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[摘要]高中数学教学中,一切解题策略的基本出发点在于“变换”,即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题,以通过解决新题,发现原题的解题思路,最终达到解决原题的目的.基于这样的认识,从构造函数、构造空间几何体、构造函数三个方面讲述用构造法解决数学问题的优势.
[关键词]高中数学解题方法构造法
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058(2015)290041
构造法是数学教学中的重要思想方法.近观这几年的高考题,常可见构造法的踪影.用构造法解决问题实际上是一种“思维构造”的过程,是培养学生创造性思维能力的一种有效方法.下面介绍一些常用的构造方法.
一、构造辅助函数
由于函数的定义严谨、图像直观、性质内容丰富、实用性强,所以在研究一些问题时,可通过观察问题的特征,变更问题里相关的代数式,由此引入新的函数,从而解决问题.
【例1】已知函数f(x)=lnx.(1)求函数g(x)=f(x 1)-x的最大值;(2)当02a(b-a)a2 b2.
分析:(1)过程略.f(x)=f(x 1)-x的最大值为0.
(2)这是函数和不等式的综合问题,利用函数最值证明不等式是常用的方法.于是,学生简单审题后会想到一种思路:把a,b其中一个看做是自变量x,构造函数,于是有以下解法.
解:令F(x)=lnb-lnx-
2x(b-x)x2 b2,∴F′(x)=-1x-2b3-4b2x-2bx2(x2 b2)2
.(化简过程略)
∵0F(b),原不等式得证.
很明显,此种构造函数的方法中间运算较繁琐,学生在解题中要么钻进“死胡同”,要么运算错误,要想准确无误地解出来比较困难.
思考1:能否变形转化,使构造的函数简单些呢?
思考2:注意到2a(b-a)a2 b2
<2ab-2a22ab=1-ab
,利用不等式的传递性,再构造函数.
评注:构造函数法因题而异,具有一定的创造性,需要一定的技巧.好的构造可以“四两拨千斤”.有的可以通过作差、作商法直接构造函数;有的根据特征类比构造函数;有的需要适当变形合理构造函数;有的需要等价转化间接构造函数.在教学时,要提醒学生注重审题,寻找适当的方法,加强学生思维的锻炼.
二、构造空间几何体
立体几何的研究对象是空间图形,其教学的首要目标在于培养和提高学生的空间想象力.因此,可以说立体几何的教学是始于构图,行于识图,止于用图.有些问题用直接法求解比较困难,甚至是无从下手,这时如果能依据题设条件,构造出符合要求的几何体,将已知嵌入其中,则可“柳暗花明”.
【例2】某几何体的一条棱长为7,在该几何体的主视图中,这条棱的投影是长为6的线段;在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a b的最大值为.
分析:根据题意及三视图知识,我们的脑海里可立即显现出一个长方体模型,其对角线l长为7,l在两个侧面和底面上的投影(即三个矩形的对角线)分别为6,a和b,则在设出长方体模型的棱长为x,y,z后,由x2 y2 z2=7,x2 y2=6,y2 z2=a2,x2 z2=b2,得到a2 b2=8,从而a b≤2(a2 b2)=4.
评注:长方体是特殊的六面体,是立体几何中的基本几何体,其结构对称,各元素之间具有相等、平行、垂直等关系,内容丰富,是研究线线、线面、面面关系的一个特殊的几何体.若能够根据题意恰当地构造出长方体,则可达到事半功倍的效果.
三、构造数列
等差、等比数列作为特殊的数列,其结构比较特殊,若能很好地加以利用,就能化繁为简.比如,在解决一些三角求值试题时,虽然常规方法可解,但有时计算量比较大.若能根据试题的结构特征,构造出特殊的数列,则解题方法简捷,别具一格.
【例3】若cosα 2sinα=-5,则tanα=.
分析:本题是2008年全国高考试题,常规解法可以结合sin2α cos2α=1,利用方程思想求解,但计算量较大.所以可以把2sinα,
-52,cosα
看成等差数列.设公差为d,从而可令cosα=-52 t,2sinα=-52-t,得(-54-t2)2 (-52 t)2=1,化简后,解得t=
3510
,故cosα=-55,sinα=-255
,因而tanα=2.
评注:本题根据给出条件的结构特征,通过类比联想,将条件式子重新整合为特殊的结构形式,使之转化为简单、熟悉的等差数列,将三角函数的求值问题转化为整式的求值运算.解题方法新颖,可谓别有洞天.另外,对于一些涉及正整数的不等式的证明问题,也可考虑构造数列.
(责任编辑钟伟芳)
[关键词]高中数学解题方法构造法
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058(2015)290041
构造法是数学教学中的重要思想方法.近观这几年的高考题,常可见构造法的踪影.用构造法解决问题实际上是一种“思维构造”的过程,是培养学生创造性思维能力的一种有效方法.下面介绍一些常用的构造方法.
一、构造辅助函数
由于函数的定义严谨、图像直观、性质内容丰富、实用性强,所以在研究一些问题时,可通过观察问题的特征,变更问题里相关的代数式,由此引入新的函数,从而解决问题.
【例1】已知函数f(x)=lnx.(1)求函数g(x)=f(x 1)-x的最大值;(2)当02a(b-a)a2 b2.
分析:(1)过程略.f(x)=f(x 1)-x的最大值为0.
(2)这是函数和不等式的综合问题,利用函数最值证明不等式是常用的方法.于是,学生简单审题后会想到一种思路:把a,b其中一个看做是自变量x,构造函数,于是有以下解法.
解:令F(x)=lnb-lnx-
2x(b-x)x2 b2,∴F′(x)=-1x-2b3-4b2x-2bx2(x2 b2)2
.(化简过程略)
∵0
很明显,此种构造函数的方法中间运算较繁琐,学生在解题中要么钻进“死胡同”,要么运算错误,要想准确无误地解出来比较困难.
思考1:能否变形转化,使构造的函数简单些呢?
思考2:注意到2a(b-a)a2 b2
<2ab-2a22ab=1-ab
,利用不等式的传递性,再构造函数.
评注:构造函数法因题而异,具有一定的创造性,需要一定的技巧.好的构造可以“四两拨千斤”.有的可以通过作差、作商法直接构造函数;有的根据特征类比构造函数;有的需要适当变形合理构造函数;有的需要等价转化间接构造函数.在教学时,要提醒学生注重审题,寻找适当的方法,加强学生思维的锻炼.
二、构造空间几何体
立体几何的研究对象是空间图形,其教学的首要目标在于培养和提高学生的空间想象力.因此,可以说立体几何的教学是始于构图,行于识图,止于用图.有些问题用直接法求解比较困难,甚至是无从下手,这时如果能依据题设条件,构造出符合要求的几何体,将已知嵌入其中,则可“柳暗花明”.
【例2】某几何体的一条棱长为7,在该几何体的主视图中,这条棱的投影是长为6的线段;在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a b的最大值为.
分析:根据题意及三视图知识,我们的脑海里可立即显现出一个长方体模型,其对角线l长为7,l在两个侧面和底面上的投影(即三个矩形的对角线)分别为6,a和b,则在设出长方体模型的棱长为x,y,z后,由x2 y2 z2=7,x2 y2=6,y2 z2=a2,x2 z2=b2,得到a2 b2=8,从而a b≤2(a2 b2)=4.
评注:长方体是特殊的六面体,是立体几何中的基本几何体,其结构对称,各元素之间具有相等、平行、垂直等关系,内容丰富,是研究线线、线面、面面关系的一个特殊的几何体.若能够根据题意恰当地构造出长方体,则可达到事半功倍的效果.
三、构造数列
等差、等比数列作为特殊的数列,其结构比较特殊,若能很好地加以利用,就能化繁为简.比如,在解决一些三角求值试题时,虽然常规方法可解,但有时计算量比较大.若能根据试题的结构特征,构造出特殊的数列,则解题方法简捷,别具一格.
【例3】若cosα 2sinα=-5,则tanα=.
分析:本题是2008年全国高考试题,常规解法可以结合sin2α cos2α=1,利用方程思想求解,但计算量较大.所以可以把2sinα,
-52,cosα
看成等差数列.设公差为d,从而可令cosα=-52 t,2sinα=-52-t,得(-54-t2)2 (-52 t)2=1,化简后,解得t=
3510
,故cosα=-55,sinα=-255
,因而tanα=2.
评注:本题根据给出条件的结构特征,通过类比联想,将条件式子重新整合为特殊的结构形式,使之转化为简单、熟悉的等差数列,将三角函数的求值问题转化为整式的求值运算.解题方法新颖,可谓别有洞天.另外,对于一些涉及正整数的不等式的证明问题,也可考虑构造数列.
(责任编辑钟伟芳)