本文考虑作用在l2(Z)上的一维离散拟周期薛定谔算子,即H:k2(Z)→l2(Z)(Hα,λ,v,xu)n:=un+1+un-1+λv(x+nα)un Z其中,是圆周上的二阶光滑的余弦型位势函数,α是丢番图频率,λ>1是稱合常数.本文主要结果分为以下的三大主题:第一部分中我们主要证明了,上述算子对应的李雅普诺夫指数(下记LE)作为能量的函数是1/2-H(?)lder连续的.进一步,我们证明了谱集合中存在一个全测的子集(记作FR),LE在该集合上是局部Lipschitz连续的;存在一个零测集(记作EP),LE在该集合上是精确的局部1/2-H(?)lder连续的.对任意给定1/2到1之间的数β,我们可以找到对应的能量E(β)使得LE在E(β)处的H(?)lder指数介于任意β-∈和β+∈之间(∈>0).第二部分我们证明了谱集合作为康托集,其每一个谱间隙都是打开的,并且对每个谱间隙的长度都进行了上下界的估计.第三部分我们证明了积分态密度(IDS)关于能量E是绝对连续的.我们将在第一章介绍研究课题的历史背景和最新的研究进展.紧接着,我们详细地表述本文的三个主要结论.第二章我们介绍一些预备知识以及本文的证明工具.第一节我们将介绍薛定谔算子与薛定谔cocycle的关系,LE的定义以及相关性质,旋转数以及积分态密度的相关概念和性质等.第二节我们将介绍如何利用经典的大偏差理论与雪崩原理证明LE正则性.接着,我们会介绍本文的主要证明工具-Wang和Zhang发展的有限光滑矩阵估计技术,并给出了一些技术性的引理.在他们的工作的基础上,我们给出了几个核心引理,它们在后续证明主要结论时扮演着重要的角色.第三章,我们将证明本文的第一个主要结论:LE局部和全局的正则性.我们将该证明分成几个小部分:我们首先给出共振以及谱集合的分类(FR,EP).并给出了谱集的一些拓扑性质,接着我们按照前面的分类分别证明了 FR上的局部Lipschitz和EP上的局部精确1/2-H(?)lder连续性,随后证明了其它能量的正则性.本章最后,结合前面得到的结论,我们证明了LE的全局1/2-H(?)lder连续性.第四章我们将证明本文的第二个结论.我们先借助[43]的结论,将问题转化为求[43]中所找到的每个谱间隙上的旋转数.再借助前面证明LEB时用到的一些技巧和结论,对轨道进行了精细的刻画和估计,计算出了每个谱间隙所对应的旋转数,从而证明了本文的第二个结论:上述算子对应的谱是“dry”的康托集(即每一个谱间隙都是开集).同时,我们还对谱间隙的上下界进行了估计.第五章我们借助第三章关于谱集合的分类以及第四章的证明工具,再结合实分析对绝对连续性的刻画,完成了积分态密度的绝对连续性的证明.