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摘要：模糊推理是一种重要的推理方法。在模糊推理的过程中，由于模糊命题之间或者模糊规则之间都存在交互作用，因此选用何种模糊测度去更好地表示这种交互作用就显得很重要。本文从理论上分析了几种模糊测度表示交互作用的能力，得出了重要的结论。
关键词：模糊测度；交互作用；2-可加模糊测度
目前人们已经对推理进行了比较多的研究，提出了多种可在计算机上实现的推理方法，经典逻辑推理就是最先提出的一种推理模式，它是建立在经典逻辑基础上，运用确定性知识进行的一种精确推理，或称为确定性推理。同时，它又是一种单调性推理，即随着新知识的加入，推出的结论或证明的命题将单调地增加。但是现实世界中遇到的问题和事物间的关系往往比较复杂，客观事物存在的随机性、模糊性、不完全性和不精确性，往往导致人们在认识上具有一定程度的不确定性。而且人们通常是在信息不完善、不精确的情况下运用不确定性知识进行思维、求解问题的，推出的结论也并不总是随着知识的增加而单调地增加。因而还必须对不确定性推理进行研究。所谓不确定性推理就是从不确定性的初始证据出发，通过运用不确定性知识，最终推出具有一定程度的不确定性但却是合理或者近乎合理的结论的思维过程。
模糊推理是利用模糊性知识进行的一种不确定性推理，它的理论基础是模糊理论以及在此基础上发展起来的模糊逻辑，它所处理的事物自身是模糊的，概念本身没有明确的外延，一个对象是否符合这个概念难以明确地确定，模糊推理是对这种不确定性的表示和处理。
在模糊推理的过程中，由于模糊命题之间或者模糊规则之间都存在交互作用，因此选用何种模糊测度去更好地表示这种交互作用就是一个需要解决的很重要的问题。本文首先介绍常见的几种模糊测度，然后具体分析了几种模糊测度在表示交互作用方面的能力。
一、几种常见的模糊测度和交互作用
1.几种常见的模糊测度
1974年S u geno首次引进模糊测度的概念。在实际问题中，经常用到的模糊测度μ就是定义在有限集X的幂集P(X)上的满足平凡性和单调性的集函数。模糊测度的详细定义参见文献。常见的模糊测度有很多种具有特殊构造的类型，比如可能性测度，必要性测度，信任测度，2-可加模糊测度和模糊测度等。一般情况下，模糊测度不满足可加性(经典测度满足可加性)，而满足超可加性或者次可加性。定义1：如果模糊测度还满足下面的附加条件，则称为g-lambda(或者)模糊测度。，，模糊测度的重要性质参见文献[2]。模糊测度在单点集上的值也称为模糊密度。由上面性质可知，要确定模糊测度只需要确定模糊密度就可以了。
定义2：函数f : {0,1}n → R 叫做一个拟-布尔函数。
定义3：定义在X 上的模糊测度μ叫做k −-可加的，相应的布尔函数是一个k 次线性多项式。
k −-可加模糊测度的相关性质参见文献。特殊地，当k =2时，就是我们下面将要讨论的2-可加模糊测度。其中，对任意的K ⊂ X ，且。由上面性质可知，要确定2-可加模糊测度只需要确定所有i a 和ij a就可以了。
2.交互作用
设为属性集合，E,F∈p(X) 为属性集的两个不交子集。针对某一个问题，这两组属性之间的关系可以分为如下三种情况：
(1)冗余或者消极合作。两组属性E, F 联合在一起的重要性不大于这两组属性单独使用时的重要性之和。换句话说，将两组属性组合在一起的贡献相对于两组属性单独使用的贡献之和没有提高。
(2)互补或者积极合作。两组属性E, F 联合在一起的重要性不小于这两组属性单独使用时的重要性之和。换句话说，将两组属性组合在一起的贡献相对于两组属性单独使用的贡献之和确有提高。
(3)独立性。两组属性E, F 联合在一起的重要性等于这两组属性单独使用时的重要性之和，说明两组属性之间不存在交互作用。
二、模糊测度表示交互作用的能力
模糊测度的次可加性意味着将两组属性组合在一起的贡献，相对于两组属性单独使用的贡献之和没有提高，即两组属性间是消极合作；超可加性意味着将两组属性组合在一起的贡献，相对于两组属性单独使用的贡献之和确有提高，即两组属性间是积极合作；可加性意味着将两组属性组合在一起的贡献等于两组属性单独使用的贡献之和，即两组属性间是相互独立的。一般形式的模糊测度既能体现属性间的积极作用，同时也能体现属性间的消极作用和相互独立。对于模糊测度：当l λ> 0 时，所有属性间存在积极的交互作用；当lλ < 0 时，所有属性间存在消极的交互作用；当l λ = 0 时，所有属性间是相互独立的。λ是由式子
唯 一 确 定 的 ， 其中是其测度密度。当测度密度给定后，λ就已经确定，则模糊测度表示的交互作用类型也就确定了， 模糊测度不能同时表示三种交互作用。
对于2-可加模糊测度：如果i j a > a ，属性i 比属性j 重要；如果ij a 是负数，那么属性i 和属性j 是消极协作的，两个属性综合起来考虑它们的贡献会减弱；如果ij a是正数，那么属性i 和属性j 是互补的，是积极协作的，两个属性综合起来考虑它们的贡献会加强；如果ij a 等于零，那么属性i 和属性j 是相互独立的。其中i a 和ij a 是默比乌斯变换的系数。
2-可加模糊测度可以把属性间的消极、积极和相互独立这三种交互作用同时表现出来。
三、结论
一般的模糊测度表示交互作用的能力很强，能同时表示三种交互作用，但是需要确定的参数太多，有2|X| 个，使用起来比较复杂。在模糊测度中，当λ给定时，则模糊测度表示的交互作用类型也就确定了， 模糊测度不能同时表示三种交互作用，而且需要确定的参数只有| X 个| 。2-可加模糊测度可以同时表示三种交互作用，并且需要确定的参数个数为2| | | | X X +C 个。本文从理论分析了模糊测度在表示交互作用方面的能力，在以后的研究中将从实验结果等方面加以说明。
作者单位:河北金融学院
参考文献：
[1]王永庆.人工智能原理与方法[M].西安:西安交通大学出版社,2002:14.
[2]M.G r a b i s c h.T h e Re p r e s e n t a t i o n o f Imp o r t a n c eand Interaction of Features by Fuzzy Measures[J].PatternRecognition.1996,17(1):567-575.
关键词：模糊测度；交互作用；2-可加模糊测度
目前人们已经对推理进行了比较多的研究，提出了多种可在计算机上实现的推理方法，经典逻辑推理就是最先提出的一种推理模式，它是建立在经典逻辑基础上，运用确定性知识进行的一种精确推理，或称为确定性推理。同时，它又是一种单调性推理，即随着新知识的加入，推出的结论或证明的命题将单调地增加。但是现实世界中遇到的问题和事物间的关系往往比较复杂，客观事物存在的随机性、模糊性、不完全性和不精确性，往往导致人们在认识上具有一定程度的不确定性。而且人们通常是在信息不完善、不精确的情况下运用不确定性知识进行思维、求解问题的，推出的结论也并不总是随着知识的增加而单调地增加。因而还必须对不确定性推理进行研究。所谓不确定性推理就是从不确定性的初始证据出发，通过运用不确定性知识，最终推出具有一定程度的不确定性但却是合理或者近乎合理的结论的思维过程。
模糊推理是利用模糊性知识进行的一种不确定性推理，它的理论基础是模糊理论以及在此基础上发展起来的模糊逻辑，它所处理的事物自身是模糊的，概念本身没有明确的外延，一个对象是否符合这个概念难以明确地确定，模糊推理是对这种不确定性的表示和处理。
在模糊推理的过程中，由于模糊命题之间或者模糊规则之间都存在交互作用，因此选用何种模糊测度去更好地表示这种交互作用就是一个需要解决的很重要的问题。本文首先介绍常见的几种模糊测度，然后具体分析了几种模糊测度在表示交互作用方面的能力。
一、几种常见的模糊测度和交互作用
1.几种常见的模糊测度
1974年S u geno首次引进模糊测度的概念。在实际问题中，经常用到的模糊测度μ就是定义在有限集X的幂集P(X)上的满足平凡性和单调性的集函数。模糊测度的详细定义参见文献。常见的模糊测度有很多种具有特殊构造的类型，比如可能性测度，必要性测度，信任测度，2-可加模糊测度和模糊测度等。一般情况下，模糊测度不满足可加性(经典测度满足可加性)，而满足超可加性或者次可加性。定义1：如果模糊测度还满足下面的附加条件，则称为g-lambda(或者)模糊测度。，，模糊测度的重要性质参见文献[2]。模糊测度在单点集上的值也称为模糊密度。由上面性质可知，要确定模糊测度只需要确定模糊密度就可以了。
定义2：函数f : {0,1}n → R 叫做一个拟-布尔函数。
定义3：定义在X 上的模糊测度μ叫做k −-可加的，相应的布尔函数是一个k 次线性多项式。
k −-可加模糊测度的相关性质参见文献。特殊地，当k =2时，就是我们下面将要讨论的2-可加模糊测度。其中，对任意的K ⊂ X ，且。由上面性质可知，要确定2-可加模糊测度只需要确定所有i a 和ij a就可以了。
2.交互作用
设为属性集合，E,F∈p(X) 为属性集的两个不交子集。针对某一个问题，这两组属性之间的关系可以分为如下三种情况：
(1)冗余或者消极合作。两组属性E, F 联合在一起的重要性不大于这两组属性单独使用时的重要性之和。换句话说，将两组属性组合在一起的贡献相对于两组属性单独使用的贡献之和没有提高。
(2)互补或者积极合作。两组属性E, F 联合在一起的重要性不小于这两组属性单独使用时的重要性之和。换句话说，将两组属性组合在一起的贡献相对于两组属性单独使用的贡献之和确有提高。
(3)独立性。两组属性E, F 联合在一起的重要性等于这两组属性单独使用时的重要性之和，说明两组属性之间不存在交互作用。
二、模糊测度表示交互作用的能力
模糊测度的次可加性意味着将两组属性组合在一起的贡献，相对于两组属性单独使用的贡献之和没有提高，即两组属性间是消极合作；超可加性意味着将两组属性组合在一起的贡献，相对于两组属性单独使用的贡献之和确有提高，即两组属性间是积极合作；可加性意味着将两组属性组合在一起的贡献等于两组属性单独使用的贡献之和，即两组属性间是相互独立的。一般形式的模糊测度既能体现属性间的积极作用，同时也能体现属性间的消极作用和相互独立。对于模糊测度：当l λ> 0 时，所有属性间存在积极的交互作用；当lλ < 0 时，所有属性间存在消极的交互作用；当l λ = 0 时，所有属性间是相互独立的。λ是由式子
唯 一 确 定 的 ， 其中是其测度密度。当测度密度给定后，λ就已经确定，则模糊测度表示的交互作用类型也就确定了， 模糊测度不能同时表示三种交互作用。
对于2-可加模糊测度：如果i j a > a ，属性i 比属性j 重要；如果ij a 是负数，那么属性i 和属性j 是消极协作的，两个属性综合起来考虑它们的贡献会减弱；如果ij a是正数，那么属性i 和属性j 是互补的，是积极协作的，两个属性综合起来考虑它们的贡献会加强；如果ij a 等于零，那么属性i 和属性j 是相互独立的。其中i a 和ij a 是默比乌斯变换的系数。
2-可加模糊测度可以把属性间的消极、积极和相互独立这三种交互作用同时表现出来。
三、结论
一般的模糊测度表示交互作用的能力很强，能同时表示三种交互作用，但是需要确定的参数太多，有2|X| 个，使用起来比较复杂。在模糊测度中，当λ给定时，则模糊测度表示的交互作用类型也就确定了， 模糊测度不能同时表示三种交互作用，而且需要确定的参数只有| X 个| 。2-可加模糊测度可以同时表示三种交互作用，并且需要确定的参数个数为2| | | | X X +C 个。本文从理论分析了模糊测度在表示交互作用方面的能力，在以后的研究中将从实验结果等方面加以说明。
作者单位:河北金融学院
参考文献：
[1]王永庆.人工智能原理与方法[M].西安:西安交通大学出版社,2002:14.
[2]M.G r a b i s c h.T h e Re p r e s e n t a t i o n o f Imp o r t a n c eand Interaction of Features by Fuzzy Measures[J].PatternRecognition.1996,17(1):567-575.