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北师大版八年级下册《多边形的内角和与外角和》一课是学生在学习了三角形相关概念，三角形内角和定理等相关知识的基础上学习的，这节课的学习目标有（1）经历探索多边形内角和与外角和公式的过程，进一步发展合情推理能力；（2）掌握多边形的内角和与外角和公式，进一步发展演绎推理能力；（3）通过观察、分析，把多边形问题转化成三角形问题，体会转化思想在几何知识中的应用。其中第一课时的学习重点是：多边形内角和公式的探索和应用。难点是：探索多边形内角和公式时，如何把多边形问题转化成三角形问题。执教《多边形的内角和与外角和》第一课时时，整个课堂学生动手实践、自主探索、合作交流，探索讨论出求多边形内角和公式的好多不同的方法。课堂上学生思维的灵活性，方法的多样性，令我赞叹不已！下面具体谈谈：
课堂上，利用多媒体演示广场俯视图引入了本节课的教学，抛出问题：1、三角形的内角和是多少度？你是怎么得出的？2、四边形的内角和是多少？你又是怎样得出的？3、广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？带着这些问题进入了新课的学习。问题抛出后，我没有急于给学生引导和帮助，而是给足了学生充分的讨论时间和空间，小组讨论的过程非常热烈，每个孩子都积极参与，通过思维的碰撞，热烈的讨论，学生得出的方法令我赞叹，令我惊讶！学生通过小组讨论得出了多种求五边形内角和的方法，真的为学生开放的思维与精彩的讲解点赞！我又提出了又一个新的问题：你能类比探索五边形内角和的方法求出六边形内角和嗎？n边形（n是大于或等于3的自然数）的内角和呢？通过刚才探索五边形内角和的方法学生很快用不同的方法得到了六边形的内角和是720°，而且类比求五边形、六边形内角和的方法，学生进一步得出了n边形的内角和公式（n-2）·180°。
方法一：如图7，从n边形的一个顶点A出发可引（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，因此n边形的内角和为（n-2）·180°；（图7略）（图8略）。方法二：如图8，在n边形内部任取一点P，连接点P与n边形的各个顶点，将n边形分成了n个三角形，去掉以P为公共顶点的n个角∠APB、∠BPC、∠CPD、∠DPE、∠EPF、∠FPA的和360°，因此n边形的内角和为180°n-360°=（n-2）·180°；方法三：如图9，在n边形的一边上任取一点P（点P不与n边形的顶点重合），连接点P和n边形各个顶点的线段将n边形分成（n-1）个三角形△BPC、△APB、△APF、△FPE、△EPD，这（n-1）个三角形的内角和为（n-1）·180°，去掉以P为公共顶点的（n-1）个角∠BPC、∠APB、∠APF、∠FPE、∠EPD的和180°，因此n边形的内角和为（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°；（图9略）（图10略） 方法四：如图10，在n边形外部任取一点P（点P不在n边形任一边的延长线上），连接点P和n边形的各个顶点，得到（n-1）个三角形△PBC、△PCD、△PDE、△PEF、△PFA（不含△PAB），这（n-1）个三角形的内角和为（n-1）·180°，去掉以P为公共顶点的（n-1）个角（∠BPC、∠CPD、∠DPE、∠EPF、∠FPA）的和∠BPA与∠PAB、∠PBA的和180°，因此n边形的内角和为（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°。 方法五：此时有同学对方法四提出了不同的想法：老师，我觉得方法四n边形外部一点P的选取还可以有不同的方法，不一定非的取在刚才的那个位置，如图11，也可以取在两边的延长线的交点上，如可以延长n边形AB、DC两边相交于点P，连接点P和n边形的其它顶点，得到（n-3）个三角形△APF、△FPE、△EPD（不含△BPC），这（n-3）个三角形的内角和为（n-3）·180°，去掉以P为公共顶点的（n-3）个角（∠APF、∠FPE、∠EPD）的和∠BPC，再加上n边形的内角∠ABC与∠ACD。此时教室里响起了老师和同学们情不自禁的掌声……下课铃声也已经响起，但是同学们兴趣盎然，要求继续接着探索，趁势我鼓励学生在课堂下可以继续探索不同的方法。并由同学们总结大家不同的探索方法中的相同点：我们在探索研究多边形的内角和公式时，首先从具体的、特殊的四边形、五边形内角和入手，探索得出n边形的内角和公式。在研究问题的过程中，我们通过做辅助线将多边形的问题转化为三角形的问题来解决，即把复杂问题转化为简单问题，体现了我们数学中的转化思想、归纳思想，这种研究和探索问题的思想方法都是我们在学习数学过程中经常要用到的，这种对我们今后学习数学是极为重要的。（单位：山西省晋中市榆次区第五中学）
课堂上，利用多媒体演示广场俯视图引入了本节课的教学，抛出问题：1、三角形的内角和是多少度？你是怎么得出的？2、四边形的内角和是多少？你又是怎样得出的？3、广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？带着这些问题进入了新课的学习。问题抛出后，我没有急于给学生引导和帮助，而是给足了学生充分的讨论时间和空间，小组讨论的过程非常热烈，每个孩子都积极参与，通过思维的碰撞，热烈的讨论，学生得出的方法令我赞叹，令我惊讶！学生通过小组讨论得出了多种求五边形内角和的方法，真的为学生开放的思维与精彩的讲解点赞！我又提出了又一个新的问题：你能类比探索五边形内角和的方法求出六边形内角和嗎？n边形（n是大于或等于3的自然数）的内角和呢？通过刚才探索五边形内角和的方法学生很快用不同的方法得到了六边形的内角和是720°，而且类比求五边形、六边形内角和的方法，学生进一步得出了n边形的内角和公式（n-2）·180°。
方法一：如图7，从n边形的一个顶点A出发可引（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，因此n边形的内角和为（n-2）·180°；（图7略）（图8略）。方法二：如图8，在n边形内部任取一点P，连接点P与n边形的各个顶点，将n边形分成了n个三角形，去掉以P为公共顶点的n个角∠APB、∠BPC、∠CPD、∠DPE、∠EPF、∠FPA的和360°，因此n边形的内角和为180°n-360°=（n-2）·180°；方法三：如图9，在n边形的一边上任取一点P（点P不与n边形的顶点重合），连接点P和n边形各个顶点的线段将n边形分成（n-1）个三角形△BPC、△APB、△APF、△FPE、△EPD，这（n-1）个三角形的内角和为（n-1）·180°，去掉以P为公共顶点的（n-1）个角∠BPC、∠APB、∠APF、∠FPE、∠EPD的和180°，因此n边形的内角和为（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°；（图9略）（图10略） 方法四：如图10，在n边形外部任取一点P（点P不在n边形任一边的延长线上），连接点P和n边形的各个顶点，得到（n-1）个三角形△PBC、△PCD、△PDE、△PEF、△PFA（不含△PAB），这（n-1）个三角形的内角和为（n-1）·180°，去掉以P为公共顶点的（n-1）个角（∠BPC、∠CPD、∠DPE、∠EPF、∠FPA）的和∠BPA与∠PAB、∠PBA的和180°，因此n边形的内角和为（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°。 方法五：此时有同学对方法四提出了不同的想法：老师，我觉得方法四n边形外部一点P的选取还可以有不同的方法，不一定非的取在刚才的那个位置，如图11，也可以取在两边的延长线的交点上，如可以延长n边形AB、DC两边相交于点P，连接点P和n边形的其它顶点，得到（n-3）个三角形△APF、△FPE、△EPD（不含△BPC），这（n-3）个三角形的内角和为（n-3）·180°，去掉以P为公共顶点的（n-3）个角（∠APF、∠FPE、∠EPD）的和∠BPC，再加上n边形的内角∠ABC与∠ACD。此时教室里响起了老师和同学们情不自禁的掌声……下课铃声也已经响起，但是同学们兴趣盎然，要求继续接着探索，趁势我鼓励学生在课堂下可以继续探索不同的方法。并由同学们总结大家不同的探索方法中的相同点：我们在探索研究多边形的内角和公式时，首先从具体的、特殊的四边形、五边形内角和入手，探索得出n边形的内角和公式。在研究问题的过程中，我们通过做辅助线将多边形的问题转化为三角形的问题来解决，即把复杂问题转化为简单问题，体现了我们数学中的转化思想、归纳思想，这种研究和探索问题的思想方法都是我们在学习数学过程中经常要用到的，这种对我们今后学习数学是极为重要的。（单位：山西省晋中市榆次区第五中学）