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摘 要：文章以厦门市第六中学叶媛媛老师执教的《数学思想方法之数形结合》一课为切入点，指出初中数学教学要重视数学思想方法，获得美的享受，并在“数”与“形”之间架起立体桥梁。同时也提出，教师在教学中要感悟、归纳、提炼数学思想方法，培养学生综合运用数学思想方法解题的能力，重视数学思想方法的教学探索。只有这样，初中数学教学才能完成传授知识、培养学生的数学品质、提高学生的数学能力的重任。
关键词：初中数学；数学思想；数形结合；教学案例；教学反思
近期，笔者观摩了厦门市第六中学初中部叶媛媛老师执教的《数学思想方法之数形结合》课堂教学视频，并认真研读了执教者课例设计文本，其中“以数助形，以形解数”的数学思想方法给笔者留下了深刻的印象，受益匪浅，现结合具体课例内容进行品评，交流学习。
一、重视数学思想方法，获得美学享受
中学数学思想方法是中学数学教学的重要内容之一，《数学课程标准》在课程总目标中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习、学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所需的重要数学知识（数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要时的应用技能。”
数学教学分低级和高级两种，低级水平是介绍数学概念，陈述数学定理、公式，指出解题的程式和套路；高级水平是着眼于数学知识背后的数学思想方法，在解决数学问题的过程中进行深层次的数学思考，经过思维训练，获得数学美学享受。
二、架起“数”与“形”之间的立体桥梁
数形结合的思想方法就是把“数”与“形”结合起来对数学问题进行分析、研究，从而解决问题的方法。用代数的方法研究几何图形的问题，架起“数”与“形”之间的立体桥梁，加强知识之间相互联系，是解决数学问题强有力的工具。
本节课的学习，主要是为了让学生初步感受数形结合的思想。具体来说，要求他们能运用代数的知识、通过函数关系的討论去处理几何图形的问题，通过对图形性质的研究去解决函数之间数量关系的问题；能将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来，把抽象思维与形象思维结合起来；会用代数的方法去研究几何问题，会根据图形的性质及几何知识去处理代数问题。
在教学中，架起“数”与“形”之间的立体桥梁，突出数形结合思想方法，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
（一）在尝试中初步感受数形结合的思想方法
本环节以问题设计为载体，促进课堂学习共同体的构建。首先，教师让学生进行小组讨论，讨论这个问题有几种解决方法和完成这类题目最关键的是什么。学生的回答：一是利用待定系数法确定函数解析式，再将问题转化为不等式来求解；二是利用函数图像，直接读图确定。结论：直接读图的方法，关键找“交点”。接下来教师追问：如何判断图像的大小？结论：在函数图像中，位置越高的点对应的函数值越大。教师继续追问：如果去掉题目中一个条件，而不影响做题，你会去掉什么条件？学生不假思索地回答：去掉A、B两点的坐标……教师再问：是不是呢？有学生反应过来了，马上回答：A点的坐标是不能去掉的，它代表了这两个图像的交点，如果A点的坐标去掉了，就没有办法找到它们的分界点了。以“问题串”的设计为载体，在尝试中初步感受数形结合的思想方法，教师及时追问，把师生的交流研讨引向深层，促使学习共同体发挥最大的效能，让学生的学习能力和思维能力都获得提高。
在初中阶段的教学实践活动中，对学生实施数学思想方法的教育，是培养学生数学能力和提高数学素质的有效途径。利用数形结合思想进行讲解，使学生对数形结合思想理念有初步的感知，本题的设计一方面是对一次函数与不等式知识点的复习，另一方面也为学生呈现了直观的图形，加强其读图能力，为学生由数到形的思维过渡做好了铺垫。
（二）在运用中逐步深化认识数形结合思想方法
（三）在合作交流中深化理解数形结合思想方法
【镜头回放】问题2：如图2，已知一次函数y=kx+b与反比例函数的图像交于A、B两点，且点A的横坐标为2，点B的纵坐标为-4，当x满足什么条件时，一次函数的值比反比例函数的值大？
变式：若点A的横坐标与点B的纵坐标均为1，当x满足什么条件时，一次函数的值比反比例函数的值大？请你画出示意图并找到答案。
本题进一步深入一次函数与反比例函数相结合的探讨，题目并没有直接给出A、B两点的坐标。首先我们要利用反比例函数解析式决定A、B两点的坐标，在此教师特别指出易错点——y轴，因为反比例函数中x≠0，因此自变量的取值范围会直接影响函数图像，所以把图像划分成四个区域，从左到右看，每一个区域进行比较，求出一次函数的值比反比例函数大的值。利用数形结合思想解决问题时，除了关注交点这一解题关键，还需要特别注意自变量的取值范围。在解决变式问题方面，面对学生推理中出现的各种错误，教师并不急于给出答案，课堂上让学生利用8分钟的时间进行小组合作交流，探讨怎样画出示意图，如何确定A、B点的坐标，耐心地引导学生分析，找准此题的条件和结论，让学生最终能够清晰地感悟到几何知识的推理方法。教师选取几种典型错误予以展示：（1） 只画了第一象限，而忘记了第三象限；（2） 把示意图在原图上画，使图像更复杂；（3） A点或B点的坐标找错了。这一环节，教师为学生提供了充足的合作交流思考时间与空间，完全放手由学生进行探究，学生在认知冲突中思考、辨别、提高，动手操作，大胆猜想。教师放手让学生总结，生生补充，教师完善。
由师生“一问一答”转变为师生间“争辩式”的深层对话，在生生间、小组间、师生间的交流、探讨、争辩中，学生相互影响、感染，分享、体验，形成班级内的良好和谐的学习共同体，教师及时引导学生对方法进行总结提升，使学生能够感悟解决问题的方法，使每位同学都能够学有所得，学有所获。平等、互助、对话式的学习关系，充分发挥了集体智慧。从直接读图到画出示意图，是学生对数学解题能力的挑战与提升，应用数形结合思想能够使学生的解题变得豁然开朗，但画图精准与否，直接影响答案是否正确，因此，必须加强学生对画图精准性的训练，以此来提高解题效率。让学生亲自经历观察、作图、猜想、归纳的过程，引导学生将函数中数的刻画和形的表达两者紧密联系起来，以数助形，以形解数，实现数形结合，充分感受数学问题研究中数与形两种方法之间相辅相成。 （四）在解决问题过程中主动运用数形结合思想方法
【镜头回放】问题3：如图3，已知抛物线y1=-x2+4x和直线y2=2x，我们约定，当x取一个值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值为M；若y1=y2，则记M=y1=y2。
（1）当x>2时，M=y2。
（2）当x<0时，M随x的增大而增大。
（3）使得M大于4的x的值不存在。
（4）若M=2，则x=1。
上述说法正确的是____________。
本环节题目的设计，有梯度、有难度，并提升到一次函数与二次函数相结合的探讨。题目中的M代表的是什么？题目的关键是理解“我们约定”——“若y1≠y2，取y1、y2中的较小值为M；若y1=y2，则记M=y1=y2”这句话的含义，其实M就是找y1、y2的最小值。通过图像我们可以发现：当x>2时，M=y1，若M=2时，则x会有两个点的答案，因此（1）、（4）的说法有误。九年级的学生，已经具备了相当的知识水平，对数学思想方法有了一定的理解，并在解决问题过程中形成了一定的运用思想方法的意識，因此在教学中教师要重点引导学生从变化多端的问题情境中抓住问题的实质，寻求不同问题解决中的共同内涵，让学生主动领悟隐含于数学问题背后的思想方法，并主动运用该思想方法解决共性问题。
此环节中，学生在教师的引导下，学会将文字语言转化为数学语言思辨，设计开放性的问题，搭建学生沟通的桥梁，让师生有共同研究的话题，共同努力的方向，形成生机勃勃的课堂氛围。在思维发展的关键点上，恰当地采取合作学习。学生在小组活动中，在交流汇报中倾听、思考、合作、质疑、感悟知识，收获方法。
三、对数形结合教学实践的几点思考
（一）感悟、归纳、提炼数学思想方法
初中数学思想方法以凹显的方式融于知识体系。我们在教学过程中，应把挖掘出来的数学思想方法进行归纳总结，这种教学活动要纳入教学计划，有目的、有步骤地进行，同时也要让学生经历感悟、归纳、提炼数学思想方法的过程。在例题分析后或课堂小结时，可将统领本节课知识的数学思想方法概括出来，增强学生对数学思想方法的应用意识，让学生更好地理解、掌握所学的内容。
（二）培养学生综合运用数学思想方法解题的能力
在教学实践活动中，教师为学生提供丰富、生动、典型、直观的素材，创设问题情景，使学生积极投入到接受问题、分析问题和感悟思想方法的角色中，形成独立探索和分析、解决问题的能力。对某些数学问题，应尽可能地引导学生从多种渠道、多种途径中寻求答案，获得最佳方法；可通过由简单到复杂，由特殊到一般的思维方式，引导学生大胆联想和猜想，获得新的发现；对于某些条件、因素较多的数学问题，应引导学生系统、全面地分析，获得正确的结论。这样可以提高课堂效率，引导学生解题后必反思，优化解题过程，总结解题经验，提炼数学思想方法，培养学生综合运用数学思想方法解决实际问题的能力。
（三）重视数学思想方法的教学探索
重视数学思想方法的教学已成为我国数学教育的一大特色，数学思想是凹现的，数学方法是凸现的。因此，在教学中怎样挖掘教科书中隐含的数学思想方法，怎样有效地进行数学思想方法的教学，如何培养和发展学生的数学思想方法，是摆在数学教师和数学教育工作者面前的一个新课题。在义务教育教学实践中，我们不仅要重视教材中数学知识的传授、数学品质的培养、数学能力的提高，还要重视数学思想方法的教学探索。
参考文献：
[1]叶媛媛.数学思想方法之数形结合[J].中学数学教学参考，2017（08）.
[2]张士勤，王顺钦.中学数学教学设计[M].北京：科学出版社，2015.
[3]马复，凌晓牧.新版课程标准解析与教学指导（初中数学）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
关键词：初中数学；数学思想；数形结合；教学案例；教学反思
近期，笔者观摩了厦门市第六中学初中部叶媛媛老师执教的《数学思想方法之数形结合》课堂教学视频，并认真研读了执教者课例设计文本，其中“以数助形，以形解数”的数学思想方法给笔者留下了深刻的印象，受益匪浅，现结合具体课例内容进行品评，交流学习。
一、重视数学思想方法，获得美学享受
中学数学思想方法是中学数学教学的重要内容之一，《数学课程标准》在课程总目标中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习、学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所需的重要数学知识（数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要时的应用技能。”
数学教学分低级和高级两种，低级水平是介绍数学概念，陈述数学定理、公式，指出解题的程式和套路；高级水平是着眼于数学知识背后的数学思想方法，在解决数学问题的过程中进行深层次的数学思考，经过思维训练，获得数学美学享受。
二、架起“数”与“形”之间的立体桥梁
数形结合的思想方法就是把“数”与“形”结合起来对数学问题进行分析、研究，从而解决问题的方法。用代数的方法研究几何图形的问题，架起“数”与“形”之间的立体桥梁，加强知识之间相互联系，是解决数学问题强有力的工具。
本节课的学习，主要是为了让学生初步感受数形结合的思想。具体来说，要求他们能运用代数的知识、通过函数关系的討论去处理几何图形的问题，通过对图形性质的研究去解决函数之间数量关系的问题；能将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来，把抽象思维与形象思维结合起来；会用代数的方法去研究几何问题，会根据图形的性质及几何知识去处理代数问题。
在教学中，架起“数”与“形”之间的立体桥梁，突出数形结合思想方法，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
（一）在尝试中初步感受数形结合的思想方法
本环节以问题设计为载体，促进课堂学习共同体的构建。首先，教师让学生进行小组讨论，讨论这个问题有几种解决方法和完成这类题目最关键的是什么。学生的回答：一是利用待定系数法确定函数解析式，再将问题转化为不等式来求解；二是利用函数图像，直接读图确定。结论：直接读图的方法，关键找“交点”。接下来教师追问：如何判断图像的大小？结论：在函数图像中，位置越高的点对应的函数值越大。教师继续追问：如果去掉题目中一个条件，而不影响做题，你会去掉什么条件？学生不假思索地回答：去掉A、B两点的坐标……教师再问：是不是呢？有学生反应过来了，马上回答：A点的坐标是不能去掉的，它代表了这两个图像的交点，如果A点的坐标去掉了，就没有办法找到它们的分界点了。以“问题串”的设计为载体，在尝试中初步感受数形结合的思想方法，教师及时追问，把师生的交流研讨引向深层，促使学习共同体发挥最大的效能，让学生的学习能力和思维能力都获得提高。
在初中阶段的教学实践活动中，对学生实施数学思想方法的教育，是培养学生数学能力和提高数学素质的有效途径。利用数形结合思想进行讲解，使学生对数形结合思想理念有初步的感知，本题的设计一方面是对一次函数与不等式知识点的复习，另一方面也为学生呈现了直观的图形，加强其读图能力，为学生由数到形的思维过渡做好了铺垫。
（二）在运用中逐步深化认识数形结合思想方法
（三）在合作交流中深化理解数形结合思想方法
【镜头回放】问题2：如图2，已知一次函数y=kx+b与反比例函数的图像交于A、B两点，且点A的横坐标为2，点B的纵坐标为-4，当x满足什么条件时，一次函数的值比反比例函数的值大？
变式：若点A的横坐标与点B的纵坐标均为1，当x满足什么条件时，一次函数的值比反比例函数的值大？请你画出示意图并找到答案。
本题进一步深入一次函数与反比例函数相结合的探讨，题目并没有直接给出A、B两点的坐标。首先我们要利用反比例函数解析式决定A、B两点的坐标，在此教师特别指出易错点——y轴，因为反比例函数中x≠0，因此自变量的取值范围会直接影响函数图像，所以把图像划分成四个区域，从左到右看，每一个区域进行比较，求出一次函数的值比反比例函数大的值。利用数形结合思想解决问题时，除了关注交点这一解题关键，还需要特别注意自变量的取值范围。在解决变式问题方面，面对学生推理中出现的各种错误，教师并不急于给出答案，课堂上让学生利用8分钟的时间进行小组合作交流，探讨怎样画出示意图，如何确定A、B点的坐标，耐心地引导学生分析，找准此题的条件和结论，让学生最终能够清晰地感悟到几何知识的推理方法。教师选取几种典型错误予以展示：（1） 只画了第一象限，而忘记了第三象限；（2） 把示意图在原图上画，使图像更复杂；（3） A点或B点的坐标找错了。这一环节，教师为学生提供了充足的合作交流思考时间与空间，完全放手由学生进行探究，学生在认知冲突中思考、辨别、提高，动手操作，大胆猜想。教师放手让学生总结，生生补充，教师完善。
由师生“一问一答”转变为师生间“争辩式”的深层对话，在生生间、小组间、师生间的交流、探讨、争辩中，学生相互影响、感染，分享、体验，形成班级内的良好和谐的学习共同体，教师及时引导学生对方法进行总结提升，使学生能够感悟解决问题的方法，使每位同学都能够学有所得，学有所获。平等、互助、对话式的学习关系，充分发挥了集体智慧。从直接读图到画出示意图，是学生对数学解题能力的挑战与提升，应用数形结合思想能够使学生的解题变得豁然开朗，但画图精准与否，直接影响答案是否正确，因此，必须加强学生对画图精准性的训练，以此来提高解题效率。让学生亲自经历观察、作图、猜想、归纳的过程，引导学生将函数中数的刻画和形的表达两者紧密联系起来，以数助形，以形解数，实现数形结合，充分感受数学问题研究中数与形两种方法之间相辅相成。 （四）在解决问题过程中主动运用数形结合思想方法
【镜头回放】问题3：如图3，已知抛物线y1=-x2+4x和直线y2=2x，我们约定，当x取一个值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值为M；若y1=y2，则记M=y1=y2。
（1）当x>2时，M=y2。
（2）当x<0时，M随x的增大而增大。
（3）使得M大于4的x的值不存在。
（4）若M=2，则x=1。
上述说法正确的是____________。
本环节题目的设计，有梯度、有难度，并提升到一次函数与二次函数相结合的探讨。题目中的M代表的是什么？题目的关键是理解“我们约定”——“若y1≠y2，取y1、y2中的较小值为M；若y1=y2，则记M=y1=y2”这句话的含义，其实M就是找y1、y2的最小值。通过图像我们可以发现：当x>2时，M=y1，若M=2时，则x会有两个点的答案，因此（1）、（4）的说法有误。九年级的学生，已经具备了相当的知识水平，对数学思想方法有了一定的理解，并在解决问题过程中形成了一定的运用思想方法的意識，因此在教学中教师要重点引导学生从变化多端的问题情境中抓住问题的实质，寻求不同问题解决中的共同内涵，让学生主动领悟隐含于数学问题背后的思想方法，并主动运用该思想方法解决共性问题。
此环节中，学生在教师的引导下，学会将文字语言转化为数学语言思辨，设计开放性的问题，搭建学生沟通的桥梁，让师生有共同研究的话题，共同努力的方向，形成生机勃勃的课堂氛围。在思维发展的关键点上，恰当地采取合作学习。学生在小组活动中，在交流汇报中倾听、思考、合作、质疑、感悟知识，收获方法。
三、对数形结合教学实践的几点思考
（一）感悟、归纳、提炼数学思想方法
初中数学思想方法以凹显的方式融于知识体系。我们在教学过程中，应把挖掘出来的数学思想方法进行归纳总结，这种教学活动要纳入教学计划，有目的、有步骤地进行，同时也要让学生经历感悟、归纳、提炼数学思想方法的过程。在例题分析后或课堂小结时，可将统领本节课知识的数学思想方法概括出来，增强学生对数学思想方法的应用意识，让学生更好地理解、掌握所学的内容。
（二）培养学生综合运用数学思想方法解题的能力
在教学实践活动中，教师为学生提供丰富、生动、典型、直观的素材，创设问题情景，使学生积极投入到接受问题、分析问题和感悟思想方法的角色中，形成独立探索和分析、解决问题的能力。对某些数学问题，应尽可能地引导学生从多种渠道、多种途径中寻求答案，获得最佳方法；可通过由简单到复杂，由特殊到一般的思维方式，引导学生大胆联想和猜想，获得新的发现；对于某些条件、因素较多的数学问题，应引导学生系统、全面地分析，获得正确的结论。这样可以提高课堂效率，引导学生解题后必反思，优化解题过程，总结解题经验，提炼数学思想方法，培养学生综合运用数学思想方法解决实际问题的能力。
（三）重视数学思想方法的教学探索
重视数学思想方法的教学已成为我国数学教育的一大特色，数学思想是凹现的，数学方法是凸现的。因此，在教学中怎样挖掘教科书中隐含的数学思想方法，怎样有效地进行数学思想方法的教学，如何培养和发展学生的数学思想方法，是摆在数学教师和数学教育工作者面前的一个新课题。在义务教育教学实践中，我们不仅要重视教材中数学知识的传授、数学品质的培养、数学能力的提高，还要重视数学思想方法的教学探索。
参考文献：
[1]叶媛媛.数学思想方法之数形结合[J].中学数学教学参考，2017（08）.
[2]张士勤，王顺钦.中学数学教学设计[M].北京：科学出版社，2015.
[3]马复，凌晓牧.新版课程标准解析与教学指导（初中数学）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.