摘要：2017年上海数学高考第一次不分文理试卷，虽然绝大多数题都不难，但也有几道难度极高的题，网上已能看到全部试题，不过网上公开的几道难题的解答均是错误的。现将第12、20、21题解答如下，以供同仁们参考指正。
　　关键词：2017上海数学高考12、20、21题；解答；函数
　　12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1，P2，P3，P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线lP，使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧。用D1（lP）和D2（lP）分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP的距离之和。若过P的直线lP中有且只有一条满足D1（lP）=D2（lP），则Ω中所有这样的P为。
　　建立如图所示的平面直角坐标系，并如图标记四个“▲”的点分别为A1，A2，A3，A4。
　　显然P1（0，4），P2（3，2），P3（4，2），P4（6，5），A1（1，0），A2（0，3），A3（4，4），A4（7，1）。
　　为以下书写方便，记P（m，n），Ai=（xi，yi），i=1，2，3，4。
　　设过P的直线lP方程为：a（x-m） b（y-n）=0（a，b不全为零）。
　　引入点A（x0，y0）到直线l：ax by c=0的有向距离：δA=ax0 by0 ca2 b2。
　　由有向距离的定义，在直线同侧的两点到该直线的有向距离同号，异侧的两点到该直线的有向距离异号，故题设中过P的直线lP满足D1（lP）=D2（lP），即意味着∑4i=1δAi=0，
　　即∑4i=1a（xi-m） b（yi-n）a2 b2=0，亦即a（∑4i=1xi-4m） b（∑4i=1yi-4n）=0。
　　将A1（1，0），A2（0，3），A3（4，4），A4（7，1）代入，得a（12-4m） b（8-4n）=0（1）。
　　将P1（0，4）代入（1）得12a-8b=0，a∶b=2∶3，符合D1（lP）=D2（lP）的lP只能为
　　2x 3（y-4）=0，符合题意；
　　将P2（3，2）代入（1）得0×a-0×b=0，过P2（3，2）的任意一条直线都符合D1（lP）=D2（lP），不符合题意；
　　将P3（4，2）代入（1）得-4a 0×b=0，a=0，符合D1（lP）=D2（lP）的lP只能为y-2=0，符合题意；
　　将P4（6，5）代入（1）得-12a-12b=0，a=-b，符合D1（lP）=D2（lP）的lP只能为
　　（x-6）-（y-5）=0，符合题意。
　　综上所述，Ω中所有这样的P为P1，P3，P4。
　　20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆F：x24 y2=1，A为F的上顶点，P为F上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点。
　　（3） 若|MA|=|MP|，直线AQ与F交于另一点C，且AQ=2AC，PQ=4PM，求直线AQ的方程。
　　易得A（0，1），设P（x0，y0）（x0≠0），M（m，0）（m>0），Q（xQ，yQ），C（xC，yC）。
　　由|MA|=|MP|，得m2 1=（m-x0）2 y20，
　　兩边平方，m2 1=m2-2mx0 x20 y20，化简得-2mx0 x20 y20-1=0（1）。
　　又由P为F上异于上、下顶点的动点，可知x204 y20=1（x0≠0），
　　即y20-1=-x204代入（1）式得-2mx0 x20-x204=0，
　　即-2mx0 3x204=0，又x0≠0得m=38x0，由m>0知x0>0。
　　因为PQ=4PM，即（xQ-x0，yQ-y0）=4（m-x0，-y0）得
　　xQ-x0=4（m-x0），
　　yQ-y0=-4y0，整理得
　　xQ=4m-3x0=-32x0<0，
　　yQ=-3y0（2）
　　由AQ=2AC得点C为AQ中点，xC=xQ2=-34x0，yC=yQ 12=-3y0 12。
　　因为点P，C都是椭圆上的点，故
　　x204 y20=1，
　　-34x024 -3y0 122=1，
　　即x20 4y20=4，
　　9x20 16（3y0-1）2=64，
　　36y20-16（3y0-1）2=36-64，整理得27y20-24y0-3=0，解得y0=-19（因为x0>0，故y0≠1），进而得x0=859，即C（-253，23），又A（0，1），故直线AQ的方程为y=510x 1。
　　21. 设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈R，当x1　　（3） 设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值。h（x）=f（x）g（x）。证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”。
　　证明充分性：略
　　必要性：设定义在R上的周期函数g（x）的一个正周期为Tg，h（x）的一个正周期为Th。
　　因为M是g（x）的最大值，故存在实数x0满足g（x0）=M。
　　记集合A={x|x=x0 kTg，k∈Z}，显然对任意的x∈A，均有g（x）=M。
　　下面采用反证法证明f（x）是常值函数：
　　假设f（x）不是常值函数，则存在实数x1≠x2，f（x1）≠f（x2）。
　　不妨假设x1　　在集合A中取一个元素a，满足a>x2，显然g（a）=M，再取足够大的正整数n，使得
　　a-nTh　　又h（a-nTh）=h（a），即f（a-nTh）g（a-nTh）=f（a）g（a），而f（x），g（x）都恒大于0，
　　所以g（a-nTh）>g（a）=M，这与M是g（x）的最大值矛盾，所以f（x）不是常值函数的假设不成立，f（x）是常值函数，必要性证毕。
　　作者简介：
　　俞红，上海市，上海中学。