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长方体是立体几何中一种比较常见的特殊的几何体,其简单的几何性质和直观的几何构造已为广大高中生所熟悉,所以在遇到某些点､线､面及空间角和距离的问题时,若能联想并巧妙合理地构造出相关的长方体并加以解决,则能使很多复杂的问题变得更易理解,从而起到事半功倍的效果. 下面列举几例以供参考. 1. 由特殊的线线､线面平行及垂直关系联想到长方体
例1 (2006年辽宁省卷)给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行;②垂直于同一个平面的两个平面互相平行;③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行;④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是 ().
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
分析 因为长方体中有很多特殊的线线､线面平行及垂直关系,所以易联想构造长方体ABCD - A1B1C1D1(如图1),并在其中找出反例,从而说明①②③④均假,故选D.
2. 由直二面角联想到长方体
例2 已知正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,求直线AB与CD所成的角.
分析 长方体中存在面面垂直关系而且比较直观,而此题中角A-BD-C又恰是直二面角,AB⊥AD,BC⊥CD,AB = BC = CD = AD,因此不妨构造如图2所示的正方体,其中AB,CD为正方体两个面对角线所在直线,这样求AB与CD所成角即为求BD1与DH所成角,易证BD1与DH所成角为60°,所以AB与CD所成角为60°.
3. 由四面体每个面都是全等三角形联想正方体
例3 正四面体的边长为a,求正四面体的外接球半径.
分析 正方体的面对角线可以构成正四面体,且正方体的棱长与其外接球的半径关系学生比较熟悉,故此题用正方体易解. 此时正方体的棱长为 a,正方体体对角线长为×a =a,所以正四面体的外接球的半径为 a .
例4 已知△ABC的三条边长分别为AC =10,CB = 12,BA = 14,沿三条中位线折成三棱锥G-DEF,求此三棱锥的体积.
解 此题三棱锥的四个面都是全等的三角形,故可看成是由长方体的面对角线构成的,如图5所示,不妨设GD = 7,GE = 6,DE = 5,HE = x,HD = y,HG = z,则由勾股定理得 x2 + y2 = 25,y2 + z2 = 36,z2 + x2 = 49, 解得x =,y =,z = .
所以V =xyz = 2 .
4. 由同一顶点出发的三条棱两两垂直联想到长方体
例5 在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,M是面ABC内一点,M到三个面PAB,PBC,PAC距离分别是2,3,4,求M到顶点P的距离.
解 因为长方体同一顶点出发的三条棱两两垂直,所以联想构造长方体,由M点向三个面PAB,PBC,PAC作垂线,垂足分别为E,F,H,构造如图6所示长方体,求PM即求此长方体的对角线长,所以MP = = = 7.
例6 已知三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,M是面ABC内一点,且∠MPA = 45°,∠MPB = 60°,求∠MPC.
解 同上题构造长方体,∠MPA,∠MPB,∠MPC即为长方体的对角线与长方体过P点的三条棱所成角.又cos2∠MPK + cos2∠MPQ + cos2∠MPN = 1,所以cos245° + cos260° + cos2∠MPN = 1,所以cos∠MPN =, ∠MPN = 60°,从而得到∠MPC = 60°.
例7 (2006年四川省高考)三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且PA = PB = PC,M是AB 边的中点,求PM与面ABC所成的角.
解 构造如图正方体,由正方体性质易知体对角线 PD垂直面ABC,设棱长为1,则PM =,PN =,从而PM与面ABC所成的角的大小为arcsin .
5. 由同一顶点出发的三个面两两垂直联想到长方体
例8 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为2 ,求其外接球的表面积.
解 构造如图8所示的正方体,则三棱锥与此正方体的外接球是同一个球,所以球的半径r =× 2= 3,从而表面积为S = 4πr2 = 36π.
总之,数学的各部分内容之间是相互联系､相互渗透和相互补充的,所以在解题时不但要思考而且还要联想,开拓思路,将问题化繁为简.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
例1 (2006年辽宁省卷)给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行;②垂直于同一个平面的两个平面互相平行;③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行;④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是 ().
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
分析 因为长方体中有很多特殊的线线､线面平行及垂直关系,所以易联想构造长方体ABCD - A1B1C1D1(如图1),并在其中找出反例,从而说明①②③④均假,故选D.
2. 由直二面角联想到长方体
例2 已知正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,求直线AB与CD所成的角.
分析 长方体中存在面面垂直关系而且比较直观,而此题中角A-BD-C又恰是直二面角,AB⊥AD,BC⊥CD,AB = BC = CD = AD,因此不妨构造如图2所示的正方体,其中AB,CD为正方体两个面对角线所在直线,这样求AB与CD所成角即为求BD1与DH所成角,易证BD1与DH所成角为60°,所以AB与CD所成角为60°.
3. 由四面体每个面都是全等三角形联想正方体
例3 正四面体的边长为a,求正四面体的外接球半径.
分析 正方体的面对角线可以构成正四面体,且正方体的棱长与其外接球的半径关系学生比较熟悉,故此题用正方体易解. 此时正方体的棱长为 a,正方体体对角线长为×a =a,所以正四面体的外接球的半径为 a .
例4 已知△ABC的三条边长分别为AC =10,CB = 12,BA = 14,沿三条中位线折成三棱锥G-DEF,求此三棱锥的体积.
解 此题三棱锥的四个面都是全等的三角形,故可看成是由长方体的面对角线构成的,如图5所示,不妨设GD = 7,GE = 6,DE = 5,HE = x,HD = y,HG = z,则由勾股定理得 x2 + y2 = 25,y2 + z2 = 36,z2 + x2 = 49, 解得x =,y =,z = .
所以V =xyz = 2 .
4. 由同一顶点出发的三条棱两两垂直联想到长方体
例5 在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,M是面ABC内一点,M到三个面PAB,PBC,PAC距离分别是2,3,4,求M到顶点P的距离.
解 因为长方体同一顶点出发的三条棱两两垂直,所以联想构造长方体,由M点向三个面PAB,PBC,PAC作垂线,垂足分别为E,F,H,构造如图6所示长方体,求PM即求此长方体的对角线长,所以MP = = = 7.
例6 已知三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,M是面ABC内一点,且∠MPA = 45°,∠MPB = 60°,求∠MPC.
解 同上题构造长方体,∠MPA,∠MPB,∠MPC即为长方体的对角线与长方体过P点的三条棱所成角.又cos2∠MPK + cos2∠MPQ + cos2∠MPN = 1,所以cos245° + cos260° + cos2∠MPN = 1,所以cos∠MPN =, ∠MPN = 60°,从而得到∠MPC = 60°.
例7 (2006年四川省高考)三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且PA = PB = PC,M是AB 边的中点,求PM与面ABC所成的角.
解 构造如图正方体,由正方体性质易知体对角线 PD垂直面ABC,设棱长为1,则PM =,PN =,从而PM与面ABC所成的角的大小为arcsin .
5. 由同一顶点出发的三个面两两垂直联想到长方体
例8 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为2 ,求其外接球的表面积.
解 构造如图8所示的正方体,则三棱锥与此正方体的外接球是同一个球,所以球的半径r =× 2= 3,从而表面积为S = 4πr2 = 36π.
总之,数学的各部分内容之间是相互联系､相互渗透和相互补充的,所以在解题时不但要思考而且还要联想,开拓思路,将问题化繁为简.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”