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摘要：复变函数与积分变换是高等院校工科相关专业的必修基础课。本文针对工科专业的特点，并与教学实践相结合，在教学内容、教学方法和教学手段等方面进行了研究和探讨。
关键词：复变函数与积分变换；教学实践；教学内容；教学方法；教学手段
中图分类号：G642.0?摇?摇?摇?摇?摇文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2012）06-0207-03
一、引言
作为一门重要的理论基础课，复变函数与积分变换在解决实际问题方面的能力也是不容小觑的。它物理背景鲜明，主要起源于一些与数学、物理、力学、分析相关的理论和实际问题。它包括两部分内容：一是复变函数；二是积分变换。复变函数又称复分析，是以实变函数为基础，通过对数学分析进行推广和发展而形成的。因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也有异曲同工之妙。Weierstrass、Cauchy和Riemann等数学巨匠早在19世纪就已经为这门古老且富有生命力的学科奠定了坚实的基础。而今，它已经作为一种强有力的工具被广泛用于自动化控制、理论物理、弹性力学、流体力学和空气动力学等众多自然科学领域。而积分变换则是以复变函数理论为基础，为了化简计算，以特定形式的积分为桥梁建立函数间的对应关系。它广泛用于工程技术，如语音识别与合成、信号分析与图像处理、地震勘测、通信与控制以及电子工程等领域。复变函数与积分变换这门课程在培养学生的专业技能、创新思维以及提高业务素质等方面都发挥着不可低估的作用。但是，这门课理论性比较强，概念多且内容又很抽象，工科的学生感觉学习起来比较困难，而要达到融会贯通并能灵活运用其解决专业问题则是难上加难。而该课程的实际授课时数在国内同类高校中大多却只有48学时，要使学生在这么短的时间内既能掌握理论方法，又能了解所学的知识在本专业中的相关应用，为以后的专业课学习打下好的基础，就要与工科专业的特点相结合，从教学内容、教学方法以及教学手段这些方面进行一些完善和革新。
二、教材选择是关键
课堂教学内容改革的成败，教材的选取是至关重要的。为了培养适应21世纪所需的国际化人才，我们选取了由高等教育出版社出版，苏变萍、陈东立编写的《复变函数与积分变换》第二版。该教材的编写遵循为专业课打好基础，提高学生的数学素养，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力的原则，强调理论的应用性及其与计算机的结合，内容由浅入深，理论联系实际，适应了新形势要求。
三、教学中理论实践双管齐下
复变函数与积分变换在解决实际问题方面具有重要作用，而它又是一门理论性非常强的课程。因此，在组织教学内容方面，一方面要构建复变函数的数学体系，以提高学生的数学素养；另一方面又要冲破重理论轻实践的传统教学模式，强调对课程的本质理解和实际工程的应用，将基本概念和定理的理论背景与实际应用背景有效地结合起来。在教学活动中，首先要注重学生的主体意识，寻找合适的切入点，借助课本的理论和方法在工程技术领域的实际应用，使学生认识到课程的重要性，激发学生学习的积极性。如，解析函数在平面场中的应用，共形映射在电场分布中的应用，等等。其次是要淡化课程里面理论性较强但在以后的专业课学习中应用又比较少的一些数学理论，避免对理论阐述过深，同时减少复杂的证明和推导，这样，既能避免学生在学习这门课程时对一些繁杂的数学知识望而却步，又能为工科专业其他课程的学习打下坚实的基础。例如，对一些较为复杂的定理证明，我们只需将讲课重点放在定理的应用方面，而证明过程，只需对其证明思路稍加介绍即可，不必讲究知识的系统性和完整性。此外，可以把教学重点放在留数定理的应用和工程中常用的积分变换等部分，着重介绍积分变换的应用背景，使理论与应用能够相辅相成，为数学理论与专业课的应用搭建桥梁，使学生能够灵活应用其性质解决一些与专业相关的问题。
四、改革教学方法，注重课程间的衔接
复变函数是以实变函数为基础，并在此基础上加以发展，将实变函数推广到复数领域而形成的一个分支。因此，它们在内容上有很多相似的地方。在课堂教学中要充分重视本课程与高等数学的相通性，引导学生利用比较教学法分清两者之间的区别与联系，从而加深对本课程的理解。比如，极限与连续、导数与积分以及级数等内容在复变函数和高等数学的内容中都有着相似的描述，但它们又有着本质的区别。虽然复变函数极限的定义形式上与高等数学中相应的内容非常相似，而实际上它们却有着很大的不同，复变函数中极限的概念要更加严苛一些。此外，在教学中应该以学生为主体，而教师起到主导的作用，以学为核心，教紧紧围绕于学，对学进行启发和促进，使双方有效地互动起来，这才是教与学应有的关系。比方说，在讲解解析函数的概念时，只需教师稍加点拨，引导学生归纳出函数的可导性与解析性之间的关系，从而使学生对柯西-黎曼方程的理解进一步加深；再比如，可以将高阶导数与柯西积分公式通过演绎的方法看成是留数定理的特例，进而使学生在学习中能够感到轻松，获得快乐，达到事半功倍的效果。
五、教学辅助工具——课程软件和多媒体
为了符合教学改革的要求，更是为了使工程技术真正适应社会发展的需要，我校开设了专门的软件课程介绍数学软件——Matlab。借助这种数学软件，学生可以对课程中的相关问题进行有效的求解，并利用计算机和Matlab的图形功能与数值功能对课程的基本概念和结论进行充分展示，将课程内容直观地展现在学生面前，增强了他们对概念和结论的理解。例如，留数、Laplace变换和逆变换、方程组的建模及求解等等这些复杂的计算都可以通过Matlab来完成，从而培养学生利用计算机解决实际问题的能力。另外，为了增强学生的学习兴趣，可以将数学建模与课程内容的学习有机结合，使学生乐于参加数学建模竞赛和一些大学生创新活动，提高了学生参与实践创新活动的能力和水平。
在课堂教学中，采用了多媒体辅助教学的教学方式，即在教学中板书与多媒体相辅相成：我们运用多媒体对需要数形结合讲解的内容和一般知识性的内容进行展示，这种方式使教学更加生动活泼，学生易于接受，并将节约下来的大量板书时间用于补充相关背景知识，开阔了学生的眼界；而对于要和学生一起进行思考演算的部分则采用板书的形式，可以使学生学会数学的思维方法，增强他们的推理能力和逻辑思维能力。这两种教学方式的有效结合既能充分利用45分钟的上课时间，又能增大课堂信息量，增强趣味性，提高教学效果。
参考文献：
[1]肖自碧，杨波.“复变函数与积分变换”课程教学改革探讨[J].中国电力教育，2010，（15）.
[2]苏变萍，陈成立编.复变函数与积分变换[M].北京：高等教育出版社，2010.
[3]李秋生，王丽.工科复变函数与积分变换课程教学改革初探[J].宜春学院学报，2008，30（2）.
[4]邓英东，吕彦鸣.复变函数与积分变换课堂教学改革的探讨[J].南通工学院学报，2004，20（4）.
[5]王淑艳.“复变函数与积分变换”教学改革的几点思考[J].东北农业大学学报（社会科学版），2011，9（3）.
[6]高玉欣.复变函数与积分变换的学习迁移策略[J].科技论坛，2008，（33）.
基金项目：广西高校人才小高地建设创新团队资助计划（桂教人〔2011〕47号）
作者简介：史秀波（1978-），女，山东人，理学博士，主要研究方向：复杂系统的数值模拟。
关键词：复变函数与积分变换；教学实践；教学内容；教学方法；教学手段
中图分类号：G642.0?摇?摇?摇?摇?摇文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2012）06-0207-03
一、引言
作为一门重要的理论基础课，复变函数与积分变换在解决实际问题方面的能力也是不容小觑的。它物理背景鲜明，主要起源于一些与数学、物理、力学、分析相关的理论和实际问题。它包括两部分内容：一是复变函数；二是积分变换。复变函数又称复分析，是以实变函数为基础，通过对数学分析进行推广和发展而形成的。因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也有异曲同工之妙。Weierstrass、Cauchy和Riemann等数学巨匠早在19世纪就已经为这门古老且富有生命力的学科奠定了坚实的基础。而今，它已经作为一种强有力的工具被广泛用于自动化控制、理论物理、弹性力学、流体力学和空气动力学等众多自然科学领域。而积分变换则是以复变函数理论为基础，为了化简计算，以特定形式的积分为桥梁建立函数间的对应关系。它广泛用于工程技术，如语音识别与合成、信号分析与图像处理、地震勘测、通信与控制以及电子工程等领域。复变函数与积分变换这门课程在培养学生的专业技能、创新思维以及提高业务素质等方面都发挥着不可低估的作用。但是，这门课理论性比较强，概念多且内容又很抽象，工科的学生感觉学习起来比较困难，而要达到融会贯通并能灵活运用其解决专业问题则是难上加难。而该课程的实际授课时数在国内同类高校中大多却只有48学时，要使学生在这么短的时间内既能掌握理论方法，又能了解所学的知识在本专业中的相关应用，为以后的专业课学习打下好的基础，就要与工科专业的特点相结合，从教学内容、教学方法以及教学手段这些方面进行一些完善和革新。
二、教材选择是关键
课堂教学内容改革的成败，教材的选取是至关重要的。为了培养适应21世纪所需的国际化人才，我们选取了由高等教育出版社出版，苏变萍、陈东立编写的《复变函数与积分变换》第二版。该教材的编写遵循为专业课打好基础，提高学生的数学素养，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力的原则，强调理论的应用性及其与计算机的结合，内容由浅入深，理论联系实际，适应了新形势要求。
三、教学中理论实践双管齐下
复变函数与积分变换在解决实际问题方面具有重要作用，而它又是一门理论性非常强的课程。因此，在组织教学内容方面，一方面要构建复变函数的数学体系，以提高学生的数学素养；另一方面又要冲破重理论轻实践的传统教学模式，强调对课程的本质理解和实际工程的应用，将基本概念和定理的理论背景与实际应用背景有效地结合起来。在教学活动中，首先要注重学生的主体意识，寻找合适的切入点，借助课本的理论和方法在工程技术领域的实际应用，使学生认识到课程的重要性，激发学生学习的积极性。如，解析函数在平面场中的应用，共形映射在电场分布中的应用，等等。其次是要淡化课程里面理论性较强但在以后的专业课学习中应用又比较少的一些数学理论，避免对理论阐述过深，同时减少复杂的证明和推导，这样，既能避免学生在学习这门课程时对一些繁杂的数学知识望而却步，又能为工科专业其他课程的学习打下坚实的基础。例如，对一些较为复杂的定理证明，我们只需将讲课重点放在定理的应用方面，而证明过程，只需对其证明思路稍加介绍即可，不必讲究知识的系统性和完整性。此外，可以把教学重点放在留数定理的应用和工程中常用的积分变换等部分，着重介绍积分变换的应用背景，使理论与应用能够相辅相成，为数学理论与专业课的应用搭建桥梁，使学生能够灵活应用其性质解决一些与专业相关的问题。
四、改革教学方法，注重课程间的衔接
复变函数是以实变函数为基础，并在此基础上加以发展，将实变函数推广到复数领域而形成的一个分支。因此，它们在内容上有很多相似的地方。在课堂教学中要充分重视本课程与高等数学的相通性，引导学生利用比较教学法分清两者之间的区别与联系，从而加深对本课程的理解。比如，极限与连续、导数与积分以及级数等内容在复变函数和高等数学的内容中都有着相似的描述，但它们又有着本质的区别。虽然复变函数极限的定义形式上与高等数学中相应的内容非常相似，而实际上它们却有着很大的不同，复变函数中极限的概念要更加严苛一些。此外，在教学中应该以学生为主体，而教师起到主导的作用，以学为核心，教紧紧围绕于学，对学进行启发和促进，使双方有效地互动起来，这才是教与学应有的关系。比方说，在讲解解析函数的概念时，只需教师稍加点拨，引导学生归纳出函数的可导性与解析性之间的关系，从而使学生对柯西-黎曼方程的理解进一步加深；再比如，可以将高阶导数与柯西积分公式通过演绎的方法看成是留数定理的特例，进而使学生在学习中能够感到轻松，获得快乐，达到事半功倍的效果。
五、教学辅助工具——课程软件和多媒体
为了符合教学改革的要求，更是为了使工程技术真正适应社会发展的需要，我校开设了专门的软件课程介绍数学软件——Matlab。借助这种数学软件，学生可以对课程中的相关问题进行有效的求解，并利用计算机和Matlab的图形功能与数值功能对课程的基本概念和结论进行充分展示，将课程内容直观地展现在学生面前，增强了他们对概念和结论的理解。例如，留数、Laplace变换和逆变换、方程组的建模及求解等等这些复杂的计算都可以通过Matlab来完成，从而培养学生利用计算机解决实际问题的能力。另外，为了增强学生的学习兴趣，可以将数学建模与课程内容的学习有机结合，使学生乐于参加数学建模竞赛和一些大学生创新活动，提高了学生参与实践创新活动的能力和水平。
在课堂教学中，采用了多媒体辅助教学的教学方式，即在教学中板书与多媒体相辅相成：我们运用多媒体对需要数形结合讲解的内容和一般知识性的内容进行展示，这种方式使教学更加生动活泼，学生易于接受，并将节约下来的大量板书时间用于补充相关背景知识，开阔了学生的眼界；而对于要和学生一起进行思考演算的部分则采用板书的形式，可以使学生学会数学的思维方法，增强他们的推理能力和逻辑思维能力。这两种教学方式的有效结合既能充分利用45分钟的上课时间，又能增大课堂信息量，增强趣味性，提高教学效果。
参考文献：
[1]肖自碧，杨波.“复变函数与积分变换”课程教学改革探讨[J].中国电力教育，2010，（15）.
[2]苏变萍，陈成立编.复变函数与积分变换[M].北京：高等教育出版社，2010.
[3]李秋生，王丽.工科复变函数与积分变换课程教学改革初探[J].宜春学院学报，2008，30（2）.
[4]邓英东，吕彦鸣.复变函数与积分变换课堂教学改革的探讨[J].南通工学院学报，2004，20（4）.
[5]王淑艳.“复变函数与积分变换”教学改革的几点思考[J].东北农业大学学报（社会科学版），2011，9（3）.
[6]高玉欣.复变函数与积分变换的学习迁移策略[J].科技论坛，2008，（33）.
基金项目：广西高校人才小高地建设创新团队资助计划（桂教人〔2011〕47号）
作者简介：史秀波（1978-），女，山东人，理学博士，主要研究方向：复杂系统的数值模拟。