【中图分类号】G623.5【文献标识码】B 【文章编号】1001-4128（2011）02-0113-01
　　解决数列求和这类问题的技巧性较强，它没有一般的通用方法，但只要认真分析、思考，还是有一定的规律可循，现将几种常见的解法总结如下：
　　1 公式法
　　当数列为等差数列或等比数列时，可用公式求解。
　　例1在国际象棋棋盘的第一格内放1粒麦子，在第二格内放2粒，照此下去，每一格内所放的麦子都是前一格的2倍，共要放多少粒麦子？
　　解：所需麦子数为：1+2+22+23+•••+263=（1-qn）1-q=1-2641-2=264-1
　　2 错位相减法
　　例2求和：1+2x+ 3x2 +•••+ nxn-1(x≠1)
　　解：设Sn =1+ 2x+ 3x2 +•••+ nxn-1
　　则x Sn =x+ 2x2+ 3x3+•••+ nxn
　　两式相减得：(1-x) Sn=1+ x + x2 +•••+ xn-1 - nxn=1-xn1-x- nxn
　　则Sn=1-(n+1)xn+nxn+1(1-x)2
　　这种求和方法具有一般性，等比数列的求和公式就是用这種方法推导出来的。它的基本思路是，根据求和的意义，列出关于Sn的和式，将其变形、运算，设法求出易于求和的表达式，从而求得数列和。再比如以下问题也可用此方法：
　　1. 求10+200+3000+•••+ n•10n的和；
　　2. 求23+432+633+ •••+2n3n的和。
　　3 分组法
　　有时可以把一个数列分解成几个数列的和或差，利用基本数列的求和公式来求该数列的和。基本数列求和公式，除了一般的等差、等比数列的求和公式外，常用的还有：
　　12 + 22 + •••+ n2 =16n(n+1)(2n+1)
　　13 + 23 + •••+ n3 = ［12n(n+1)］2等。
　　例3求和：Sn =1×32 + 2•52 +•••+ n×(2n+1)2
　　解：Sn=∑nk=1k(2k+1)2=∑nk=1(4k3+4k2+k)= 4∑nk=1k3+ 4∑nk=1k2+∑nk=1k= 4［12n(n+1)］2+ 4•16n(n+1)(2n+1)+12n(n+1)=16 n(n+1)(6n2+14n+7)
　　4 裂项法
　　对于数列{an}，如果可以将其通项an拆成另一通项为bn的数列{bn}的相邻两项的差，即an = bn+1 - bn，那么数列{an}的前项和为bn+1- b1，这种求数列和的方法称为裂项法。
　　例4求和：Sn= 1×2×3+ 2×3×4 + •••+ n(n+1)(n+2)
　　解：由k(k+1)(k+2)=14［k(k+1)(k+2)(k+3) – (k-1)k(k+1)(k+2)］
　　则Sn=∑nk=1k(k+1)(k+2)=14∑nk=1［k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)］=14{(1×2×3×4-0×1×2×3)+(2×3×4×5-1×2×3×4)•••+［（n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)）］}=14［(n(n+1)(n+2)(n+3)-0］=14n(n+1)(n+2)(n3)
　　用“裂项法”还可以求和：11×3+12×4+•••+1n×(n+2)
　　5 枚举归纳法
　　枚举n=1，2，3，•••时Sn的值，对其进行归纳，猜测Sn与n的关系，再用数学归纳法证明猜想的正确性。
　　例5求和：Sn=1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + ••• + n(n+1)(n+2)(n+3)
　　解：S2=1×2×3×4 + 2×3×4×5=2×3×4×5×（15+1）=2×3×4×5×6×15
　　猜测Sn=15［n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)］
　　下面用数学归纳法证明猜想是正确的。
　　当n=2时，猜想显然是正确的。假设当n=k时，猜想正确，即1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 ++•••+ k(k+1)(k+2)(k+3) =15［k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)］
　　则当n=k+1时：［1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + ••• + k(k+1)(k+2)(k+3)］+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
　　=15［k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)］ + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k5+1) = 15［(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)］
　　即n=k+1时原等式仍然成立。由数学归纳法可知猜想正确。
　　6 复数法
　　某些数列，可以构造一个复数数列，利用复数的性质来求数列的和。
　　例6 求和：S1=c1n-c3n+c5n-c7n+ •••；
　　S2=c0n-c2n+c4n-c6n+ •••；
　　解：由(1+i)n=［2(cosπ4+isinπ4)］n=2n(cosnπ4+isinnπ4)=2ncosnπ4+i2nsinnπ4
　　又(1+i)n=c0n+c1ni+c2ni2+•••+cnnin
　　=(c0n-c2n+c4n-c6n+ •••)+ i(c1n-c3n+c5n-c7n+ •••)
　　故S2+ i S1= (c0n-c2n+c4n-c6n+•••)+ i(c1n-c3n+c5n-c7n+ •••)
　　=2ncosnπ4+i2nsinnπ4
　　由复数相等的定义，得S1=2nsinnπ4，S2=2ncosnπ4