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摘要：初中数学是中考必考科目，几何推理和图形证明是中考数学必考内容。几何教学对学生的空间想象要求较高，死记硬背的方法完全行不通。因此，对几何学习而言，找对学习方法极为重要。本文介绍了反证法、面积法、割补法、综合分析法和几何变换法这五种比较常用的几何推理和图形证明的方法，并举出了相关例子，希望能够为广大中学生几何推理和图形证明的学习提供参考意见。
关键词：初中数学 几何推理 图形证明 策略
DOI：
10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.01.153
一、反证法
学生在解图形证明题时，应该要有逆向思维，如果正面不好入手，就从反面着手。首先假设该命题结论的反面成立，依次进行推理。如果所推导出来的结果与命题中的已知条件、公理、定义等相互矛盾，或者推导出来的两个结果相互矛盾，就能说明这个假设的“结论反面成立”是不正确的，故而证明命题中的结论能够成立，是正确的。
例：求证图1中圆内不过圆心的两弦（不是直径）一定不能相互平分。
已知条件：如图1所示，AB、CD是☉O内任意两条相交于P的非直径的弦。
求证：AB、CD一定不能相互平分于P。
[A][O][C][P][B][D]
图1
证明：假设AB、CD相互平分于P，连结OP
∵P平分AB ∴OP⊥AB
又∵P平分CD ∴OP⊥CD
可见，该结论与已知公理相矛盾，故该假设不成立。
∴AB、CD一定不能相互平分。
二、面积法
面积法是用面积之间的关系替代题目中需要证明的几何量，将题目中的几何量用相关图形面积形式表示出来。相较而言，面积法更加直观，更利于表述。
例：△ABC中，∠ABC的平分线是AD，求证：AB∶AC=BD∶DC。
证明：如图2所示，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
[A][F][C][E][B][D]
图2
则DE=DF
∵===
又∵=
∴=
三、割补法
割补法在解平面几何图形问题时比较常用，将原有的不完整的图形补或者割成比较常用的三角形（等腰、等边、直角三角形）、平行四边形、矩形、正方形、梯形、圆形或者其他对称图形等。这样一来，学生就能将原来不规则的、相对陌生图形转化为规则的、熟悉的图形进行解答。
例：已知四边形ABCD，∠A=60°，∠B、
∠D均为90°，其中AB=2，CD=1，分别求BC和AD的长。
[A][C][E][B][D]
图3
解：如图3所示，分别延长BC、AD，使其延长线相较于E
因为，∠A=60°，∠B=90°
所以，∠E=30°
在△DCE中，
因为，∠EDC=∠ADC=90°，CD=1
所以，CE-=2CD=2，DE=CD=
在△ABE中，同理可得：AE=2AB=4，BE=AB=2
所以，BC=BE-EC=2-2
AD=AE-DE=4-
四、分析综合法
学生在进行几何推理时通常会有两种思维模式，一种是根据原因推导结果，另一种则是根据结果推导原因。前者是指学生根据题目已知条件，运用相关的公理、定义或者定理进行推导，从而得出结论;后者是一个逆推的形式，即学生在解题时从结果出发，依次寻找能够使结论成立的条件。综合性的几个问题通常较为复杂，仅靠一种方式解决起来相对困难，所以学生需要将两种方式结合起来使用，即所谓的综合分析法。
例如：如图4所示，若点P是菱形ABCD中对角线BD上的一点，连结AP并延长，与CD相交于点E，与BC延长线相较于点F，求证：PC2=PE·PF。
[A][F][C][P][B][D][E]
图4
解题思路分析：
要求证PC2=PE·PF，通常会先将这个等积式化成比例式，即=;要证明该比例式成立，只需要证明△FPC相似于△CPE。而在这两个三角形当中，∠CPF为公共角，所以只需证明∠F=∠PAD即可。
由已知条件中菱形的性质知，∠BDA=∠CDB，AD=CD，
可得，△PAD全等于△PCD
所以，∠PAD=∠PCD
又因为AD//BF，可知∠PAD=∠F
所以，∠PCD=∠F
故而证得PC2=PE·PF
五、几何变换法
学生经常会在在解某一些平面几何问题时感到束手无策，因为这些题目中的图形所隐含的几何性质比较分散、晦涩，不容易发现题目中已知条件与结论之间的关系。此时就要求学生能够巧妙地对图形进行一定程度的变换，对原有图形中的某一部分进行位移或者做其他较为恰当的变化，以使图形的几何性质能够凸显出来，分散的条件能够汇聚起来。如此一来便能化难为易，解题思路更加清晰明了。
参考文献：
[1]孙金栋.初中数学“图形与几何”中的合情推理研究[D].山东师范大学，2011.
[2]葛莹.初中数学几何推理与图形证明对策[J].学周刊，2015（14）：222.
[3]龙琼.初中生几何证明典型错误及归因研究[D].西南大学，2013.
[4]范成.初中数学几何推理与图形证明策略例谈[J].数理化解题研究：初中版，2014（10）：56.
[5]孙金栋，吴敏.初中数学“图形与几何”中学生合情推理能力的培养[J].科技信息，2011（9）：176+299.
（责编 赵建荣）
关键词：初中数学 几何推理 图形证明 策略
DOI：
10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.01.153
一、反证法
学生在解图形证明题时，应该要有逆向思维，如果正面不好入手，就从反面着手。首先假设该命题结论的反面成立，依次进行推理。如果所推导出来的结果与命题中的已知条件、公理、定义等相互矛盾，或者推导出来的两个结果相互矛盾，就能说明这个假设的“结论反面成立”是不正确的，故而证明命题中的结论能够成立，是正确的。
例：求证图1中圆内不过圆心的两弦（不是直径）一定不能相互平分。
已知条件：如图1所示，AB、CD是☉O内任意两条相交于P的非直径的弦。
求证：AB、CD一定不能相互平分于P。
[A][O][C][P][B][D]
图1
证明：假设AB、CD相互平分于P，连结OP
∵P平分AB ∴OP⊥AB
又∵P平分CD ∴OP⊥CD
可见，该结论与已知公理相矛盾，故该假设不成立。
∴AB、CD一定不能相互平分。
二、面积法
面积法是用面积之间的关系替代题目中需要证明的几何量，将题目中的几何量用相关图形面积形式表示出来。相较而言，面积法更加直观，更利于表述。
例：△ABC中，∠ABC的平分线是AD，求证：AB∶AC=BD∶DC。
证明：如图2所示，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
[A][F][C][E][B][D]
图2
则DE=DF
∵===
又∵=
∴=
三、割补法
割补法在解平面几何图形问题时比较常用，将原有的不完整的图形补或者割成比较常用的三角形（等腰、等边、直角三角形）、平行四边形、矩形、正方形、梯形、圆形或者其他对称图形等。这样一来，学生就能将原来不规则的、相对陌生图形转化为规则的、熟悉的图形进行解答。
例：已知四边形ABCD，∠A=60°，∠B、
∠D均为90°，其中AB=2，CD=1，分别求BC和AD的长。
[A][C][E][B][D]
图3
解：如图3所示，分别延长BC、AD，使其延长线相较于E
因为，∠A=60°，∠B=90°
所以，∠E=30°
在△DCE中，
因为，∠EDC=∠ADC=90°，CD=1
所以，CE-=2CD=2，DE=CD=
在△ABE中，同理可得：AE=2AB=4，BE=AB=2
所以，BC=BE-EC=2-2
AD=AE-DE=4-
四、分析综合法
学生在进行几何推理时通常会有两种思维模式，一种是根据原因推导结果，另一种则是根据结果推导原因。前者是指学生根据题目已知条件，运用相关的公理、定义或者定理进行推导，从而得出结论;后者是一个逆推的形式，即学生在解题时从结果出发，依次寻找能够使结论成立的条件。综合性的几个问题通常较为复杂，仅靠一种方式解决起来相对困难，所以学生需要将两种方式结合起来使用，即所谓的综合分析法。
例如：如图4所示，若点P是菱形ABCD中对角线BD上的一点，连结AP并延长，与CD相交于点E，与BC延长线相较于点F，求证：PC2=PE·PF。
[A][F][C][P][B][D][E]
图4
解题思路分析：
要求证PC2=PE·PF，通常会先将这个等积式化成比例式，即=;要证明该比例式成立，只需要证明△FPC相似于△CPE。而在这两个三角形当中，∠CPF为公共角，所以只需证明∠F=∠PAD即可。
由已知条件中菱形的性质知，∠BDA=∠CDB，AD=CD，
可得，△PAD全等于△PCD
所以，∠PAD=∠PCD
又因为AD//BF，可知∠PAD=∠F
所以，∠PCD=∠F
故而证得PC2=PE·PF
五、几何变换法
学生经常会在在解某一些平面几何问题时感到束手无策，因为这些题目中的图形所隐含的几何性质比较分散、晦涩，不容易发现题目中已知条件与结论之间的关系。此时就要求学生能够巧妙地对图形进行一定程度的变换，对原有图形中的某一部分进行位移或者做其他较为恰当的变化，以使图形的几何性质能够凸显出来，分散的条件能够汇聚起来。如此一来便能化难为易，解题思路更加清晰明了。
参考文献：
[1]孙金栋.初中数学“图形与几何”中的合情推理研究[D].山东师范大学，2011.
[2]葛莹.初中数学几何推理与图形证明对策[J].学周刊，2015（14）：222.
[3]龙琼.初中生几何证明典型错误及归因研究[D].西南大学，2013.
[4]范成.初中数学几何推理与图形证明策略例谈[J].数理化解题研究：初中版，2014（10）：56.
[5]孙金栋，吴敏.初中数学“图形与几何”中学生合情推理能力的培养[J].科技信息，2011（9）：176+299.
（责编 赵建荣）