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《6.3.1实数》是新人教版七年级下册第六章第三节《实数》第一课时的教学内容，是在数的开方的基础上引进无理数概念，将数从有理数的范围扩充到实数范围.该课在中学数学学习中具有承上启下的作用，是学生今后学习整式、方程、不等式及函数的基础.这节课主要学习无理数和实数的概念、实数的分类、实数与数轴上的点一一对应的关系，向学生渗透类比、分类、数形结合的数学思想，培养学生的观察能力、分析能力、概括能力和解决问题的能力.
一、情境导入，明确学习目标
师：这节课我们一起走进数学王国，开启今天的学习之旅！请同学们先看视频.（播放数字故事视频《神秘数之谜》，大意如下：有一天，数学王国来了一位神秘访客，有理数向它炫耀说：“我是数中之王，所有的数都归我管.”神秘访客不服气地说：“吹牛，你跟我平级，怎么可能所有的数都归你管？一会儿司令来了让它评评理.”）
师：故事中的“有理数”认为自己是数中之王，所有的数都归它管，你们同意吗？
生：不同意.
师：“神秘访客”认为有理数跟自己平级，自己不归有理数管.那么，“神秘访客”是什么数，它口中的“司令”又是谁呢？
生各抒己见，有的说是有理数，有的说是实数，有的说是无理数，对“神秘访客”和“司令”的身份充满好奇.
师：这节课我们一起来揭开这个谜底.（板书课题：6.3.1实数）
生齐读“学习目标”：①了解无理数和实数的概念，能对实数按要求进行分类;②了解数轴上的点与实数是一一对应的关系，能用数轴上的点表示无理数.
【评析】以故事创设学习情境，导入新课，牢牢吸引了学生的注意力;执教者让学生齐读“学习目标”，使学生从上课开始就知道将要学习的内容和所要达成的目标.
二、探究新知，引出无理数
师：什么叫有理数？
生：整数和分数统称为有理数.
师：还记得有理数的分类吗？
生1：按定义进行分类.
生2：按性质进行分类.
师板书如下：
（1）按定义分类 （2）按性质分类
[有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数] [有理数正有理数正整数正分数0负有理数负整数负分数]
【评析】执教者引导学生系统复习有理数的定义、分类，有利于学生在类比旧知的基础上学习新知，实现新旧知识的自然过渡.
（一）探究无理数的定义
师：3，[-35，478，911，119，59]这些数都是有理数吗？
生：都是.
师：你能把有理数[3，-35，478，911，119，59]写成小数的形式吗？
生写出小数如下：
3=3.0，[-35]=-0.6，[478]=5.875，[911]=[0.81，][119=1.2，59=][0.5]
师：观察这些小数，你有什么发现？
生：有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.
师：是的.事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.（课件出示有理数的新定义：有限小数和无限循环小数统称为有理数）
生齐读有理数的定义.
师：除了有限小数和无限循环小数，想一想，还有其他类型的小数吗？
生：无限不循环小数，比如π.
师：无限不循环小数除了π之外，你还能说出哪些数？
生：[2=1.414…，3=1.732…]
师：无限不循环小数叫作无理数.（课件出示无理数的新定义，播放解析无理数定义的视频）
生观看视频，进一步理解无理数的概念.
师：观看视频后，你有什么收获？
生1：无限不循环小数叫作无理数.
生2：无理数必须同时满足两个条件，一是无限小数，二是不循环小数.
师：下列各组数是不是无理数？这些数分别有什么特点？[课件出示：①[-3，53，2-1];②π，-3π，[π2];③0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），
-17.3232232223…（两个3之间依次多一个2）]
生1：第①组都是无理数，都含有根号.
生2：第②组都是无理数，都含有π.
生3：第③组都是无理数，都有一定规律但不循环.
师：是的，从中我们可以发现，无理数有以下常见类型.①根号型，即开方开不尽的数;②含π型;③构造型，即构造出的有一定规律但不循环的无限小数.
【评析】执教者让学生参与无理数概念的建立和数系扩充的过程，提高了学生学习数学的兴趣，培养了学生的观察和发现能力.
（二）探究实数的分类
课件出示练习题：把下列各数分别填入相应的集合内.（检测学生能否区分有理数和无理数）
[227，3，][-83，]0.101，[π3，93，64，][2.15，][1916，]
0.3737737773…
有理数集合 无理数集合
师：带根号的数一定是无理数吗？
生：不一定，[-83=-2]是有理数.
师生共同讨论后得出结论：判定一个数是不是无理数应该先进行化简或计算.
师：学习了有理数和无理数，你认为有理数和无理数属于哪一类数的范畴呢？（课件出示实数的定义：有理数和无理數统称为实数）
师：类比有理数的分类方法，我们如何将实数进行分类？
生讨论，有的说按定义分类，有的说按性质分类，有的说按大小分类. 师：请同学们根据自己的想法，将实数进行分类.
学生代表上台板书实数的分类，其余学生分小组讨论，在导学案中写出实数的分类.师收集各小组的导学案，投影呈现具有代表性的分类方法，学生辨析正误.
师生总结实数的分类如下：
（1）按定义进行分类
（2）按正负数进行分类
师：我们对实数进行分类时，要做到“不重”“不漏”.现在，我们知道数字王国里的“神秘访客”和“司令”分别是谁了吗？
生：“神秘访客”是无理数，“司令”是实数.
师：正确！通过学习，我们知道数的范畴扩大到了实数.下面我们通过做练习来巩固新学的知识.
课件出示习题：装扮“数字树”.要求：拿到“树干”的同学上台装扮“数字树”，其余同学把手中的数字贴在“数字树”的相应位置.
[2π3，]3.141592，[53，]20，
[36，][63，]-3.33，[273，]
-11，1.5151151115…（每两个5之间多一个1），[14]]
【评析】执教者引导学生对实数进行分类，明确分类的基本原则是“不重”“不漏”，渗透了分类的数学思想.在这个过程中，执教者善于培养学生从不同角度思考问题，促使学生加深对无理数、实数的概念的理解.最后，执教者揭开数字王国里“神秘访客”和“司令”的神秘面纱，有利于学生进一步理解实数、有理数、无理数的关系.教学中设计的小游戏、小练习，提高了学生参与课堂的积极性，有利于学生巩固新知识.
（三）探究实数与数轴的对应关系
课件出示练习题：找出下列有理数0，3.6，[-113]在数轴上的对应点（如图2）.
师：有理数都可以用数轴上的点表示吗？
生：可以.
师：反过来，数轴上的点都表示有理数吗？请认真观察下面的演示（如图3），你有什么发现？
课件演示：从原点出发，圆分别向数轴的左边和右边滚动一周（圆的直径为1），观察终点落在的位置对应的是什么数？
生：直径为1的圆的周长是π，所以，当圆向数轴的左边滚动一周，终点落在的位置对应的数表示-π，向数轴的右边滚动一周，终点落在的位置对应的数表示π.
师：通过演示，我们可以发现，数轴上的点除了可以表示有理数，还可以表示什么数？
生：无理数.
课件出示习题：剪一剪，拼一拼.你能用两个边长为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形吗？拼接出来的面积为2的大正方形的边长是多少？
生动手操作，拼出面积为2的大正方形（如图4），边长为[2].
师：大正方形的边长和边长为1的小正方形的对角线长有什么关系？
学：边长为1的小正方形的对角线长为[2].
师：你能在数轴上表示出[2，][-2]吗？
生分小组探究，师用动画演示（如图5）.
生得出结论：无理数[2]和[-2]也可以用数轴上的点表示.
师：每个无理数都可以用数轴上的一个点来表示.如果将全部有理数都标注在数轴上，数轴会不会被填满？
生：不会，因为数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数.
师：将全部无理数都标注在数轴上，数轴会被填满吗？
生：不会，因为数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数.
师：将所有的有理数和无理数都标注在数轴上，数轴会被填满吗？
生：填满了.
师生总结归纳得出结论：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.也就是说，实数与数轴上的点是一一对应关系.
课件出示习题如下：
请将数轴上的各点与实数[2，]-1.5，[5，]π，3对应起来，然后比较它们的大小（用“<”连接，如图6）.
师：在做练习过程中你有什么发现？
生：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.
【评析】执教者设计习题，请学生在数轴上表示π，[±2]的位置，从而明确无理数也可以用数轴上的点表示，最后得出实数与数轴上的点一一对应的结论.借助数轴研究无理数，有利于学生进一步体会数形结合的数学思想，学会迁移运用.
三、课堂小测，总结归纳
师出示习题如下.
1.判断下列说法是否正确，在后面的括号内打“√”或“×”.
（1）实数不是有理数就是无理数.（ ）
（2）无理数都是无限不循环小数.（ ）
（3）带根号的数都是无理数.（ ）
（4）无理数一定都带根号.（ ）
（5）无理数都是无限小数.（ ）
（6）无限小数都是无理数.（ ）
2.在[53，][3.17，]0.12，[-32，]0，[643]这6个数中，无理数的个数表达正确的是（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列说法错误的是（ ）.
A.没有最小的正数.
B.无理数分为正无理数、0、负无理数.
C.无理数都可以用数轴上的点来表示.
D.正分数既是有理数又是实数.
4.把-π，[-13，][7，]-1.5，[9，][503，]3這些数分别填入相应的集合里.
（1）正有理数集合：
（2）正无理数集合： （3）负有理数集合：
（4）负实数集合：
【评析】学生通过做练习，回顾学习过程，加深了对新知识的理解，提高了运用知识解决问题的能力.
师：通过这节课的学习，你学到了哪些新知识？谈谈你的收获.
生1：学习了无理数和实数的概念，掌握了实数的分类方法，知道实数与数轴上的点是一一对应的关系.
生2：我明白了数形结合的数学思想，知道利用类比有理数的分类方法对实数进行分类.
师：当数由有理数扩充到实数以后，相反数和绝对值的意义以及运算法则对于实数来说是否还适用呢？请同学们课后思考这个问题.
【评析】课尾，执教者请学生回顾、总结、梳理所学知识，将新知与旧知紧密联系，这样做有利于学生掌握数学学习方法.最后，执教者留下思考题，促使学生继续保持学习和探索的欲望.
【总评】
这节课坚持“学生为主体、教师为主导”的教学原则，以教师的“导”和学生的“究”作为课堂教学主线，渗透了数形结合、类比、从特殊到一般的数学思想.教学中，执教者熟练运用微视频、几何画板、手机投屏、智慧课堂等信息化教学手段辅助教学，使课堂教学生动灵活，增添了教学的趣味性，扩大了课堂容量，是一堂高效率的数学课，体现在以下几个方面.
第一，以“趣”激“学”.执教者先利用数字故事创设情境，吸引学生的注意力，激发学生的求知欲，然后以小视频解析无理数的定义，使知识难点变得直观、形象，易于学生理解，“拼数字树”游戏活跃了课堂氛围，调动了学生参与课堂学习的积极性.
第二，教学目标明确，课堂主线清晰.这节课的知识目标是使学生了解无理数和实数的概念，能对实数进行分类;能力目标是使学生通过类比有理数，探究无理数和实数的概念，培养分析、推理、总结、归纳的能力.教学中，执教者首先引导学生复习有理数的概念，然后引导学生从生活中发现无理数，再设疑引导学生类比有理数的分类方法探究无理数的定义、特征以及实数的分类.整个课堂教学脉络清晰，学生思维活跃.
第三，渗透类比、数形结合等数学思想.在教学无理数的定义和实数的分类时，执教者引导学生利用类比的方法探究新知，实现了知识的内化与迁移.另外，通過几何画板演示π，[±2]等无理数与数轴上的点的关系，使学生能够直观形象地理解无理数、有理数、实数之间的关系，学会运用数形结合的方法学习新知识.
第四，执教者基本功扎实，善于驾驭课堂.课堂教学过渡自然，选题有层次，符合学生的认知规律.执教者在教学中能够熟练运用信息化教学设备和教学手段，增添了教学的趣味性，提高了教学效率.
（该课例曾获评广西2019年“一师一优课、一课一名师”活动自治区级“优课”）
（责编 欧孔群）
一、情境导入，明确学习目标
师：这节课我们一起走进数学王国，开启今天的学习之旅！请同学们先看视频.（播放数字故事视频《神秘数之谜》，大意如下：有一天，数学王国来了一位神秘访客，有理数向它炫耀说：“我是数中之王，所有的数都归我管.”神秘访客不服气地说：“吹牛，你跟我平级，怎么可能所有的数都归你管？一会儿司令来了让它评评理.”）
师：故事中的“有理数”认为自己是数中之王，所有的数都归它管，你们同意吗？
生：不同意.
师：“神秘访客”认为有理数跟自己平级，自己不归有理数管.那么，“神秘访客”是什么数，它口中的“司令”又是谁呢？
生各抒己见，有的说是有理数，有的说是实数，有的说是无理数，对“神秘访客”和“司令”的身份充满好奇.
师：这节课我们一起来揭开这个谜底.（板书课题：6.3.1实数）
生齐读“学习目标”：①了解无理数和实数的概念，能对实数按要求进行分类;②了解数轴上的点与实数是一一对应的关系，能用数轴上的点表示无理数.
【评析】以故事创设学习情境，导入新课，牢牢吸引了学生的注意力;执教者让学生齐读“学习目标”，使学生从上课开始就知道将要学习的内容和所要达成的目标.
二、探究新知，引出无理数
师：什么叫有理数？
生：整数和分数统称为有理数.
师：还记得有理数的分类吗？
生1：按定义进行分类.
生2：按性质进行分类.
师板书如下：
（1）按定义分类 （2）按性质分类
[有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数] [有理数正有理数正整数正分数0负有理数负整数负分数]
【评析】执教者引导学生系统复习有理数的定义、分类，有利于学生在类比旧知的基础上学习新知，实现新旧知识的自然过渡.
（一）探究无理数的定义
师：3，[-35，478，911，119，59]这些数都是有理数吗？
生：都是.
师：你能把有理数[3，-35，478，911，119，59]写成小数的形式吗？
生写出小数如下：
3=3.0，[-35]=-0.6，[478]=5.875，[911]=[0.81，][119=1.2，59=][0.5]
师：观察这些小数，你有什么发现？
生：有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.
师：是的.事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.（课件出示有理数的新定义：有限小数和无限循环小数统称为有理数）
生齐读有理数的定义.
师：除了有限小数和无限循环小数，想一想，还有其他类型的小数吗？
生：无限不循环小数，比如π.
师：无限不循环小数除了π之外，你还能说出哪些数？
生：[2=1.414…，3=1.732…]
师：无限不循环小数叫作无理数.（课件出示无理数的新定义，播放解析无理数定义的视频）
生观看视频，进一步理解无理数的概念.
师：观看视频后，你有什么收获？
生1：无限不循环小数叫作无理数.
生2：无理数必须同时满足两个条件，一是无限小数，二是不循环小数.
师：下列各组数是不是无理数？这些数分别有什么特点？[课件出示：①[-3，53，2-1];②π，-3π，[π2];③0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），
-17.3232232223…（两个3之间依次多一个2）]
生1：第①组都是无理数，都含有根号.
生2：第②组都是无理数，都含有π.
生3：第③组都是无理数，都有一定规律但不循环.
师：是的，从中我们可以发现，无理数有以下常见类型.①根号型，即开方开不尽的数;②含π型;③构造型，即构造出的有一定规律但不循环的无限小数.
【评析】执教者让学生参与无理数概念的建立和数系扩充的过程，提高了学生学习数学的兴趣，培养了学生的观察和发现能力.
（二）探究实数的分类
课件出示练习题：把下列各数分别填入相应的集合内.（检测学生能否区分有理数和无理数）
[227，3，][-83，]0.101，[π3，93，64，][2.15，][1916，]
0.3737737773…
有理数集合 无理数集合
师：带根号的数一定是无理数吗？
生：不一定，[-83=-2]是有理数.
师生共同讨论后得出结论：判定一个数是不是无理数应该先进行化简或计算.
师：学习了有理数和无理数，你认为有理数和无理数属于哪一类数的范畴呢？（课件出示实数的定义：有理数和无理數统称为实数）
师：类比有理数的分类方法，我们如何将实数进行分类？
生讨论，有的说按定义分类，有的说按性质分类，有的说按大小分类. 师：请同学们根据自己的想法，将实数进行分类.
学生代表上台板书实数的分类，其余学生分小组讨论，在导学案中写出实数的分类.师收集各小组的导学案，投影呈现具有代表性的分类方法，学生辨析正误.
师生总结实数的分类如下：
（1）按定义进行分类
（2）按正负数进行分类
师：我们对实数进行分类时，要做到“不重”“不漏”.现在，我们知道数字王国里的“神秘访客”和“司令”分别是谁了吗？
生：“神秘访客”是无理数，“司令”是实数.
师：正确！通过学习，我们知道数的范畴扩大到了实数.下面我们通过做练习来巩固新学的知识.
课件出示习题：装扮“数字树”.要求：拿到“树干”的同学上台装扮“数字树”，其余同学把手中的数字贴在“数字树”的相应位置.
[2π3，]3.141592，[53，]20，
[36，][63，]-3.33，[273，]
-11，1.5151151115…（每两个5之间多一个1），[14]]
【评析】执教者引导学生对实数进行分类，明确分类的基本原则是“不重”“不漏”，渗透了分类的数学思想.在这个过程中，执教者善于培养学生从不同角度思考问题，促使学生加深对无理数、实数的概念的理解.最后，执教者揭开数字王国里“神秘访客”和“司令”的神秘面纱，有利于学生进一步理解实数、有理数、无理数的关系.教学中设计的小游戏、小练习，提高了学生参与课堂的积极性，有利于学生巩固新知识.
（三）探究实数与数轴的对应关系
课件出示练习题：找出下列有理数0，3.6，[-113]在数轴上的对应点（如图2）.
师：有理数都可以用数轴上的点表示吗？
生：可以.
师：反过来，数轴上的点都表示有理数吗？请认真观察下面的演示（如图3），你有什么发现？
课件演示：从原点出发，圆分别向数轴的左边和右边滚动一周（圆的直径为1），观察终点落在的位置对应的是什么数？
生：直径为1的圆的周长是π，所以，当圆向数轴的左边滚动一周，终点落在的位置对应的数表示-π，向数轴的右边滚动一周，终点落在的位置对应的数表示π.
师：通过演示，我们可以发现，数轴上的点除了可以表示有理数，还可以表示什么数？
生：无理数.
课件出示习题：剪一剪，拼一拼.你能用两个边长为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形吗？拼接出来的面积为2的大正方形的边长是多少？
生动手操作，拼出面积为2的大正方形（如图4），边长为[2].
师：大正方形的边长和边长为1的小正方形的对角线长有什么关系？
学：边长为1的小正方形的对角线长为[2].
师：你能在数轴上表示出[2，][-2]吗？
生分小组探究，师用动画演示（如图5）.
生得出结论：无理数[2]和[-2]也可以用数轴上的点表示.
师：每个无理数都可以用数轴上的一个点来表示.如果将全部有理数都标注在数轴上，数轴会不会被填满？
生：不会，因为数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数.
师：将全部无理数都标注在数轴上，数轴会被填满吗？
生：不会，因为数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数.
师：将所有的有理数和无理数都标注在数轴上，数轴会被填满吗？
生：填满了.
师生总结归纳得出结论：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.也就是说，实数与数轴上的点是一一对应关系.
课件出示习题如下：
请将数轴上的各点与实数[2，]-1.5，[5，]π，3对应起来，然后比较它们的大小（用“<”连接，如图6）.
师：在做练习过程中你有什么发现？
生：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.
【评析】执教者设计习题，请学生在数轴上表示π，[±2]的位置，从而明确无理数也可以用数轴上的点表示，最后得出实数与数轴上的点一一对应的结论.借助数轴研究无理数，有利于学生进一步体会数形结合的数学思想，学会迁移运用.
三、课堂小测，总结归纳
师出示习题如下.
1.判断下列说法是否正确，在后面的括号内打“√”或“×”.
（1）实数不是有理数就是无理数.（ ）
（2）无理数都是无限不循环小数.（ ）
（3）带根号的数都是无理数.（ ）
（4）无理数一定都带根号.（ ）
（5）无理数都是无限小数.（ ）
（6）无限小数都是无理数.（ ）
2.在[53，][3.17，]0.12，[-32，]0，[643]这6个数中，无理数的个数表达正确的是（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列说法错误的是（ ）.
A.没有最小的正数.
B.无理数分为正无理数、0、负无理数.
C.无理数都可以用数轴上的点来表示.
D.正分数既是有理数又是实数.
4.把-π，[-13，][7，]-1.5，[9，][503，]3這些数分别填入相应的集合里.
（1）正有理数集合：
（2）正无理数集合： （3）负有理数集合：
（4）负实数集合：
【评析】学生通过做练习，回顾学习过程，加深了对新知识的理解，提高了运用知识解决问题的能力.
师：通过这节课的学习，你学到了哪些新知识？谈谈你的收获.
生1：学习了无理数和实数的概念，掌握了实数的分类方法，知道实数与数轴上的点是一一对应的关系.
生2：我明白了数形结合的数学思想，知道利用类比有理数的分类方法对实数进行分类.
师：当数由有理数扩充到实数以后，相反数和绝对值的意义以及运算法则对于实数来说是否还适用呢？请同学们课后思考这个问题.
【评析】课尾，执教者请学生回顾、总结、梳理所学知识，将新知与旧知紧密联系，这样做有利于学生掌握数学学习方法.最后，执教者留下思考题，促使学生继续保持学习和探索的欲望.
【总评】
这节课坚持“学生为主体、教师为主导”的教学原则，以教师的“导”和学生的“究”作为课堂教学主线，渗透了数形结合、类比、从特殊到一般的数学思想.教学中，执教者熟练运用微视频、几何画板、手机投屏、智慧课堂等信息化教学手段辅助教学，使课堂教学生动灵活，增添了教学的趣味性，扩大了课堂容量，是一堂高效率的数学课，体现在以下几个方面.
第一，以“趣”激“学”.执教者先利用数字故事创设情境，吸引学生的注意力，激发学生的求知欲，然后以小视频解析无理数的定义，使知识难点变得直观、形象，易于学生理解，“拼数字树”游戏活跃了课堂氛围，调动了学生参与课堂学习的积极性.
第二，教学目标明确，课堂主线清晰.这节课的知识目标是使学生了解无理数和实数的概念，能对实数进行分类;能力目标是使学生通过类比有理数，探究无理数和实数的概念，培养分析、推理、总结、归纳的能力.教学中，执教者首先引导学生复习有理数的概念，然后引导学生从生活中发现无理数，再设疑引导学生类比有理数的分类方法探究无理数的定义、特征以及实数的分类.整个课堂教学脉络清晰，学生思维活跃.
第三，渗透类比、数形结合等数学思想.在教学无理数的定义和实数的分类时，执教者引导学生利用类比的方法探究新知，实现了知识的内化与迁移.另外，通過几何画板演示π，[±2]等无理数与数轴上的点的关系，使学生能够直观形象地理解无理数、有理数、实数之间的关系，学会运用数形结合的方法学习新知识.
第四，执教者基本功扎实，善于驾驭课堂.课堂教学过渡自然，选题有层次，符合学生的认知规律.执教者在教学中能够熟练运用信息化教学设备和教学手段，增添了教学的趣味性，提高了教学效率.
（该课例曾获评广西2019年“一师一优课、一课一名师”活动自治区级“优课”）
（责编 欧孔群）