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通常三角变换的基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式；第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.常见的一些三角变换策略有如下几种：
一、变“角”
【例题1】 已知tan(α+β)=25，tan(β－π4)=14，那么tan(α+π4)的值是 .
【分析】 已知的是角α+β和β－π4的正切值，要求的是角α+π4的正切值，都是正切，函数名称没有问题.因此首先要找角α+β、β－π4和角α+π4之间的关系，注意到已知角中含有β，而目标角中没有，从消元的角度可以发现α+π4=(α+β)－(β－π4).
【解】 由α+π4=(α+β)－(β－π4)知：
tan(α+π4)=tan［(α+β)－(β－π4)］=tan(α+β)－tan(β－π4)1+tan(α+β)tan(β－π4)
=25－141+25×14=322
【例题2】 2cos5°-sin25°cos25°的值为 ．
【分析】 条件中出现了2个角：5°和25°，要求出该式的值，想把两个角直接消去有困难，因此要注意到2个角之间的关系：5°+25°=30°，从而把条件中的5°表示为5°=30°－25°，进而进行化简再求值.
【解】由已知得：2cos5°-sin25°cos25°
＝2cos(30°-25°)-sin25°cos25°＝3cos25°cos25°＝3.
【例题3】 已知sin(α－π6)=35，α∈(0,π2)，则sinα= .
【分析】 已知的是角α－π6的正弦值，要求的是α的正弦值，从复杂到简单，用公式展开然后再与sin2α+cos2α=1联成方程组，通过对方程组的求解得到sinα的值.这是本题的第一个思路，也是常规的思路.但是如果注意到π6是特殊角，利用角的变换可以把α表示为(α－π6)+π6，那么运算将有所简化.
【解】 因为α∈(0,π2)，所以α－π6∈(－π6,π3)，
于是cos(α－π6)=1－sin2(α－π6)=45
故sinα=sin［(α－π6)+π6］=sin(α－π6)cosπ6+cos(α－π6)sinπ6=33+410.
角的变换是三角变换的核心，要注意已知角与目标角的变换、已知角与特殊角的变换、两角与其和差角的变换等. 常见的变换有：
α=(α+β)－β，
2α=(α+β)+(α－β)=(π4+α)－(π4－α)，2α=(β+α)－(β－α)，α+β=2•α+β2，α+β2=(α－β2)－(α2－β)，π4+α=π2－(π4－α)；等等.
二、变“名”
【例题4】 求［2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)］•2sin280°的值．
【分析】 已知条件中含有正弦和正切，首先切化弦，然后两次逆用两角和差的公式.
【解】 ［2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)］•2sin280°
＝［2sin50°＋sin10°cos10°+3sin10°cos10°］•2sin80°
＝［2sin50°＋2sin10°12cos10°+32sin10°cos10°］•2cos10°
＝22［sin50°•cos10°＋sin10°•cos(60°－10°)］
＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.
【例题5】 已知tanα=－43，求下列各式的值：
（1）6sinα+cosα3sinα－2cosα；
（2）13sin2α－2sinαcosα.
【分析】 已知条件中是正切函数，目标中是正弦和余弦函数，都是关于正弦和余弦的齐次式，因此可以把目标中的正弦和余弦变换为正切，然后求值.
【解】 （1）6sinα+cosα3sinα－2cosα=6tanα+13tanα－2，因为tanα=－43，所以原式=76；
（2）13sin2α－2sinαcosα=sin2α+cos2α3sin2α－2sinαcosα
=tan2α+13tan2α－2tanα=2572
切化弦和弦化切是三角变换中最常见、最基本的两种方法，若所给的三角式中出现了正切函数，则可以利用同角三角函数基本关系将正切函数化为正弦和余弦函数进行求解、证明.
三、变“式”
【例题6】 3sin220°－1cos220°+64sin220°＝ .
【分析】 通分之后先利用平方差公式因式分解，然后逆用两角和与差的正余弦公式以及二倍角公式进行化简求值.
【解】 3sin220°－1cos220°+64sin220°
＝3cos220°－sin220°sin220°cos220°+64sin220°
＝(3cos20°+sin20°)(3cos20°－sin20°)sin220°cos220°+64sin220°
＝2sin(20°+60°)•2sin(60°－20°)sin220°cos220°+64sin220°
＝16sin80°•sin40°sin240°+64sin220°
＝32cos40°+32(1－cos40°)＝32.
【例题7】 求值：(1+tan1°)(1+tan2°)…(1+tan44°)(1+tan45°).
【解】 由1=tan45°=tan(1°+44°)=tan1°+tan44°1－tan1°tan44°
tan1°+tan44°+tan1°tan44°=1
得:(1+tan1°)(1+tan44°)=1+tan1°+tan44°+tan1°tan44°=1+1=2
同理可得:(1+tan2°)(1+tan43°)=2，…,(1+tan22°)(1+tan23°)=2，
故原式=222•2=223.
使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式用活显得更加重要，这是学好三角函数的基本功．
四、“1”的变换
【例题8】 化简：1+sinα-cosα1+sinα+cosα＋1+cosα+sinα1-cosα+sinα.
【分析】 这里的1可以看成sin2α2+cos2α2与sinα=2sinα2cosα2构造完全平方公式，也可以与cosα放在一起构造二倍角公式，然后进行化简.
【解法1】 ∵1+sinα-cosα1+sinα+cosα
＝2sin2α2+2sinα2cosα22cos2α2+2sinα2cosα2＝tanα2，
∴原式＝tanα2＋1tanα2＝2sinα.
【解法2】 1+sinα-cosα1+sinα+cosα
=(sinα2+cosα2)2-(cosα2+sinα2)(cosα2-sinα2)(sinα2+cosα2)2+(cosα2+sinα2)(cosα2-sinα2)
=(sinα2+cosα2)•2sinα2(sinα2+cosα2)•2cosα2
=2sinα22cosα2
=tanα2，
∴原式＝tanα2＋1tanα2＝2sinα.
1的变化较多，在三角变换中，1可以是sin2α+cos2α、tanαcotα、tanπ4、sinπ2、cos0，也可以是-（cos2α－2cos2α）或cos2α+2sin2α，要选择合适的公式灵活运用.
三角变换要遵循“三看”原则：一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分与组合，从而正确使用公式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等.
（作者：丁连根，姜堰市第二中学)
一、变“角”
【例题1】 已知tan(α+β)=25，tan(β－π4)=14，那么tan(α+π4)的值是 .
【分析】 已知的是角α+β和β－π4的正切值，要求的是角α+π4的正切值，都是正切，函数名称没有问题.因此首先要找角α+β、β－π4和角α+π4之间的关系，注意到已知角中含有β，而目标角中没有，从消元的角度可以发现α+π4=(α+β)－(β－π4).
【解】 由α+π4=(α+β)－(β－π4)知：
tan(α+π4)=tan［(α+β)－(β－π4)］=tan(α+β)－tan(β－π4)1+tan(α+β)tan(β－π4)
=25－141+25×14=322
【例题2】 2cos5°-sin25°cos25°的值为 ．
【分析】 条件中出现了2个角：5°和25°，要求出该式的值，想把两个角直接消去有困难，因此要注意到2个角之间的关系：5°+25°=30°，从而把条件中的5°表示为5°=30°－25°，进而进行化简再求值.
【解】由已知得：2cos5°-sin25°cos25°
＝2cos(30°-25°)-sin25°cos25°＝3cos25°cos25°＝3.
【例题3】 已知sin(α－π6)=35，α∈(0,π2)，则sinα= .
【分析】 已知的是角α－π6的正弦值，要求的是α的正弦值，从复杂到简单，用公式展开然后再与sin2α+cos2α=1联成方程组，通过对方程组的求解得到sinα的值.这是本题的第一个思路，也是常规的思路.但是如果注意到π6是特殊角，利用角的变换可以把α表示为(α－π6)+π6，那么运算将有所简化.
【解】 因为α∈(0,π2)，所以α－π6∈(－π6,π3)，
于是cos(α－π6)=1－sin2(α－π6)=45
故sinα=sin［(α－π6)+π6］=sin(α－π6)cosπ6+cos(α－π6)sinπ6=33+410.
角的变换是三角变换的核心，要注意已知角与目标角的变换、已知角与特殊角的变换、两角与其和差角的变换等. 常见的变换有：
α=(α+β)－β，
2α=(α+β)+(α－β)=(π4+α)－(π4－α)，2α=(β+α)－(β－α)，α+β=2•α+β2，α+β2=(α－β2)－(α2－β)，π4+α=π2－(π4－α)；等等.
二、变“名”
【例题4】 求［2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)］•2sin280°的值．
【分析】 已知条件中含有正弦和正切，首先切化弦，然后两次逆用两角和差的公式.
【解】 ［2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)］•2sin280°
＝［2sin50°＋sin10°cos10°+3sin10°cos10°］•2sin80°
＝［2sin50°＋2sin10°12cos10°+32sin10°cos10°］•2cos10°
＝22［sin50°•cos10°＋sin10°•cos(60°－10°)］
＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.
【例题5】 已知tanα=－43，求下列各式的值：
（1）6sinα+cosα3sinα－2cosα；
（2）13sin2α－2sinαcosα.
【分析】 已知条件中是正切函数，目标中是正弦和余弦函数，都是关于正弦和余弦的齐次式，因此可以把目标中的正弦和余弦变换为正切，然后求值.
【解】 （1）6sinα+cosα3sinα－2cosα=6tanα+13tanα－2，因为tanα=－43，所以原式=76；
（2）13sin2α－2sinαcosα=sin2α+cos2α3sin2α－2sinαcosα
=tan2α+13tan2α－2tanα=2572
切化弦和弦化切是三角变换中最常见、最基本的两种方法，若所给的三角式中出现了正切函数，则可以利用同角三角函数基本关系将正切函数化为正弦和余弦函数进行求解、证明.
三、变“式”
【例题6】 3sin220°－1cos220°+64sin220°＝ .
【分析】 通分之后先利用平方差公式因式分解，然后逆用两角和与差的正余弦公式以及二倍角公式进行化简求值.
【解】 3sin220°－1cos220°+64sin220°
＝3cos220°－sin220°sin220°cos220°+64sin220°
＝(3cos20°+sin20°)(3cos20°－sin20°)sin220°cos220°+64sin220°
＝2sin(20°+60°)•2sin(60°－20°)sin220°cos220°+64sin220°
＝16sin80°•sin40°sin240°+64sin220°
＝32cos40°+32(1－cos40°)＝32.
【例题7】 求值：(1+tan1°)(1+tan2°)…(1+tan44°)(1+tan45°).
【解】 由1=tan45°=tan(1°+44°)=tan1°+tan44°1－tan1°tan44°
tan1°+tan44°+tan1°tan44°=1
得:(1+tan1°)(1+tan44°)=1+tan1°+tan44°+tan1°tan44°=1+1=2
同理可得:(1+tan2°)(1+tan43°)=2，…,(1+tan22°)(1+tan23°)=2，
故原式=222•2=223.
使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式用活显得更加重要，这是学好三角函数的基本功．
四、“1”的变换
【例题8】 化简：1+sinα-cosα1+sinα+cosα＋1+cosα+sinα1-cosα+sinα.
【分析】 这里的1可以看成sin2α2+cos2α2与sinα=2sinα2cosα2构造完全平方公式，也可以与cosα放在一起构造二倍角公式，然后进行化简.
【解法1】 ∵1+sinα-cosα1+sinα+cosα
＝2sin2α2+2sinα2cosα22cos2α2+2sinα2cosα2＝tanα2，
∴原式＝tanα2＋1tanα2＝2sinα.
【解法2】 1+sinα-cosα1+sinα+cosα
=(sinα2+cosα2)2-(cosα2+sinα2)(cosα2-sinα2)(sinα2+cosα2)2+(cosα2+sinα2)(cosα2-sinα2)
=(sinα2+cosα2)•2sinα2(sinα2+cosα2)•2cosα2
=2sinα22cosα2
=tanα2，
∴原式＝tanα2＋1tanα2＝2sinα.
1的变化较多，在三角变换中，1可以是sin2α+cos2α、tanαcotα、tanπ4、sinπ2、cos0，也可以是-（cos2α－2cos2α）或cos2α+2sin2α，要选择合适的公式灵活运用.
三角变换要遵循“三看”原则：一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分与组合，从而正确使用公式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等.
（作者：丁连根，姜堰市第二中学)