论文部分内容阅读
摘要本文简要讨论Gronwall不等式的研究进展，并给出关于如下的一类非线性Volterra积分不等式的一个结果：
w（u（t））≤g（t）+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（t，s）∏mj=1Hij（u（s））Gij（maxs-h≤ξ≤su（ξ））ds.
关键词非线性积分不等式；Gronwall不等式；Gronwall类不等式；Volterra积分微分不等式；Lyapunov第二方法
中图分类号O178
文献标志码A
1美国德克萨斯农工大学康莫斯分校数学系，康莫斯，德州，75428
0关于Gronwall不等式
1919年，在研究一个带参变量的微分方程系统时，Gronwall[1]给出如下的著名引理：
定理1（Gronwall原始不等式）对x0≤x≤x0+h，连续函数z=z（x）满足不等式：
0≤z≤∫xx0[Mz+A]dx，
其中常数M和A非负，那么
0≤z≤AheMh，x0≤x≤x0+h.
在以后的24年里，Gronwall原始不等式都没引起关注.1943年，Bellman[2]推广了Gronwall原始不等式使得M可以是函数，并且不等式也被陈述得更为简单、明了.这个结果被称之为GronwallBellman不等式，在许多文献中均可查到，如文献[26].
定理2（GronwallBellman不等式）已知u（t）和f（t）是定义在[a，b]区间上的非负连续函数，c是非负常数，如果
u（t）≤c+∫taf（s）u（s）ds，a≤t≤b，
那么
u（t）≤ce∫taf（s）ds，a≤t≤b.
1958年，Bellman[7]进一步改进了上述定理，使得c可以是一个非负非增连续函数.
定理3（Bellman不等式）如果y（t）是正的，且单调增，x（t），z（t）≥0，那么
x（t）≤y（t）+∫tαx（s）z（s）ds，
蕴含着
x（t）≤y（t）e∫tαz（s）ds，α≤t≤β.
今天看，以上的3个定理都较为粗糙，因为定理的陈述不够完整、条件还可以改进.作为对前面3个定理的统一推广，1966年，Halanay在专著[8]中，给出了下面的定理4.这个定理被广泛引用，如文献[9].其条件比以上3个定理都要弱一些.这里，我们使用HaleLunel[1993，p15]的陈述.
定理4如果u和α是定义在[a，b]区间上的实值连续函数，
学报（自然科學版），2017，9（4）：391394 Journal of Nanjing University of Information Science and Technology（Natural Science Edition），2017，9（4）：391394
王廷秀.一类非线性Volterra积分不等式.
WANG Tingxiu.
A nonlinear Volterratype integral inequality.
β≥0在[a，b]区间上可积，且满足
u（t）≤α（t）+∫taβ（s）u（s）ds，a≤t≤b，
那么
u（t）≤α（t）+∫taβ（s）α（s）e∫tsβ（u）duds，a≤t≤b.
此外，如果α非减，那么
u（t）≤α（t）e∫taβ（s）ds，a≤t≤b.
不像前面3个定理，定理4只要求β非负.当然，如果u是非负的，α也相应必须非负.Gronwall不等式在微分方程有界性、稳定性、存在性及其他定性性质的研究中有了大量、广泛的应用，对Gronwall不等式的应用、推广、研究爆发性增长，并产生了许多新的研究方向.1998年出版的Pachpatte等的专著[6]，收集、总结了在此之前对Gronwall不等式的研究、推广、应用.在众多推广中，本文讨论下面的推广.2000年，Lipovan[10]研究了
u（t）≤k+∫α（t）α（t0）f（s）w（u（s））ds.
2012年，Bohner等[11] 研究了下面的不等式：
ψ（u（t））≤k+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（s）up（s）ωi（u（s））ds+∑mj=1∫βj（t）βj（t0）gj（s）up（s）j（maxξ∈[s-h，s] u（ξ））ds. （1）
2015年，Wang[12]推广了不等式（1），用更一般的复合函数Hij（u（s））取代up（s），用
fi（s）up（s）ωi（u（s））j（maxξ∈[s-h，s] u（ξ））
合并了两个级数，研究了下面的不等式：
w（u（t））≤K+
∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（s）∏mj=1Hij（u（s））Gij（maxs-h≤ξ≤su（ξ））ds. （2）
本文对不等式（2）进一步加以推广，使得K可以是函数，fi（s）可以是fi（t，s）.从而，我们研究Volterra不等式：
w（u（t））≤g（t）+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（t，s）∏mj=1Hij（u（s））Gij（maxs-h≤ξ≤su（ξ））ds. （3）
1一类非线性Volterra积分不等式
我们研究不等式（3），并得到一个结果.由于不等式（3）涉及7类函数，为此，我们需要如下6个条件和记号：已知h>0，t0，T为常数，0≤t0 （A2） αi∈C1（[t0，T），R+）非减，并且αi（t）≤t，t∈[t0，T），i=1，2，…，n；
（A3） fi（t，s）∈C（[t0，T）×[t0，T），R）对t为连续非减函数，i=1，2，…，n；
（A4） Hij，Gij∈C（R+，R+）非减，且当x>0，Hij（x）>0，Gij（x）>0；
（A5） w∈C（R+，R+）为严格递增函数，w（0）=0，limt→∞w（t）=∞；
（A6） u∈C（[-h，T），R+）.
定理5如果u（t）满足不等式（3）以及以上6个条件，从（A1）—（A6）.那么不等式（3）的解是：
u（t）≤w-1W-1W（g（t））+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（t，s）ds，t∈[t0，T）.
其中
W（r）=∫rr01Hm（w-1（s））Gm（w-1（s））ds，0≤r<∞，
r0是一个合适的非负常数，使得W（r）有定义.
H（r）=max1≤i≤n，1≤j≤m{Hij（r）}，
G（r）=max1≤i≤n，1≤j≤m{Gij（r）}.
证明取η为一任意常数满足t0≤t≤η w（u（t））≤g（η）+
∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）∏mj=1Hij（u（s））Gijmaxs-h≤ξ≤su（ξ）ds.
对t0≤t≤η，定义上面的不等式的右边为Z（t），即
Z（t）=g（η）+
∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）∏mj=1Hij（u（s））Gij（maxs-h≤ξ≤su（ξ））ds.
不难看出，Z（t）非减，且0≤w（u（t））≤Z（t），t∈[t0，η].
由（A5），w-1存在且具有和w相同的性质.因此，
u（t）≤w-1（Z（t）），t0≤t≤η.
此外，
maxs-h≤ξ≤su（ξ）≤maxs-h≤ξ≤sw-1（Z（ξ））=w-1（Z（s）），t0≤s≤η.
因此，对t∈[t0，η]，
Z（t）≤g（η）+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）∏mj=1
Hij（w-1（Z（s）））Gij（w-1（Z（s）））ds≤
g（η）+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）∏mj=1
H（w-1（Z（s）））G（w-1（Z（s）））ds≤
g（η）+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）
Hm（w-1（Z（s）））Gm（w-1（Z（s）））ds.
再定義上面的不等式的右边为R（t），即：
R（t）=g（η）+
∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）Hm（w-1（Z（s）））Gm（w-1（Z（s）））ds，t0≤t≤η 显然，R（t0）=g（η），0≤Z（t）≤R（t），t0≤t≤η R′（t）=∑ni=1fi（η，αi（t））Hm（w-1（Z（αi（t））））·
Gm（w-1（Z（αi（t））））αi′（t）≤
∑ni=1fi（η，αi（t））Hm（w-1（Z（t）））·
Gm（w-1（Z（t）））αi′（t）≤
∑ni=1fi（η，αi（t））Hm（w-1（R（t）））·
Gm（w-1（R（t）））αi′（t）≤
Hm（w-1（R（t）））Gm（w-1（R（t）））∑ni=1fi（η，αi（t））αi′（t）.
所以，
R′（t）Hm（w-1（R（t）））Gm（w-1（R（t）））≤∑ni=1fi（η，αi（t））αi′（t）.
即：
d（W（R（t）））dt≤∑ni=1fi（η，αi（t））αi′（t）.
对上式从t0到t积分，t∈[t0，η]，我们得到：
W（R（t））-W（R（t0））≤∫tt0∑ni=1fi（η，αi（s））αi′（s）ds=∫α（t）α（t0）∑ni=1fi（η，s）ds，
W（R（t））≤W（g（η））+∑ni=1∫α（t）α（t0）fi（η，s）ds.
因为W连续且严格增，所以W-1存在、连续、严格增.对上式使用W-1，我们得到：
R（t）≤W-1W（g（η））+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）ds，t∈[t0，η]，
w（u（t））≤Z（t）≤R（t）≤W-1W（g（η））+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）ds，t∈[t0，η]，
u（t）≤w-1W-1W（g（η））+
∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）ds，t∈[t0，η].
在上式，取t=η，可得：
u（η）≤w-1W-1W（g（η））+
∑ni=1∫αi（η）αi（t0）fi（η，s）ds，t∈[t0，η].
由于η是区间t0≤η u（t）≤w-1W-1W（g（t））+
∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（t，s）ds，t∈[t0，T）. 证毕.
2应用
我们的结果可以很容易地应用到微分方程的稳定性理论中.例如，我们考虑滞后型泛函微分方程
dudt=F（t，ut）， （4）
在用Lyapunov第二方法研究微分方程稳定性时，如下条件经常可见：
1） W1（|（0）|）≤V（t，） 2） W1（|（0）|）≤V（t，） 3） W1（|u（t）|X）≤V（t，ut）≤W2（D（t，ut））+∫tt-hL（s）W1（|u（s）|X）ds；
4） V′（4）（t，）≤0；
5） V′（4）（t，）≤-W4（|（0）|）；
6） V′（4）（t，）≤-W4（∫tt-h|（s）|ds）；
7） V（4）（t，ut）≤-η（t）W2（D（t，ut））+P（t）.
關于与这些条件相关的假设，定理可在众多的文献中查到，如文献[45，1220].这些条件加上定理5，可以得到对Lyapunov函数和解的上界，文献[13]有一个很相近的例子.再如，定理5可以很容易地应用到Volterra积分方程：
X（t）=a（t）+∫tt-αg（t，s）X（s）ds，X∈Rn. （5）
关于方程（5），很多论文研究过，如文献[5，2122].
参考文献
References
[1]Gronwall T H.Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations[J].Annals of Mathematics，1919，20（4）：292296
[2]Bellman R.The stability of solutions of linear differential equations[J].Duke Mathenatical Journal，1943，10（4）：643647
[3]Bellman R.Stability theory of differential equations[M].New York：McGrawHill，1953
[4]Burton T A.Stability and periodic solutions of ordinary and functionaldifferential equations[M].Orlando，Florida：Academic Press，1985
[5]Burton T A.Volterra integral and differential equations[M].2nd ed.New York：Elsevier，2005
[6]Pachpatte B G.Inequalities for differential and integral equations[M].London：Academic Press，1998
[7]Bellman R.Asymptotic series for the solutions of linear differentialdifference equations[J].Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Series 2，1958，7（3）：261269
[8]Halanay A.Differential equations：Stability，oscillations，time lags[M].New York and London：Academic Press，1966
[9]Hale J，Lunel S.Theory of functional differential equations[M].New York：SpringerVerlag，1993
[10]Lipovan O.A retarded Gronwalllike inequality and its applications[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2000，252（1）：389401
[11]Bohner M，Hristova S，Stefanova K.Nonlinear integral inequalities involving maxima of the unknown scalar functions[J].Mathematical Inequalities & Applications，2012，15（4）：811825
[12]Wang T X.Generalization of Grownwalls inequality and its applications in functional differential equations[J].Communications in Applied Analysis，2015，19：679688
[13]Wang T X.Stability in abstract functional differential equations.Part I：General theorems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，1994，186（2）：534558 [14]Wang T X.Stability in abstract functional differential equations.Part II：Applications[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，1994，186（3）：835861
[15]Wang T X.Lower and upper bounds of solutions of functional differential equations[J].Dynamics of Continuous，Discrete and Impulsive Systems，Series A：Mathematical Analysis，2013，20（1）：131141
[16]Wang T X.Inequalities of Solutions of Volterra integral and differential equations[J].Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations，2009（28）：538543
[17]Wang T X.Exponential stability and inequalities of abstract functional differential equations[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2006，342（2）：982991
[18]Wang T X.Inequalities and stability in a linear scalar functional differential equation[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2004，298（1）：3344
[19]Wang T X.Wazewskis inequality in a linear Volterra integrodifferential equations[M]//Corduneanu C，Sandberg I W.Volterra equations and applications.Amsterdam：Gordon and Breach Science Publishers，2000：483492
[20]廖曉昕.动力系统的稳定性理论和应用[M].北京：国防工业出版社，2000
LIAO Xiaoxin.Theory and application of stability for dynamic systems[M].Beijing：National Defense Industry Press，2000
[21]Burton T A.Lyapunov functional for integral equations[M].Bloomington，Indiana：Trafford Publishing，2008
[22]Wang T X.Bounded solutions and periodic solutions in integral equations[J].Dynamics of Continuous，Discrete，and Impulsive Systems，2000，7（1）：1931
w（u（t））≤g（t）+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（t，s）∏mj=1Hij（u（s））Gij（maxs-h≤ξ≤su（ξ））ds.
关键词非线性积分不等式；Gronwall不等式；Gronwall类不等式；Volterra积分微分不等式；Lyapunov第二方法
中图分类号O178
文献标志码A
1美国德克萨斯农工大学康莫斯分校数学系，康莫斯，德州，75428
0关于Gronwall不等式
1919年，在研究一个带参变量的微分方程系统时，Gronwall[1]给出如下的著名引理：
定理1（Gronwall原始不等式）对x0≤x≤x0+h，连续函数z=z（x）满足不等式：
0≤z≤∫xx0[Mz+A]dx，
其中常数M和A非负，那么
0≤z≤AheMh，x0≤x≤x0+h.
在以后的24年里，Gronwall原始不等式都没引起关注.1943年，Bellman[2]推广了Gronwall原始不等式使得M可以是函数，并且不等式也被陈述得更为简单、明了.这个结果被称之为GronwallBellman不等式，在许多文献中均可查到，如文献[26].
定理2（GronwallBellman不等式）已知u（t）和f（t）是定义在[a，b]区间上的非负连续函数，c是非负常数，如果
u（t）≤c+∫taf（s）u（s）ds，a≤t≤b，
那么
u（t）≤ce∫taf（s）ds，a≤t≤b.
1958年，Bellman[7]进一步改进了上述定理，使得c可以是一个非负非增连续函数.
定理3（Bellman不等式）如果y（t）是正的，且单调增，x（t），z（t）≥0，那么
x（t）≤y（t）+∫tαx（s）z（s）ds，
蕴含着
x（t）≤y（t）e∫tαz（s）ds，α≤t≤β.
今天看，以上的3个定理都较为粗糙，因为定理的陈述不够完整、条件还可以改进.作为对前面3个定理的统一推广，1966年，Halanay在专著[8]中，给出了下面的定理4.这个定理被广泛引用，如文献[9].其条件比以上3个定理都要弱一些.这里，我们使用HaleLunel[1993，p15]的陈述.
定理4如果u和α是定义在[a，b]区间上的实值连续函数，
学报（自然科學版），2017，9（4）：391394 Journal of Nanjing University of Information Science and Technology（Natural Science Edition），2017，9（4）：391394
王廷秀.一类非线性Volterra积分不等式.
WANG Tingxiu.
A nonlinear Volterratype integral inequality.
β≥0在[a，b]区间上可积，且满足
u（t）≤α（t）+∫taβ（s）u（s）ds，a≤t≤b，
那么
u（t）≤α（t）+∫taβ（s）α（s）e∫tsβ（u）duds，a≤t≤b.
此外，如果α非减，那么
u（t）≤α（t）e∫taβ（s）ds，a≤t≤b.
不像前面3个定理，定理4只要求β非负.当然，如果u是非负的，α也相应必须非负.Gronwall不等式在微分方程有界性、稳定性、存在性及其他定性性质的研究中有了大量、广泛的应用，对Gronwall不等式的应用、推广、研究爆发性增长，并产生了许多新的研究方向.1998年出版的Pachpatte等的专著[6]，收集、总结了在此之前对Gronwall不等式的研究、推广、应用.在众多推广中，本文讨论下面的推广.2000年，Lipovan[10]研究了
u（t）≤k+∫α（t）α（t0）f（s）w（u（s））ds.
2012年，Bohner等[11] 研究了下面的不等式：
ψ（u（t））≤k+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（s）up（s）ωi（u（s））ds+∑mj=1∫βj（t）βj（t0）gj（s）up（s）j（maxξ∈[s-h，s] u（ξ））ds. （1）
2015年，Wang[12]推广了不等式（1），用更一般的复合函数Hij（u（s））取代up（s），用
fi（s）up（s）ωi（u（s））j（maxξ∈[s-h，s] u（ξ））
合并了两个级数，研究了下面的不等式：
w（u（t））≤K+
∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（s）∏mj=1Hij（u（s））Gij（maxs-h≤ξ≤su（ξ））ds. （2）
本文对不等式（2）进一步加以推广，使得K可以是函数，fi（s）可以是fi（t，s）.从而，我们研究Volterra不等式：
w（u（t））≤g（t）+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（t，s）∏mj=1Hij（u（s））Gij（maxs-h≤ξ≤su（ξ））ds. （3）
1一类非线性Volterra积分不等式
我们研究不等式（3），并得到一个结果.由于不等式（3）涉及7类函数，为此，我们需要如下6个条件和记号：已知h>0，t0，T为常数，0≤t0
（A3） fi（t，s）∈C（[t0，T）×[t0，T），R）对t为连续非减函数，i=1，2，…，n；
（A4） Hij，Gij∈C（R+，R+）非减，且当x>0，Hij（x）>0，Gij（x）>0；
（A5） w∈C（R+，R+）为严格递增函数，w（0）=0，limt→∞w（t）=∞；
（A6） u∈C（[-h，T），R+）.
定理5如果u（t）满足不等式（3）以及以上6个条件，从（A1）—（A6）.那么不等式（3）的解是：
u（t）≤w-1W-1W（g（t））+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（t，s）ds，t∈[t0，T）.
其中
W（r）=∫rr01Hm（w-1（s））Gm（w-1（s））ds，0≤r<∞，
r0是一个合适的非负常数，使得W（r）有定义.
H（r）=max1≤i≤n，1≤j≤m{Hij（r）}，
G（r）=max1≤i≤n，1≤j≤m{Gij（r）}.
证明取η为一任意常数满足t0≤t≤η
∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）∏mj=1Hij（u（s））Gijmaxs-h≤ξ≤su（ξ）ds.
对t0≤t≤η，定义上面的不等式的右边为Z（t），即
Z（t）=g（η）+
∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）∏mj=1Hij（u（s））Gij（maxs-h≤ξ≤su（ξ））ds.
不难看出，Z（t）非减，且0≤w（u（t））≤Z（t），t∈[t0，η].
由（A5），w-1存在且具有和w相同的性质.因此，
u（t）≤w-1（Z（t）），t0≤t≤η.
此外，
maxs-h≤ξ≤su（ξ）≤maxs-h≤ξ≤sw-1（Z（ξ））=w-1（Z（s）），t0≤s≤η.
因此，对t∈[t0，η]，
Z（t）≤g（η）+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）∏mj=1
Hij（w-1（Z（s）））Gij（w-1（Z（s）））ds≤
g（η）+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）∏mj=1
H（w-1（Z（s）））G（w-1（Z（s）））ds≤
g（η）+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）
Hm（w-1（Z（s）））Gm（w-1（Z（s）））ds.
再定義上面的不等式的右边为R（t），即：
R（t）=g（η）+
∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）Hm（w-1（Z（s）））Gm（w-1（Z（s）））ds，t0≤t≤η
Gm（w-1（Z（αi（t））））αi′（t）≤
∑ni=1fi（η，αi（t））Hm（w-1（Z（t）））·
Gm（w-1（Z（t）））αi′（t）≤
∑ni=1fi（η，αi（t））Hm（w-1（R（t）））·
Gm（w-1（R（t）））αi′（t）≤
Hm（w-1（R（t）））Gm（w-1（R（t）））∑ni=1fi（η，αi（t））αi′（t）.
所以，
R′（t）Hm（w-1（R（t）））Gm（w-1（R（t）））≤∑ni=1fi（η，αi（t））αi′（t）.
即：
d（W（R（t）））dt≤∑ni=1fi（η，αi（t））αi′（t）.
对上式从t0到t积分，t∈[t0，η]，我们得到：
W（R（t））-W（R（t0））≤∫tt0∑ni=1fi（η，αi（s））αi′（s）ds=∫α（t）α（t0）∑ni=1fi（η，s）ds，
W（R（t））≤W（g（η））+∑ni=1∫α（t）α（t0）fi（η，s）ds.
因为W连续且严格增，所以W-1存在、连续、严格增.对上式使用W-1，我们得到：
R（t）≤W-1W（g（η））+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）ds，t∈[t0，η]，
w（u（t））≤Z（t）≤R（t）≤W-1W（g（η））+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）ds，t∈[t0，η]，
u（t）≤w-1W-1W（g（η））+
∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）ds，t∈[t0，η].
在上式，取t=η，可得：
u（η）≤w-1W-1W（g（η））+
∑ni=1∫αi（η）αi（t0）fi（η，s）ds，t∈[t0，η].
由于η是区间t0≤η
∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（t，s）ds，t∈[t0，T）. 证毕.
2应用
我们的结果可以很容易地应用到微分方程的稳定性理论中.例如，我们考虑滞后型泛函微分方程
dudt=F（t，ut）， （4）
在用Lyapunov第二方法研究微分方程稳定性时，如下条件经常可见：
1） W1（|（0）|）≤V（t，）
4） V′（4）（t，）≤0；
5） V′（4）（t，）≤-W4（|（0）|）；
6） V′（4）（t，）≤-W4（∫tt-h|（s）|ds）；
7） V（4）（t，ut）≤-η（t）W2（D（t，ut））+P（t）.
關于与这些条件相关的假设，定理可在众多的文献中查到，如文献[45，1220].这些条件加上定理5，可以得到对Lyapunov函数和解的上界，文献[13]有一个很相近的例子.再如，定理5可以很容易地应用到Volterra积分方程：
X（t）=a（t）+∫tt-αg（t，s）X（s）ds，X∈Rn. （5）
关于方程（5），很多论文研究过，如文献[5，2122].
参考文献
References
[1]Gronwall T H.Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations[J].Annals of Mathematics，1919，20（4）：292296
[2]Bellman R.The stability of solutions of linear differential equations[J].Duke Mathenatical Journal，1943，10（4）：643647
[3]Bellman R.Stability theory of differential equations[M].New York：McGrawHill，1953
[4]Burton T A.Stability and periodic solutions of ordinary and functionaldifferential equations[M].Orlando，Florida：Academic Press，1985
[5]Burton T A.Volterra integral and differential equations[M].2nd ed.New York：Elsevier，2005
[6]Pachpatte B G.Inequalities for differential and integral equations[M].London：Academic Press，1998
[7]Bellman R.Asymptotic series for the solutions of linear differentialdifference equations[J].Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Series 2，1958，7（3）：261269
[8]Halanay A.Differential equations：Stability，oscillations，time lags[M].New York and London：Academic Press，1966
[9]Hale J，Lunel S.Theory of functional differential equations[M].New York：SpringerVerlag，1993
[10]Lipovan O.A retarded Gronwalllike inequality and its applications[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2000，252（1）：389401
[11]Bohner M，Hristova S，Stefanova K.Nonlinear integral inequalities involving maxima of the unknown scalar functions[J].Mathematical Inequalities & Applications，2012，15（4）：811825
[12]Wang T X.Generalization of Grownwalls inequality and its applications in functional differential equations[J].Communications in Applied Analysis，2015，19：679688
[13]Wang T X.Stability in abstract functional differential equations.Part I：General theorems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，1994，186（2）：534558 [14]Wang T X.Stability in abstract functional differential equations.Part II：Applications[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，1994，186（3）：835861
[15]Wang T X.Lower and upper bounds of solutions of functional differential equations[J].Dynamics of Continuous，Discrete and Impulsive Systems，Series A：Mathematical Analysis，2013，20（1）：131141
[16]Wang T X.Inequalities of Solutions of Volterra integral and differential equations[J].Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations，2009（28）：538543
[17]Wang T X.Exponential stability and inequalities of abstract functional differential equations[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2006，342（2）：982991
[18]Wang T X.Inequalities and stability in a linear scalar functional differential equation[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2004，298（1）：3344
[19]Wang T X.Wazewskis inequality in a linear Volterra integrodifferential equations[M]//Corduneanu C，Sandberg I W.Volterra equations and applications.Amsterdam：Gordon and Breach Science Publishers，2000：483492
[20]廖曉昕.动力系统的稳定性理论和应用[M].北京：国防工业出版社，2000
LIAO Xiaoxin.Theory and application of stability for dynamic systems[M].Beijing：National Defense Industry Press，2000
[21]Burton T A.Lyapunov functional for integral equations[M].Bloomington，Indiana：Trafford Publishing，2008
[22]Wang T X.Bounded solutions and periodic solutions in integral equations[J].Dynamics of Continuous，Discrete，and Impulsive Systems，2000，7（1）：1931