则容易发展为无通项公式的例子；情境2画出图象后易于观察用电量的变化(体会数列的图象表示)；三是考虑问题情境的“节约环保”，即问题情境要能多次使用，具有多重功能，联系课堂教学的每一个环节，支持整堂课的教学活动全程。下图表示了教学设计将全部知识点串为一体，并且问题情境支持了整堂课数学活动的全程(虚线箭头表示知识出现的顺序及联系)：
3。2 突出学生的主动发现与求证探索
如前所述，把数列融入函数中，无论对于数列自身的学习与研究，还是深化对函数的理解，都具有重要的意义。苏教版教材是这样描述的：“数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。”
教学显然不能照本宣科，将结论直接告知给学生。笔者认为，作为数列起始课数列概念的教学，在引入数列概念之后，自然地及时地把数列纳入函数，并以此促进学生的主动发现与自觉求证的意识和能力，是值得尝试探索的。笔者试图这样处理：在学生画出情境2中的数列的图象后，启发引导学生联想函数：“面对数列的列表与图象表达，你想到什么——这个数列也可以用列表表示，还可以用图象表达，你联想到什么——我们已经学过的知识，哪一个可以用列表法，又可以用图象法表达……”在学生感悟出“数列就是函数”后。笔者进一步追问：“数列是函数——你能说出为什么吗——函数的要素是什么——如何说明一个对应是函数呢——要说明数列是函数，就要说明什么——请以问题情境2和问题情境5为例验证……”
待学生理解“数列就是函数”并尝试说明理由后，再让学生体会数列是“特殊”的函数到底“特”在哪里，并引出通项公式，便是水到渠成的事了。
3.3 强调教学过程的和谐自然
本节课是概念课，在引人数列的概念之后，还有一些概念名词需要学生继续学习理解：数列的分类、数列的图象、数列是函数、数列的通项、有关应用……围绕这些教学内容的数学活动的各个环节，将存在一个如何衔接过渡的问题。教学过程既要突出重点，突出每个知识点的学习与探究，各个击破，又要力求保持整个教学活动过程的连续性与系统性。
基于这样的考虑，本节课的教学设计，力求保持各个环节的平稳过渡与自然衔接。比如，在建立数列的概念后，对数列的分类(有穷、无穷数列)回到开始创设的问题情境中去印证，然后将情境2中的数列用表格和图象表示，借以诱导学生猜想出“数列是函数”，此时，再将情境5引申变化，让学生去印证自己的猜想。再如，从验证“数列是函数”的过程中，适当地变换问题的探究角度，提出新的问题，从中自然产生通项公式的概念，然后，再次开发情境5，设计新问题，强化通项公式的应用……学生的知识的自我主动建构也在过程中自然形成。
3.4 悉心启发，让知识从学生的头脑中流淌出来
南京师范大学涂荣豹教授指出：“数学教学启发的最主要也是最基本的方法，是运用‘元认知揭示语’发问……从用隐蔽性强的弱暗示提示语进行启发，到用隐蔽性逐步减弱的强暗示提示语进行启发，用这样的‘分级提问’来达到对不同层次的引导。”笔者的理解是，提问应当从“元认知”提问出发，“由远及近”：让学生思考一段时间，然后教师提出一个稍接近目标的问题，再让学生思考，然后教师再提出更接近目标的问题……使全体学生都得到思考与思维的发展，让知识从学生的头脑中自然流淌出来。
本节课的教学设计，笔者把对学生启发引导的提示语作为备课的重要内容之一，尝试设计从“元认知”提问开始的分级提问。比如，在数列概念的引入过程中，当给出一组问题情境之后，笔者的提问语是：“考察这一组问题，你看出什么，想到了什么——这些问题有何共同特点——从数学的角度观察思考——问题的主要对象是什么，有何共同特点——去掉“依次”会怎样——什么叫一定顺序，交换其中两个不同的数，是否发生改变……”力求由暗及明，由远及近，阶梯递进，使全体学生都能够得到思考与探究的机会。
4 结束语
不教而教，学生皆谓“我自然”，是教学追求的最高境界教学设计要立足学生学习的实际，把准学生学习的“最近发展区”，让学生在知识自然生长的状态下进行数学学习。学生已有的认知基础怎样，有怎样的学习倾向，数学知识的生长点在哪……在充分了解学生的基础上，设计以学生为主体的、满足学生自我发展需求的活动过程，使教学设计反璞归真，才能构建和谐“绿色”课堂，教学过程才可能自然而然
参考文献
[1]严士健，张奠宙，王尚志主编。普通高中数学课程标准(实验)解读[M]，南京：江苏教育出版社，2004。
[2]曹才翰，章建跃，数学教育心理学[M]北京：北京师范大学出版社，1999。
[3][德]菲利克斯·克莱因著，舒湘芹等译，高观点下的初等数学[M]，上海：复旦大学出版社，2010。
[4]涂荣豹，谈提高对数学教学的认识[J]，中学数学教学参考，2006，1、2
[5]单撙主编。普通高中课程标准实验教科书(必修)·数学5[M]，南京：江苏教育出版社，2005。
[6]张景中，陈民众主编。普通高中课程标准实验教科书(必修)·数学第一册[M]，长沙：湖南教育出版社，2005。
作者简介渠东剑(1962－ )，男，江苏省丰县人，江苏省南京市秦淮区教学研究室中学数学教研员，中学高级教师，江苏省特级教师，在省级以上发表教育教学论文50余篇。研究方向：新课程背景下区域教研与教师专业发展。
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有关分析
1.1 教学内容的定位
我们知道，“数列是刻画离散现象的数学模型，在日常生活中有着重要应用。”数列是一种离散函数，学习数列对深化函数的学习有着积极的意义；数列是以后学习极限、级数求和的基础。因此，数列在高中数学中占有重要位置。“概念是思维的基本单位。”数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点；学生主动自我建构概念，需要经历辨别、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，是教学的难点。
1.2 学情分析
学生经过高一近一个学期的学习，特别是学习了重要内容“函数的概念与基本初等函数”后，在观察、抽象、概括等学习策略与学习能力方面，有了一定的基础。况且，数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难。这些都是数列概念教学的有利条件。同时也要看到，刚刚开始高中数学学习的学生，其学习经验还是很有限的，特别是概念的学习，作为“固着点”的已有知识相对较少，一些学生还习惯于记忆，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高。同时，在建立概念的过程中，学生在辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言(符号)表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学。故在教学中要积极面对这些差异，努力使全体同学都得到发展。
1.3 教法分析
从新课程教材的有关内容和已有的教学经历经验来看，学生获得“数列的概念”的方式应当是“概念形成”：“同类事物的关键属性可以由学生从大量同类事物的不同例证中独立发现。”而且，“在概念形成方式进行教学时，教师一定要扎扎实实地引导学生完成概念的形成的每一个步骤……”所以，创设有利于学生辨别、抽象、概括的“刺激模式”——问题情境，是实施数学教学活动的基础。从而，本节课的教法应是：在教师指导下的学生的自主探究与自我建构学习——创设问题情境，启发引导学生完成观察、辨别、抽象、概括、应用、强化等一系列过程。自然地，对探究学习的过程，教师要舍得花时间，要倾注更多的精力，作出悉心的指导。
2 对教学设计几个关键点的思考
基于上述分析，笔者认为，“数列的概念”的教学设计有三点不容忽视，或者说，这三个方面把握的恰当与否是教学设计成败的关键。
其一，设计恰当的问题情境。“《标准》把数列视为反映自然规律的基本数学模型，要求在教学中通过日常生活中的实例，讲解数列的概念和几种表示方法。”因此设计的问题情境应是“大量的”、蕴含数列概念的“本质属性的”，与学生的“距离较近的”、学生比较“感兴趣的”的社会生活或数学实例。与此同时，要设计出在学生观察、辨别、抽象、概括等一系列活动过程中的教师角色与行为：如何启发引导，如何调控探究过程，甚至对启发提问用语(包括语气、口气、神情，等等)都要作出精心的设计。
其二，处理好数列与函数的关系。这是由函数在中学数学中的地位所决定的。“克莱因认为函数为数学的‘灵魂’，应该成为中学数学的‘基石’”。南京师范大学涂荣豹教授认为，数学教学要把握大观点，函数的观点就是大观点，教学要“……用函数的观点把握学过的知识，然后把它纳入到函数里面去……”
“《标准》……特别指出要体现数列是一种特殊函数，通过列表、图象、通项公式表示数列，把数列融于函数之中。”①“新课程特别要求把数列的学习与研究放置到函数的大背景之下，既可以用函数的观点方法来研究数列，指导数列的学习，又能够深化对函数的进一步的深刻理解。那么，作为数列的起始课，作为数列学习基础的基本概念的教学，如何体现这一重要观点呢?是先数列，还是先函数?还是在数列概念的教学过程中，让函数半路“杀出”来，硬凑在数列的“旁边”?这恐怕都不妥，因为函数是数列的“根”，数列是“特殊的”函数。笔者认为，应当让数列去“寻根问祖”，自然地融入函数，让数列还其本来面目，让数列的概念得以深化，让函数的内涵得以进一步丰富发展。而渗透于其问的学生主动观察与猜想，探索与求证，正是发展其思维能力的最佳时机和重要过程。
其三，教学设计要考虑整体性。数列的概念名词较多：定义、分类、符号、图象、与函数关系、通项公式……教学过程中逐条抛出显然是不合适的。那样会使概念知识失去本身固有的联系，加重学生的记忆负担，试图通过概念的教学，发展学生思维能力也将大打折扣。如何保持数学活动的整体性与连续性，让每一个概念适时地自然地生长出来，并将它们连为一体，是值得探索的。
3 教学过程设计的几个节点分析与思考
基于上述分析，笔者认为，在备课过程中既要目标明确，突出主线，又要顾及到各个节点的衔接与过渡，平衡各种矛盾，从而从整体上把握一堂课的教学设计，构建和谐的课堂活动过程。
3.1 整体把握问题情境的设计
概念课的问题情境设计，无疑是教学的基础和起点。笔者给出以下问题情境：
情境1 举世瞩目的第16届亚运会在广州落下帷幕，中国夺得199枚金牌。是自1982年夺得金牌总数第一以后，连续八届蝉联金牌总数第一。这8次取得的金牌数依次是
61，94，183，125，129，150，165，199.
情境2 某家庭记录2010年内前9个月的用电量(单位：度)依次是：
110，120，90，80，62，80，103，115，84.
情境3 据开学体检记录，本班学号1～5的同学的身高(单位：cm)依次是
172，173，169，177，176。
情境4 某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟后，1个细胞分裂的个数依次为
1，2，4，8，16，…
情境5
正奇数按从小到大的顺序排列如下：
1，3，5，7，9，11，…
情境6π的不足近似值的前7项依次为
3，3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592.
笔者认为，这一组问题情境的设计，有以下几个特点：一是充分联系现实生活与数学背景，特别是刚 刚闭幕的第16届亚运会金牌数、该班部分同学的身高，是学生身边的“数学”或热门话题，意在引发学生的学习兴趣；二是注意问题情境的“数学含量”，即考虑问题情境为数学教学服务。比如，情境1、2、3是有穷数列，情境4、5是无穷数列；情境4是等比，情境5是等差；情境4、5有通项公式，情境6则容易发展为无通项公式的例子；情境2画出图象后易于观察用电量的变化(体会数列的图象表示)；三是考虑问题情境的“节约环保”，即问题情境要能多次使用，具有多重功能，联系课堂教学的每一个环节，支持整堂课的教学活动全程。下图表示了教学设计将全部知识点串为一体，并且问题情境支持了整堂课数学活动的全程(虚线箭头表示知识出现的顺序及联系)：
3。2 突出学生的主动发现与求证探索
如前所述，把数列融入函数中，无论对于数列自身的学习与研究，还是深化对函数的理解，都具有重要的意义。苏教版教材是这样描述的：“数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。”
教学显然不能照本宣科，将结论直接告知给学生。笔者认为，作为数列起始课数列概念的教学，在引入数列概念之后，自然地及时地把数列纳入函数，并以此促进学生的主动发现与自觉求证的意识和能力，是值得尝试探索的。笔者试图这样处理：在学生画出情境2中的数列的图象后，启发引导学生联想函数：“面对数列的列表与图象表达，你想到什么——这个数列也可以用列表表示，还可以用图象表达，你联想到什么——我们已经学过的知识，哪一个可以用列表法，又可以用图象法表达……”在学生感悟出“数列就是函数”后。笔者进一步追问：“数列是函数——你能说出为什么吗——函数的要素是什么——如何说明一个对应是函数呢——要说明数列是函数，就要说明什么——请以问题情境2和问题情境5为例验证……”
待学生理解“数列就是函数”并尝试说明理由后，再让学生体会数列是“特殊”的函数到底“特”在哪里，并引出通项公式，便是水到渠成的事了。
3.3 强调教学过程的和谐自然
本节课是概念课，在引人数列的概念之后，还有一些概念名词需要学生继续学习理解：数列的分类、数列的图象、数列是函数、数列的通项、有关应用……围绕这些教学内容的数学活动的各个环节，将存在一个如何衔接过渡的问题。教学过程既要突出重点，突出每个知识点的学习与探究，各个击破，又要力求保持整个教学活动过程的连续性与系统性。
基于这样的考虑，本节课的教学设计，力求保持各个环节的平稳过渡与自然衔接。比如，在建立数列的概念后，对数列的分类(有穷、无穷数列)回到开始创设的问题情境中去印证，然后将情境2中的数列用表格和图象表示，借以诱导学生猜想出“数列是函数”，此时，再将情境5引申变化，让学生去印证自己的猜想。再如，从验证“数列是函数”的过程中，适当地变换问题的探究角度，提出新的问题，从中自然产生通项公式的概念，然后，再次开发情境5，设计新问题，强化通项公式的应用……学生的知识的自我主动建构也在过程中自然形成。
3.4 悉心启发，让知识从学生的头脑中流淌出来
南京师范大学涂荣豹教授指出：“数学教学启发的最主要也是最基本的方法，是运用‘元认知揭示语’发问……从用隐蔽性强的弱暗示提示语进行启发，到用隐蔽性逐步减弱的强暗示提示语进行启发，用这样的‘分级提问’来达到对不同层次的引导。”笔者的理解是，提问应当从“元认知”提问出发，“由远及近”：让学生思考一段时间，然后教师提出一个稍接近目标的问题，再让学生思考，然后教师再提出更接近目标的问题……使全体学生都得到思考与思维的发展，让知识从学生的头脑中自然流淌出来。
本节课的教学设计，笔者把对学生启发引导的提示语作为备课的重要内容之一，尝试设计从“元认知”提问开始的分级提问。比如，在数列概念的引入过程中，当给出一组问题情境之后，笔者的提问语是：“考察这一组问题，你看出什么，想到了什么——这些问题有何共同特点——从数学的角度观察思考——问题的主要对象是什么，有何共同特点——去掉“依次”会怎样——什么叫一定顺序，交换其中两个不同的数，是否发生改变……”力求由暗及明，由远及近，阶梯递进，使全体学生都能够得到思考与探究的机会。
4 结束语
不教而教，学生皆谓“我自然”，是教学追求的最高境界教学设计要立足学生学习的实际，把准学生学习的“最近发展区”，让学生在知识自然生长的状态下进行数学学习。学生已有的认知基础怎样，有怎样的学习倾向，数学知识的生长点在哪……在充分了解学生的基础上，设计以学生为主体的、满足学生自我发展需求的活动过程，使教学设计反璞归真，才能构建和谐“绿色”课堂，教学过程才可能自然而然
参考文献
[1]严士健，张奠宙，王尚志主编。普通高中数学课程标准(实验)解读[M]，南京：江苏教育出版社，2004。
[2]曹才翰，章建跃，数学教育心理学[M]北京：北京师范大学出版社，1999。
[3][德]菲利克斯·克莱因著，舒湘芹等译，高观点下的初等数学[M]，上海：复旦大学出版社，2010。
[4]涂荣豹，谈提高对数学教学的认识[J]，中学数学教学参考，2006，1、2
[5]单撙主编。普通高中课程标准实验教科书(必修)·数学5[M]，南京：江苏教育出版社，2005。
[6]张景中，陈民众主编。普通高中课程标准实验教科书(必修)·数学第一册[M]，长沙：湖南教育出版社，2005。
作者简介渠东剑(1962－ )，男，江苏省丰县人，江苏省南京市秦淮区教学研究室中学数学教研员，中学高级教师，江苏省特级教师，在省级以上发表教育教学论文50余篇。研究方向：新课程背景下区域教研与教师专业发展。