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【摘要】求Pell方程基本整数解的方法,以往有两种(试验法和简单连分数法);2003年笔者发现了一种更简便的求解方法——分数解法。本文通过实例,对三种方法进行比较,说明用分数解法求基本整数解更简便。
【关键词】Pell方程 基本整数解 简单连分 分数解
【中图分类号】TJ012 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)09(a)-0216-02
1 引言
形如(D＞0,D不是平方数)的二元二次不定方程叫Pell方程.对于佩尔方程求解的问题,一般说已经解决了。华罗庚《数论导引》(科学出版社,1957)和柯召、孙琦合著《谈谈不定方程》(上海教育出版社,1980)两书有系统完整的论述。关于Pell方程有下述定理:
定理设D是一个正整数且不是一个完全平方数,则方程
(1)
有无穷多组整数解x,y。
设＞0,yo＞0,是所有x＞0,y＞0的解中使最小的那组解(称(xo,yo)为(1)的基本整数解),则(1)的全部整数解x,y,由
(2)
表出,其中n是任意整数。
本定理在柯召、孙琦著《谈谈不定方程》(上海教育出版社,1980)中有严格的证明。
由定理可知,求方程(1)的全部整数解,归结为求(1)的基本整数解。寻找(1)的基本整数解,可以用试验的方法,令y=1,2,3,4…,直到1+Dy2是一个完全平方数,即可求出基本解。然而,这种方法有时计算十分冗长。例如,Pell方程的基本整数解是xo=66249,yo=9100;而的基本整数解是xo=1766319049,yo=226153980。遇到这样的D值,用试验法求解,计算就十分冗长。求基本整数解的一般方法是,把展开为简单连分数,求其基本整数解。还有一种更简便的方法,就是笔者在2003年提出的《用佩尔方程的分数解求其整数解》的一种方法,这里姑且称为分数解法。此文发表在《河套大学学报》创刊号上(2004.11)。笔者用此方法求出了0＜D＜500的所有Pell方程的基本整数解。
2 三种方法求解比较
本文所说的三种方法是:试验法、把展开成简单连分数法和用Pell方程的分数解求基本整数解。
用试验方法求基本解没有什么技巧,只要坚持不懈地令y=1,2,3,4…,依次计算1+Dy2,直到1+Dy2的值是一个平方数为止,即可求出基本整数解。这种方法简单,但计算冗长。例如:对D=29的佩尔方程,当y=1820时,1+29y2才是一个完全平方数;对D=61时,当y=22615398时,1+61y2才是一个完全平方数。试验法虽然计算冗长,但可以利用计算机完成。本文通过2个实例,对简单连分数法与分数法进行比较。说明在三种方法中,用Pell方程的分数解求基本整数解显得更简捷,运算简便,计算量小。而试验法和把展开成简单连分数法求基本整数解,一般来说计算量都很大。
2.1 把展开成简单连分数求Pell方程的基本整数解的方法
将展开成简单连分数,设它的第k近似分数为,记它的循环节的项数是m,那么
当m为偶数时,它的解是
(2)
当m为奇数时,它的解是
(3)
(证明从略)
2.2 用分数解求基本整数解的方法请看《河套大学学报》创刊(2004.11)《用佩尔方程的分数解求其整数解》一文
例1 求Pell方程的基本整数解
解:方法一,把展开成简单连分数
=3+
=
=[] (4)
一般来说,把展开成简单连分数计算量是相当大的,上式是只给出了计算结果,没有计算过程。展开成简单连分数的循环节m=5,是奇数,根据(3)式(n=1的情形)方程的基本整数解为
原方程的基本解满足
例2 求Pell方程x2-94y2=1的基本整数解
解:方法一,把展开成简单连分数
把展开成简单连分数计算过程长,计算量大,用(4)式的形式写颇占篇幅。所以,下面只给出结果,并用符号表出。
=
展开成简单连分数的循环节m=16,是偶数,根据(2)式(n=1的情形)方程的基本解为
=(计算过程从略)
所以x0=2143295,y0=221064。
方法二,分数解法。原方程可变为
则,原方程的基本解满足
所以x0=2143295,y0=221064,
综上所述,试验法和简单连分数法,计算十分冗长,计算量大且繁;而Pell方程的分数解易求,所以利用分数解求其基本整数解更简便易行。
参考文献
[1] 许嘉璐主编:中国数学百科全书(数学卷)[M].沈阳出版社,1991.
[2] 华罗庚.数论导引[M].科学出版社,1957.
[3] 柯召,孙琦.谈谈不定方程[M].上海教育出版社.1980.
[4] 世部贞市郎(日本).代数学辞典(蒋声等译)[M].上海教育出版社,1982.
[5] 杜明铸.河套大学学报(创刊号)[J].2004.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】Pell方程 基本整数解 简单连分 分数解
【中图分类号】TJ012 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)09(a)-0216-02
1 引言
形如(D＞0,D不是平方数)的二元二次不定方程叫Pell方程.对于佩尔方程求解的问题,一般说已经解决了。华罗庚《数论导引》(科学出版社,1957)和柯召、孙琦合著《谈谈不定方程》(上海教育出版社,1980)两书有系统完整的论述。关于Pell方程有下述定理:
定理设D是一个正整数且不是一个完全平方数,则方程
(1)
有无穷多组整数解x,y。
设＞0,yo＞0,是所有x＞0,y＞0的解中使最小的那组解(称(xo,yo)为(1)的基本整数解),则(1)的全部整数解x,y,由
(2)
表出,其中n是任意整数。
本定理在柯召、孙琦著《谈谈不定方程》(上海教育出版社,1980)中有严格的证明。
由定理可知,求方程(1)的全部整数解,归结为求(1)的基本整数解。寻找(1)的基本整数解,可以用试验的方法,令y=1,2,3,4…,直到1+Dy2是一个完全平方数,即可求出基本解。然而,这种方法有时计算十分冗长。例如,Pell方程的基本整数解是xo=66249,yo=9100;而的基本整数解是xo=1766319049,yo=226153980。遇到这样的D值,用试验法求解,计算就十分冗长。求基本整数解的一般方法是,把展开为简单连分数,求其基本整数解。还有一种更简便的方法,就是笔者在2003年提出的《用佩尔方程的分数解求其整数解》的一种方法,这里姑且称为分数解法。此文发表在《河套大学学报》创刊号上(2004.11)。笔者用此方法求出了0＜D＜500的所有Pell方程的基本整数解。
2 三种方法求解比较
本文所说的三种方法是:试验法、把展开成简单连分数法和用Pell方程的分数解求基本整数解。
用试验方法求基本解没有什么技巧,只要坚持不懈地令y=1,2,3,4…,依次计算1+Dy2,直到1+Dy2的值是一个平方数为止,即可求出基本整数解。这种方法简单,但计算冗长。例如:对D=29的佩尔方程,当y=1820时,1+29y2才是一个完全平方数;对D=61时,当y=22615398时,1+61y2才是一个完全平方数。试验法虽然计算冗长,但可以利用计算机完成。本文通过2个实例,对简单连分数法与分数法进行比较。说明在三种方法中,用Pell方程的分数解求基本整数解显得更简捷,运算简便,计算量小。而试验法和把展开成简单连分数法求基本整数解,一般来说计算量都很大。
2.1 把展开成简单连分数求Pell方程的基本整数解的方法
将展开成简单连分数,设它的第k近似分数为,记它的循环节的项数是m,那么
当m为偶数时,它的解是
(2)
当m为奇数时,它的解是
(3)
(证明从略)
2.2 用分数解求基本整数解的方法请看《河套大学学报》创刊(2004.11)《用佩尔方程的分数解求其整数解》一文
例1 求Pell方程的基本整数解
解:方法一,把展开成简单连分数
=3+
=
=[] (4)
一般来说,把展开成简单连分数计算量是相当大的,上式是只给出了计算结果,没有计算过程。展开成简单连分数的循环节m=5,是奇数,根据(3)式(n=1的情形)方程的基本整数解为
原方程的基本解满足
例2 求Pell方程x2-94y2=1的基本整数解
解:方法一,把展开成简单连分数
把展开成简单连分数计算过程长,计算量大,用(4)式的形式写颇占篇幅。所以,下面只给出结果,并用符号表出。
=
展开成简单连分数的循环节m=16,是偶数,根据(2)式(n=1的情形)方程的基本解为
=(计算过程从略)
所以x0=2143295,y0=221064。
方法二,分数解法。原方程可变为
则,原方程的基本解满足
所以x0=2143295,y0=221064,
综上所述,试验法和简单连分数法,计算十分冗长,计算量大且繁;而Pell方程的分数解易求,所以利用分数解求其基本整数解更简便易行。
参考文献
[1] 许嘉璐主编:中国数学百科全书(数学卷)[M].沈阳出版社,1991.
[2] 华罗庚.数论导引[M].科学出版社,1957.
[3] 柯召,孙琦.谈谈不定方程[M].上海教育出版社.1980.
[4] 世部贞市郎(日本).代数学辞典(蒋声等译)[M].上海教育出版社,1982.
[5] 杜明铸.河套大学学报(创刊号)[J].2004.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”