摘要：不等式的解法。
　　关键词：不等式
　　Abstract: the method of inequality.
　　Keywords: inequality
　　中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）
　　 1.比较法
　　 (1)作差比较法
　　知道a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此要证明a＞b，只要证明即可，这种方法称为作差比较法．
　　(2)作商比较法
　　由a＞b＞0⇔＞1且a＞0，b＞0，因此当a＞0，b＞0时要证明a＞b，只
　　要证明＞1即可，这种方法称为作商比较法．
　　设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．
　　证明：由a，b是非负实数，作差得
　　a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)
　　＝(－)()5－()5)．
　　当a≥b时，≥， 从而()5≥()5，
　　得(－)(()5－()5)≥0；
　　当a　　得(－)(()5－()5)>0.
　　所以a3＋b3≥(a2＋b2)．
　　例2．设a>b>0，求证：>
　　证明：∵a>b>0，
　　∴a＋b>0，a－b>0.
　　∴＝·＝
　　＝＝1＋>1.
　　∴>.
　　2．综合法
　　从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，即“由因导果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法．
　　例3设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.
　　求证：(1)a＋b＋c≥；
　　(2)＋＋≥(＋＋)．
　　证明：(1)要证a＋b＋c≥，由于a，b，c>0，
　　因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.
　　即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
　　而ab＋bc＋ca＝1，
　　故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．
　　即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
　　而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋
　　＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．
　　∴原不等式成立．
　　(2)＋＋＝.
　　在(1)中已证a＋b＋c≥.
　　因此要证原不等式成立，只需证明≥＋＋，
　　即证a＋b＋c≤1，
　　即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.
　　而a＝≤，
　　b≤，c≤.
　　∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c＝时等号成立)．
　　∴原不等式成立．
　　3．分析法
　　证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件 ，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定理、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．
　　例4. (2011·安徽高考)(1)设x≥1，y≥1,
　　证明x＋y＋≤＋＋xy；
　　(2)设1　　logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
　　（巧思）对于问题(1)，由于不等式的两侧既有整式又有分式，故可考虑先将不等式的两侧均转化为整式，然后利用作差法证明；
　　对于问题(2)，由于1　　证明：(1)由于x≥1，y≥1，
　　∴x＋y＋≤＋＋xy ⇒⇐ xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
　　将上式中的右式减左式，得
　　[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
　　＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
　　既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．
　　(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得
　　logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.
　　于是，所要证明的不等式即为
　　x＋y＋≤＋＋xy，
　　又由于1　　其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.
　　故由(1)可知所要证明的不等式成立．
　　4．反证法
　　先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．
　　例5. 已知f(x)＝x2＋px＋q，
　　求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.
　　证明：假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于，
　　则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2，
　　而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|
　　≥|f(1)＋f(3)－2f(2)|
　　＝|(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)|＝2，出现矛盾．
　　∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.
　　5．放缩法
　　证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放或缩简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．
　　设a，b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2，求证：1　　例6. 设a，b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2，求证：1　　证明：∵a>0，b>0且a≠b，
　　∴a3－b3＝a2－b2可化為a2＋ab＋b2＝a＋b.
　　∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>a2＋ab＋b2＝a＋b.∴a＋b>1.
　　又∵(a＋b)2>4ab.
　　∴a＋b＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab>(a＋b)2－(a＋b)2.
　　即(a＋b)2　　∴a＋b<.∴1　　6.数学归纳法
　　用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立推证n＝k＋1时也成立，用上归纳假设后，可以采用分析法、综合法、比较法、放缩法等方法去证明，以前学过的证明不等式的方法都可以应用．
　　例7. 设{xn}是由x1＝2，xn＋1＝＋(n∈N*)定义的数列．
　　求证：不等式＜xn＜＋(n∈N*)．
　　证明：∵x1＝2，由xn＋1＝＋，
　　∴xn＞0.∴xk＋1＝＋＞2 ＝.
　　所以xn＞(n∈N*)显然成立．
　　下面证明：xn＜＋(n∈N*)．
　　(1)当n＝1时，x1＝2＜＋1，不等式成立．
　　(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即xk＜＋，又∵xk＞，∴＜，
　　那么，当n＝k＋1时，xk＋1＝＋＜＋＋＝＋≤ ＋，
　　即xk＋1＜＋.即n＝k＋1时，结论也成立．综合(1)(2)知，结论成立．
　　7.柯西不等式
　　使用柯西不等式的一般形式求最值时，关键是结合已知条件构造两个适当的数值，变形为柯西不等式的形式
　　例8.若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝6，求＋＋
　　的最大值．
　　解：由柯西不等式得
　　(＋＋)2
　　＝(1×＋1×＋1×)2
　　≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)
　　＝3(2×6＋4)＝48.
　　∴＋＋≤4.
　　当且仅当＝＝，
　　即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立，
　　又a＋b＋c＝6，∴a＝，b＝，c＝时，
　　＋＋有最大值4.