（贵州省绥阳县儒溪中学 贵州绥阳563305）
　　
　　摘要：本文就笔者教学中的一些体会，谈谈数列中几种常见题型的通项公式的求法，以供大家参考。
　　关键词： 中学 数列 通项公式 求法
　　
　　求数列的通项公式是数列一章的重点内容，也是高考中的常见考点，然而由于数列部分的性质较多，题目条件复杂多变，给学生的解答带来相当大的麻烦，以下就我在教学中的一些体会谈谈数列中几种常见题型的通项公式的求法，以供大家参考：
　　
　　一、直接利用定义、性质、相关数列判定的充要条件以及已知等差或等比数列中的其中几项，求其通项公式, 这里就不再举例。
　　 S1（n=1）
　　二、利用an= 求通项公式。
　　Sn- Sn-1（n≥2）
　　例. 设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1=4an+2
　　（n∈N*），bn=an 2n ，求数列{bn}的通项公式。
　　解：∵an+1= sn+1-sn =4an- 4an-1
　　∴an+1-2an =2（an-2an-1）（n≥2）
　　∴数列{an+1-2an}是以公比为2的等比数列。
　　∴an+1－2an=(a2－a1)•2n-1=3•2n-1,又bn=an2n
　　∴bn+1-bn=1 2n+1 （an+1-2an）=1 2n+1 •3•2n-1=34 ，而b1=12
　　∴数列{bn}是以12 为首项，公差为34 的等差数列
　　即bn=34 n-14
　　三、将已知条件作适当变形，便可求其通项公式
　　例1. 已知数列{an}，a1=1，an=2an-1+1（n≥2）
　　求其通项公式
　　解：利用待定系数法，设an-k=2（an-1-k）
　　由已知an=2an-1+1 得k=-1
　　∴an+1=2（an-1+1）（n≥2）
　　∴数列{an+1}是一个以2为首项，2为公比的等差数列
　　∴an+1=2n即an=2n-1
　　此法适用于已知an=kan-1+b（k、b为常数）型，求通项公式
　　例2. 已知数列{an}中，a1=3，且an+1=an2（n为正整数），求数列{an}的通项公式。
　　解：由a1=3，且an+1=an2（n的正整数）
　　∴1gan+1=21gan
　　数列{1gan}是以首项为1g3，公比为2的等比数列
　　∴1gan=1g3•2n-1∴log3an=2n-1 即an=32
　　此法适用于已知an＝an-1k（k为常数），利用两边取对数的方法进行转化。
　　例3. 设数列{an}是首项为1的正项数列，且
　　（n+1）a2n+1-nan2+an+1•an=0（n为正整数）求数列{an}的通项公式。
　　解∵（n+1）a2n+1-nan2+an+1•an=0（n为正整数）
　　∴[（n+1）an+1-nan][ an+1+an]=0
　　又数列{ an}是首项为1的正项数列，所以an+1+an＞0
　　∴（n+1）an+1-nan=0 即an+1 an =n n+1
　　∴anan-1 •an-1an-2 •…•a2a1 =n-1n •n-2n-1 •…•12
　　∴an = 1n •a1= 1n
　　这里用到了叠乘消项的方法，从而求得an。
　　四、其它方法
　　例1. 在数列{an}中，a1=5，an+1= an+4n-1（n∈N*），求数列{ an }的通项公式：
　　解：由an+1= an+4n-1
　　∴an= an—1+4（n-1）-1
　　 an—1= an—2+4（n-2）-1
　　 ……
　　a2=a1+4×1-1
　　∴an=4[1+2+3+…+（n-1）]+（-1）•（n-1）+ a1
　　 =4•1+（n-1）2 •（n-1）-（n-1）+5
　　 =2n2-3n+6
　　这里用到了叠加的方法转化为等差数列求和，于是便求得an
　　例2. 已知数列{ an }满足a1=1，an=3n—1+an—1（n≥2），求数列{an}的通项公式：
　　解：由an=3n-1+an-1（n≥2）
　　∴an=3n-1+（3n-2+ an-2）
　　=3n-1+3n-2++3n-3+an-3
　　………
　　 =3n-1+3n-2++3n-3+…+3+a1
　　=3（1-3n-1）1-3 +1=3n-12
　　而n=1时，a1=3-12 =1符合已知，所以an= 3n-12 （n∈N*）。
　　这里用到了迭代法转化为等比数列求和，从而求得an。
　　例3. 设数列{an}对所有的正整整n都满足：
　　a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8-5n，求an
　　解：由a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8-5n（n≥2）①
　　∴a1+2a2+22a3+…2n—2an—1=8-5（n-1） ②
　　由①-②得
　　2n-1an=（8-5n）[8-5（n-1）]
　　∴an= - 52n-1 （n≥2）
　　而n=1时，由已知得a1=8-5×1=3
　　3（n=1）
　　∴an=
　　- 52n-1（n≥2）
　　本题是通过消去条件中的含a1到an-1的项，转化为含有an和n的关系式，于是求出an，但要注意当n=1时的情况。
　　以上只是几种常见题型数列通项公式的某一种求法，对于已知递推式求通项公式的题目,还可以尝试迭代法或数学归纳法，在此不再举例。这里所举方法，仅让大家注意题型而也，若有不当之处，敬请广大同仁指正。
　　作者简介：高明旭，中学一级教师，贵州省绥阳县儒溪中学任教，563305。