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时隔8年，一波接一波的牛市让中国股市再一次成为街头巷尾人们热议的话题。看着满屏红红绿绿、瞬息万变的数字，你可曾思考过这里面所蕴含的数学？
当我们谈论收益时，我们该怎样谈？
说收益是整个股市的核心也毫不为过，所以当我们谈论收益时，往往只关注了收益这么一个数字，却忽略了背后的很多东西。
风险
我们听了太多“隔壁王叔叔昨天又有5个股票涨停，又挣了5万块钱，这个礼拜的收益已经足够在北京三环买一个5平方米的卫生间了”之类的话。但如果我们把时钟拨回2008年，这话可能就变成了“隔壁王叔叔昨天又有5个股票跌停，又亏了5万块钱，这个礼拜亏的钱已经足够在北京三环买一个30平方米的卧室了（毕竟08年房价还没那么贵）”。
这说明，明天你既有可能再赚一笔，也有可能把之前赚的都倒亏回去，而且赚多少亏多少你也猜不到。这就是风险。可以这样认为，风险越大的股票，你就越难预测明天的走势，因为它波动的幅度会更大。
你是会喜欢风平浪静预期赚10%的那只，还是喜欢大起大落预期赚15%的那只？
有人会说，我当然喜欢大起大落的那只，因为这说明它有潜力涨得很高啊。（很多人也就忽略了反面——它有可能跌得倾家荡产！）
所以问题来了，我们到底该怎么衡量一只股票或者说是一个投资的组合是好是坏。威廉·夏普就提出了一个夏普比例（Sharpe Ratio）的概念，以此来衡量一个投资的收益，是否与它所带来的风险相适应：
夏普比例=投资收益率-无风险收益率/风险
在这里，对于一般投资者而言，无风险收益率约等于是一年定期存款的利率，而风险，我们往往会使用收益率的标准差。当然，也有一些使用其他的衡量风险的方法，感兴趣的读者可以参考特雷诺比例（Treynor Ratio）和詹森比例（JensenRatio）。
一个投资的夏普比例越高，则表示这个投资在承担单位风险的情况下，获得的回报越高，这个投资也就越好。相反，夏普比例越低，则表明这个投资的风险并未给投资者带来可观的回报，反而是暴露在了过大的风险之中。因此，当我们讨论着股市的收益时，还应该思考，这一份的收益背后，我们承担的风险是否和我们预期的收益相适应。
时间价值
假设小明和小红的股票都实行了股息分红，小明的股息是7万块钱的现金，小红的股息是7万块钱的支票，而这张支票有点奇怪——1午后才能兑现。请问他们两个的股票分红价值是否相等？
既然我都这样发问了，这个问题的答案肯定是“不相等”。为什么？
试想一下，如果小明拿到这笔钱以后，立刻存进银行，定期一年（假设年利率是3.5%），到了明年这个时候，他和小红一起去银行，小红用支票换来了1万块整，而小明除了取出来1万块的本金，还有350块钱的利息。这350块的差距，就是资金的时间价值。
如果我们再修改一下题目，允许小红提前用支票拿到稍微少量的现金，考虑到时间价值，那么这个稍微少量的现金数目应该是多少，才会和一年后的1万块相等呢？
不妨假设这个数是x，小红把这x元存入银行，一年后取出来1万块，我们就会有这么一条方程：x（1+3.5%）=10000。
也就是说，一年后的1万元，在现在只值9661.84元。这样的一个把未来的现金除以无风险收益率，转换成当下的价值的过程，我们称为折现。而通过这个过程，可以看得出，同样数目的金钱，实现的时间越晚，其价值也就越低。
我们在用怎样的数学描述股市？真的有用吗？
值得庆幸的是，数学里面有专门用来描述这些不确定性的东西——概率、随机。
二叉树
这是一个很基本的模型：
假设一个股票现在的价格是100块，每一分钟，它都有50%的可能涨5%，也有50%的可能跌5%，一天下来，这个股票的走势可能会是这样的：
我们不妨把把这个模型用表格表示出来，更加直观：
稍微解释一下这张表，格子里的数字表示在第n分钟时股票的股价，而括号里面的分数，则表示出现这个股价的概率大小。
从第0分钟开始，到第1分钟，股票有50%可能来到105，也有50%的可能来到95。
在这个基础上，从第1分钟到第2分钟，如果股票价格是105，则它有可能涨到110.25，也可能跌到99.75。而如果股票价格是95，则它有可能反弹涨回99.75，也有可能进一步跌到90.25
以此类推，我们就十分“全面”地模拟出了股票走势的所有可能性。
更进一步，我们还可以缩短时间的间距，变为每一步是30秒，甚至更短，而不是1分钟。也可以增加每一步的可能性——从二叉树，变为三叉树甚至是更多种可能的情况。
当然，这个模型简单，但也存在一些不足：一是时间的连续性在这里被破坏了，但我们可以通过缩短时间间距来模拟几乎连续的时间。更为重要的是，股价的连续性被破坏了——现实情况下，股价有可能涨跌4%，4.9%，4.99%，4.999%，而不是简单的一个±5%。
布朗运动
针对二叉树模型的不足，人们发展出布朗运动这么一个理想化的模型。布朗运动使用了连续的时间和连续的收益率，即收益率服从正态分布，覆盖了全体实数，不再是简单地分为有限种可能性。
在此理想模型下，人们可以更为精准地模拟股价的运动。
但是理想的模型，它的假设里面就包含了它最致命的不足——股票的收益真的服从正态分布吗？这就引来了最大的争议。说它不服从吧，但其实也差不多；说它服从吧，偏偏有差距的就是极端情况（也就是大涨大跌）出现的概率，你又不能视而不见。如下图所示，这样的特性人们称之为“厚尾性”，即两端出现的概率比正态分布情况下出现的概率更高。
这个争议至今仍未完结，而目正反双方不仅拿出了十分有说服力的实例以证明己方的观点，更在自己观点的基础上发展出了数不胜数的更加高深复杂的模型。这也正印证了统计学中最经典的一句“所有模型都是错的，但总有一些是有用的”。
有心急的读者要问了，前面介绍了两个模型，有用吗？怎么预测股市？能赚多煳
那么不如再把前面的介绍再仔细地读一遍，你会发现，自始至终，我完全没有提过“预测”这茬。这两个模型准确地描述了股票市场的不可预测性（很讽刺吧，既准确，又不可预测），在此基础上，才有了衍生品市场前所未有的繁荣，才有了各种金融产品的百花齐放。
当我们谈论收益时，我们该怎样谈？
说收益是整个股市的核心也毫不为过，所以当我们谈论收益时，往往只关注了收益这么一个数字，却忽略了背后的很多东西。
风险
我们听了太多“隔壁王叔叔昨天又有5个股票涨停，又挣了5万块钱，这个礼拜的收益已经足够在北京三环买一个5平方米的卫生间了”之类的话。但如果我们把时钟拨回2008年，这话可能就变成了“隔壁王叔叔昨天又有5个股票跌停，又亏了5万块钱，这个礼拜亏的钱已经足够在北京三环买一个30平方米的卧室了（毕竟08年房价还没那么贵）”。
这说明，明天你既有可能再赚一笔，也有可能把之前赚的都倒亏回去，而且赚多少亏多少你也猜不到。这就是风险。可以这样认为，风险越大的股票，你就越难预测明天的走势，因为它波动的幅度会更大。
你是会喜欢风平浪静预期赚10%的那只，还是喜欢大起大落预期赚15%的那只？
有人会说，我当然喜欢大起大落的那只，因为这说明它有潜力涨得很高啊。（很多人也就忽略了反面——它有可能跌得倾家荡产！）
所以问题来了，我们到底该怎么衡量一只股票或者说是一个投资的组合是好是坏。威廉·夏普就提出了一个夏普比例（Sharpe Ratio）的概念，以此来衡量一个投资的收益，是否与它所带来的风险相适应：
夏普比例=投资收益率-无风险收益率/风险
在这里，对于一般投资者而言，无风险收益率约等于是一年定期存款的利率，而风险，我们往往会使用收益率的标准差。当然，也有一些使用其他的衡量风险的方法，感兴趣的读者可以参考特雷诺比例（Treynor Ratio）和詹森比例（JensenRatio）。
一个投资的夏普比例越高，则表示这个投资在承担单位风险的情况下，获得的回报越高，这个投资也就越好。相反，夏普比例越低，则表明这个投资的风险并未给投资者带来可观的回报，反而是暴露在了过大的风险之中。因此，当我们讨论着股市的收益时，还应该思考，这一份的收益背后，我们承担的风险是否和我们预期的收益相适应。
时间价值
假设小明和小红的股票都实行了股息分红，小明的股息是7万块钱的现金，小红的股息是7万块钱的支票，而这张支票有点奇怪——1午后才能兑现。请问他们两个的股票分红价值是否相等？
既然我都这样发问了，这个问题的答案肯定是“不相等”。为什么？
试想一下，如果小明拿到这笔钱以后，立刻存进银行，定期一年（假设年利率是3.5%），到了明年这个时候，他和小红一起去银行，小红用支票换来了1万块整，而小明除了取出来1万块的本金，还有350块钱的利息。这350块的差距，就是资金的时间价值。
如果我们再修改一下题目，允许小红提前用支票拿到稍微少量的现金，考虑到时间价值，那么这个稍微少量的现金数目应该是多少，才会和一年后的1万块相等呢？
不妨假设这个数是x，小红把这x元存入银行，一年后取出来1万块，我们就会有这么一条方程：x（1+3.5%）=10000。
也就是说，一年后的1万元，在现在只值9661.84元。这样的一个把未来的现金除以无风险收益率，转换成当下的价值的过程，我们称为折现。而通过这个过程，可以看得出，同样数目的金钱，实现的时间越晚，其价值也就越低。
我们在用怎样的数学描述股市？真的有用吗？
值得庆幸的是，数学里面有专门用来描述这些不确定性的东西——概率、随机。
二叉树
这是一个很基本的模型：
假设一个股票现在的价格是100块，每一分钟，它都有50%的可能涨5%，也有50%的可能跌5%，一天下来，这个股票的走势可能会是这样的：
我们不妨把把这个模型用表格表示出来，更加直观：
稍微解释一下这张表，格子里的数字表示在第n分钟时股票的股价，而括号里面的分数，则表示出现这个股价的概率大小。
从第0分钟开始，到第1分钟，股票有50%可能来到105，也有50%的可能来到95。
在这个基础上，从第1分钟到第2分钟，如果股票价格是105，则它有可能涨到110.25，也可能跌到99.75。而如果股票价格是95，则它有可能反弹涨回99.75，也有可能进一步跌到90.25
以此类推，我们就十分“全面”地模拟出了股票走势的所有可能性。
更进一步，我们还可以缩短时间的间距，变为每一步是30秒，甚至更短，而不是1分钟。也可以增加每一步的可能性——从二叉树，变为三叉树甚至是更多种可能的情况。
当然，这个模型简单，但也存在一些不足：一是时间的连续性在这里被破坏了，但我们可以通过缩短时间间距来模拟几乎连续的时间。更为重要的是，股价的连续性被破坏了——现实情况下，股价有可能涨跌4%，4.9%，4.99%，4.999%，而不是简单的一个±5%。
布朗运动
针对二叉树模型的不足，人们发展出布朗运动这么一个理想化的模型。布朗运动使用了连续的时间和连续的收益率，即收益率服从正态分布，覆盖了全体实数，不再是简单地分为有限种可能性。
在此理想模型下，人们可以更为精准地模拟股价的运动。
但是理想的模型，它的假设里面就包含了它最致命的不足——股票的收益真的服从正态分布吗？这就引来了最大的争议。说它不服从吧，但其实也差不多；说它服从吧，偏偏有差距的就是极端情况（也就是大涨大跌）出现的概率，你又不能视而不见。如下图所示，这样的特性人们称之为“厚尾性”，即两端出现的概率比正态分布情况下出现的概率更高。
这个争议至今仍未完结，而目正反双方不仅拿出了十分有说服力的实例以证明己方的观点，更在自己观点的基础上发展出了数不胜数的更加高深复杂的模型。这也正印证了统计学中最经典的一句“所有模型都是错的，但总有一些是有用的”。
有心急的读者要问了，前面介绍了两个模型，有用吗？怎么预测股市？能赚多煳
那么不如再把前面的介绍再仔细地读一遍，你会发现，自始至终，我完全没有提过“预测”这茬。这两个模型准确地描述了股票市场的不可预测性（很讽刺吧，既准确，又不可预测），在此基础上，才有了衍生品市场前所未有的繁荣，才有了各种金融产品的百花齐放。