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摘要：四足机器人广泛应用于仿生机器人的研究当中。为提高机器人的稳定性和行进效率，提出了基于对角小跑的关节节点角度的确定方案，从能耗角度提出了高效的行走步态的优化策略。
关键词：四足机器人；关节；高效；步态
中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2017）25-0172-03
足式机器人较为普遍的是双足、四足和六足机器人，同时考虑稳定性及行进速度的情况下，四足是较为具备优势的一种结构。目前，从运动学角度（腿部结构）划分，多数足式机器人均对应以下几何结构中的一种：关节型（RRR），球坐标型（RRP），SCARA型（RRP），圆柱型（RPP）或者笛卡尔型（PPP），上述五种腿部结构均属于串联连杆结构。而步态可以理解为，在运动过程中行进物体的肢体执行端在时间上与空间上的一种协调关系，即每条腿按照一定的顺序和轨迹的运动过程。
国内外已经有许多学者对足式机器人的步态规划进行了研究。例如，韩国庆北大学研制出的新型ELIRO-II[1]提出了非连续之字形步态规划方法[2]；华中科技大学研制出了能够在地面、墙壁、天花板应用三种不同步态行走的仿壁虎机器人[3]，但研究大多集中在增强稳定性和减少控制复杂度上，很少涉及基于运动学对关节角度的研究和对机器人腿部做功的研究。
针对上述问题，本文提出基于对角小跑的关节节点角度的步态规划方式，给出关节节点角度的计算公式，并从能量的角度对步态进行优化。
1 四足机器人的步态规划
1.1 运动学模型
为得到四足机器人运动的关节角度信息，必须得到机器人的运动方程。如图1，建立一个世界（固定）坐标系，将坐标系原点建立在机械腿基座处（机器人的髋关节中心处），机械腿执行端坐标可以由关节处的连杆间的夹角与连杆的长度来表达。在各关节处均建立坐标系，本文采用旋转矩阵来进行坐标变换，这个过程可以称为DH约定[4]，再以齐次变换简化坐标系之间的关系。
1.2 关节节点角度的确定
足式机器人在行走时最主要的工作就是如何确定关节节点角度。从运动学角度来确定各关节的角度变量是机器人的逆运动学问题，即已知机器人的髋关节坐标，求解各关节角度变量θ1、θ2、θ3。如图3。
2 平地高效行走步态的分析
有关平地高效行走步态的分析，我们采用最简单的模型进行求解分析，在机器人行走的过程中，关节力矩和腿部执行端蹬地时增加系统的机械能，腿部执行端落地时则会减少系统的机械能，因为机器人步态是一个稳定的周期性运动步态，所以每个初始状态都可以当作一个不动点，因此各步态的初始状态相同，在一个行进周期中，系统增加和减少的机械能相等，即Et=Emoment Epush=Eimpact
如图4、5、6，是最简单的模型行走过程中其髋关节的速度变化状态，以两个腿部执行端同在地面时作为开始状态，此时的髋关节初始状态（速度）为v ，腿部向前摆动，当执行端与地面接触的时候，蹬地行为[7]和碰撞行为[8]在瞬间依次发生，蹬地行为进行前时髋关节速度为vp-，但是由于作用冲量，蹬地行为发生后髋关节的瞬时速度变成vp ，其中蹬地行为后的髋关节速度的方向夹角为a，碰撞行为前的髋关节瞬时速度为v-=vp ，碰撞行为后的髋关节瞬时速度变成v ，此时的髋关节瞬时速度又将作为下一个步态的初始态，碰撞行为发生前后的髋关节速度的方向夹角为β，角度关系为α β=2q1，如图7。
各时刻的髋关节速度之间的关系为v =v-/cosα v-=vp v =v-cosβ一次步态内系统能量增量表达式Emoment=mh（（vp-）2-（v ）2）/2
蹬地行为过程系统能量变化Epush=mh（（vp ）2-（vp-）2）/2
碰撞行为过程能量变化Eimpact=mh（（v-）2-（v ）2）/2=mh（v tanβ）2
如图8所示，碰撞行为能量的消耗情况，w-为系统减少的能量，与碰撞发生后的速度差平方呈线性关系[9]，并且α≤β，q1≤β≤2q1，当行走步态只有蹬地行为而没有摆动行为时，β=q1，当行走步态只有摆动行为而没有蹬地行为时，β=2q1。并且当β=q1约等于ds/2时，这时系统能量效率最小，当q1较小的时后，tanβ约等于β，能量效率为（v ）2D/8，v 和D分别是髋关节的初始速度和机器人行走步长，因为关节的初始速度近似为平均速度v，所以此时能量能量效率近似为v2D/8，此时vp-=v ，结构在摆动行为阶段的能量Emoment=0，结构系统的能量由蹬地行为提供，所以结构的高效步态过程为：结构从初始状态起始，在摆动行为阶段没有关节力矩的能量输出，在碰撞行为之前，蹬地行为提供运动所需的能量，并且碰撞行为消耗等量的能量使得碰撞结束后髋关节的速度与其初始状态下的速度相同，进而完成一个周期行走，碰撞行为中的能量关系为Eimpact=Epush。
当机器人运动步长较小时，摆动行为结束时的vp-近似等于平均速度vs，但是随着机器人步长的增大，vp-与vs的值相差越来越大，因此引入参量q（t）作为摆动行为中支撑相角度关于时间的函数[10]，得到mhq（t）2l2/2 mhglcos（q（t））=mh（vp-）2 mhglcos（q1）一次行走步态周期的时间为ts=∫-q1q1 dt/dq dq=2∫q1 dq/q（t），因此结构的平均速度为，vs=ds/ts，当b=2q1约等于ds/l时，此时能量效率为v2D/2，变为之前的四分之一，可以称为较为优化的能效，当一个行进步态的过程中既存在摆动行为产生的力矩输出，又包含蹬地行為产生的力矩输出时，摆动行为中关节力矩消耗的能量为Emoment=mh（v ）2（（cosα/cosβ））2-1）/2，蹬地行为消耗的能量为Epush=mh（v ）2（1-cos2α）/cos2β，所以摆动行为关节力矩能量与蹬地行为消耗的能量的比值p与角度β之间的关系为p=Emoment/Epush=（cos2α-cos2β）/cos2α，所以行走步态中的能量由蹬地行为的冲量和摆动行为的关节力矩来提供[11]。 結构的能量输出则在碰撞行为中完成。例如，当输入能量wp =输出能量w-，a=b=q1，蹬地行为冲量小于碰撞时能量损失时 ，只有摆动行为的关节力矩提供更多能量ws =w—wp ， 才能保证行走步态的平衡。
3 结论
本文提出了一种可确定关节位姿角度变量的计算方法，该方法能使四足机器人在仅确定髋关节位置的情况下得到满意的步态；并针对四足机器人腿部运动的能量进行研究，从能量消耗最少的角度得到了一种优化方案。
参考文献：
[1] Park S，Lee Y.J. Discontinuous zigzag gait planning of a quadruped walking robot with a waist-joint [J].Advanced Robotics，2007，21（1）：143-1642.
[2] R.S.Mosher. Test and evaluation of a versatile walking Truck， Proceedings of off-road Mobility Research Symposium International for Society Terrain Vehicle Systems， Washington DC. 1968： 359-379.
[3] 苏军.多足步行机器人步态规划与控制的研究[D]. 武汉：华中科技大学，2006.
[4] 张兆君，孙杏初.四足步行机的一种新全方位动态[J].北京航空航天大学学报，1993，2（2）：101-107.
[5] 高杉.四足机器人静态全方位步行的稳定性研究及实验仿真[D]. 青岛：中国海洋大学，2008.
[6] 高杉，张磊. 四足机器人静态全方位步行稳定性研究[J].微机算机信息，2008，24（2）：209-211.
[7] Heer H， Popovic M. Angular momentum in human walking[J].Journal of Experimental Biology，2008，211（4）：467-481.
[8] 柳宁，李俊峰，王天舒.双足模型步行中的倍周期步态和混沌步态现象[J].物理学报，2009，58（6）：3772-3779.
[9] 朱因远，周纪卿.非线性振动和运动稳定性[M].陕西：西安交通大学出版社，1992.
[10] Murry W.Sequential quadratic programming methods for large-scsle problems，1997，7（1）：127-142.
[11] Aoi S，Tsuchiya K.Adaptive behavior in turning of an oscillator-driven biped robot.Autonomous Robots，2007（23）：37-57.
关键词：四足机器人；关节；高效；步态
中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2017）25-0172-03
足式机器人较为普遍的是双足、四足和六足机器人，同时考虑稳定性及行进速度的情况下，四足是较为具备优势的一种结构。目前，从运动学角度（腿部结构）划分，多数足式机器人均对应以下几何结构中的一种：关节型（RRR），球坐标型（RRP），SCARA型（RRP），圆柱型（RPP）或者笛卡尔型（PPP），上述五种腿部结构均属于串联连杆结构。而步态可以理解为，在运动过程中行进物体的肢体执行端在时间上与空间上的一种协调关系，即每条腿按照一定的顺序和轨迹的运动过程。
国内外已经有许多学者对足式机器人的步态规划进行了研究。例如，韩国庆北大学研制出的新型ELIRO-II[1]提出了非连续之字形步态规划方法[2]；华中科技大学研制出了能够在地面、墙壁、天花板应用三种不同步态行走的仿壁虎机器人[3]，但研究大多集中在增强稳定性和减少控制复杂度上，很少涉及基于运动学对关节角度的研究和对机器人腿部做功的研究。
针对上述问题，本文提出基于对角小跑的关节节点角度的步态规划方式，给出关节节点角度的计算公式，并从能量的角度对步态进行优化。
1 四足机器人的步态规划
1.1 运动学模型
为得到四足机器人运动的关节角度信息，必须得到机器人的运动方程。如图1，建立一个世界（固定）坐标系，将坐标系原点建立在机械腿基座处（机器人的髋关节中心处），机械腿执行端坐标可以由关节处的连杆间的夹角与连杆的长度来表达。在各关节处均建立坐标系，本文采用旋转矩阵来进行坐标变换，这个过程可以称为DH约定[4]，再以齐次变换简化坐标系之间的关系。
1.2 关节节点角度的确定
足式机器人在行走时最主要的工作就是如何确定关节节点角度。从运动学角度来确定各关节的角度变量是机器人的逆运动学问题，即已知机器人的髋关节坐标，求解各关节角度变量θ1、θ2、θ3。如图3。
2 平地高效行走步态的分析
有关平地高效行走步态的分析，我们采用最简单的模型进行求解分析，在机器人行走的过程中，关节力矩和腿部执行端蹬地时增加系统的机械能，腿部执行端落地时则会减少系统的机械能，因为机器人步态是一个稳定的周期性运动步态，所以每个初始状态都可以当作一个不动点，因此各步态的初始状态相同，在一个行进周期中，系统增加和减少的机械能相等，即Et=Emoment Epush=Eimpact
如图4、5、6，是最简单的模型行走过程中其髋关节的速度变化状态，以两个腿部执行端同在地面时作为开始状态，此时的髋关节初始状态（速度）为v ，腿部向前摆动，当执行端与地面接触的时候，蹬地行为[7]和碰撞行为[8]在瞬间依次发生，蹬地行为进行前时髋关节速度为vp-，但是由于作用冲量，蹬地行为发生后髋关节的瞬时速度变成vp ，其中蹬地行为后的髋关节速度的方向夹角为a，碰撞行为前的髋关节瞬时速度为v-=vp ，碰撞行为后的髋关节瞬时速度变成v ，此时的髋关节瞬时速度又将作为下一个步态的初始态，碰撞行为发生前后的髋关节速度的方向夹角为β，角度关系为α β=2q1，如图7。
各时刻的髋关节速度之间的关系为v =v-/cosα v-=vp v =v-cosβ一次步态内系统能量增量表达式Emoment=mh（（vp-）2-（v ）2）/2
蹬地行为过程系统能量变化Epush=mh（（vp ）2-（vp-）2）/2
碰撞行为过程能量变化Eimpact=mh（（v-）2-（v ）2）/2=mh（v tanβ）2
如图8所示，碰撞行为能量的消耗情况，w-为系统减少的能量，与碰撞发生后的速度差平方呈线性关系[9]，并且α≤β，q1≤β≤2q1，当行走步态只有蹬地行为而没有摆动行为时，β=q1，当行走步态只有摆动行为而没有蹬地行为时，β=2q1。并且当β=q1约等于ds/2时，这时系统能量效率最小，当q1较小的时后，tanβ约等于β，能量效率为（v ）2D/8，v 和D分别是髋关节的初始速度和机器人行走步长，因为关节的初始速度近似为平均速度v，所以此时能量能量效率近似为v2D/8，此时vp-=v ，结构在摆动行为阶段的能量Emoment=0，结构系统的能量由蹬地行为提供，所以结构的高效步态过程为：结构从初始状态起始，在摆动行为阶段没有关节力矩的能量输出，在碰撞行为之前，蹬地行为提供运动所需的能量，并且碰撞行为消耗等量的能量使得碰撞结束后髋关节的速度与其初始状态下的速度相同，进而完成一个周期行走，碰撞行为中的能量关系为Eimpact=Epush。
当机器人运动步长较小时，摆动行为结束时的vp-近似等于平均速度vs，但是随着机器人步长的增大，vp-与vs的值相差越来越大，因此引入参量q（t）作为摆动行为中支撑相角度关于时间的函数[10]，得到mhq（t）2l2/2 mhglcos（q（t））=mh（vp-）2 mhglcos（q1）一次行走步态周期的时间为ts=∫-q1q1 dt/dq dq=2∫q1 dq/q（t），因此结构的平均速度为，vs=ds/ts，当b=2q1约等于ds/l时，此时能量效率为v2D/2，变为之前的四分之一，可以称为较为优化的能效，当一个行进步态的过程中既存在摆动行为产生的力矩输出，又包含蹬地行為产生的力矩输出时，摆动行为中关节力矩消耗的能量为Emoment=mh（v ）2（（cosα/cosβ））2-1）/2，蹬地行为消耗的能量为Epush=mh（v ）2（1-cos2α）/cos2β，所以摆动行为关节力矩能量与蹬地行为消耗的能量的比值p与角度β之间的关系为p=Emoment/Epush=（cos2α-cos2β）/cos2α，所以行走步态中的能量由蹬地行为的冲量和摆动行为的关节力矩来提供[11]。 結构的能量输出则在碰撞行为中完成。例如，当输入能量wp =输出能量w-，a=b=q1，蹬地行为冲量小于碰撞时能量损失时 ，只有摆动行为的关节力矩提供更多能量ws =w—wp ， 才能保证行走步态的平衡。
3 结论
本文提出了一种可确定关节位姿角度变量的计算方法，该方法能使四足机器人在仅确定髋关节位置的情况下得到满意的步态；并针对四足机器人腿部运动的能量进行研究，从能量消耗最少的角度得到了一种优化方案。
参考文献：
[1] Park S，Lee Y.J. Discontinuous zigzag gait planning of a quadruped walking robot with a waist-joint [J].Advanced Robotics，2007，21（1）：143-1642.
[2] R.S.Mosher. Test and evaluation of a versatile walking Truck， Proceedings of off-road Mobility Research Symposium International for Society Terrain Vehicle Systems， Washington DC. 1968： 359-379.
[3] 苏军.多足步行机器人步态规划与控制的研究[D]. 武汉：华中科技大学，2006.
[4] 张兆君，孙杏初.四足步行机的一种新全方位动态[J].北京航空航天大学学报，1993，2（2）：101-107.
[5] 高杉.四足机器人静态全方位步行的稳定性研究及实验仿真[D]. 青岛：中国海洋大学，2008.
[6] 高杉，张磊. 四足机器人静态全方位步行稳定性研究[J].微机算机信息，2008，24（2）：209-211.
[7] Heer H， Popovic M. Angular momentum in human walking[J].Journal of Experimental Biology，2008，211（4）：467-481.
[8] 柳宁，李俊峰，王天舒.双足模型步行中的倍周期步态和混沌步态现象[J].物理学报，2009，58（6）：3772-3779.
[9] 朱因远，周纪卿.非线性振动和运动稳定性[M].陕西：西安交通大学出版社，1992.
[10] Murry W.Sequential quadratic programming methods for large-scsle problems，1997，7（1）：127-142.
[11] Aoi S，Tsuchiya K.Adaptive behavior in turning of an oscillator-driven biped robot.Autonomous Robots，2007（23）：37-57.