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摘 要：著名数”学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。在实际教学中，“数”辅助“形”，可以将“数”形象化；“形”辅助“数”，可以使“数”直观化。学生在研究数学问题时，由数思形、见形思数、数形结合考虑问题是一种常用的思想方法。用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。实践证明，数形结合与抽象思维协同运用，和谐发展，是全面提高学生素质的重要方法之一，在数学教学中有至关重要作用和地位。
关键词：数形结合；小学教学；应用
“数”与“形”之间密不可分，它们相互转化，相辅相成。在课堂教学中适当地利用数形结合，把握好数形结合之度，就可以使问题化难为易，化繁为简。在引进新知、建构概念、解决问题时，还可激发学生的学习兴趣，有利于发展学生的想象力及提高学生的思维能力。
初中数学中，已将数形结全的思想完全融入教学中，尤其从目前的新教材看来，不再把数学课划分为“代数”、“几何”，而是综合为一门数学课，这样更有利于“数”与“形”的结合。小学数学中虽然不像初中数学那样，将数形结合的思想系统化，但作为学习数学的启蒙和基础阶段，数形结合的思想已经渐渐渗透其中，为更好的学习数与代数空间与图形两方面的知识服务，同时也在培养抽象思维，解决实际问题方面起了较大的作用。
一、数形结合在理解运算的运用
小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。教师在教学过程中借助图形的直观性可以将抽象的数学运算形象化、简单化，给学生以直观感，让学生以多种感官充分感知，在形成表象的基础上理解数学的本质，解决数学问题，形成数学思想的目的。在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。” 根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。
1、在“分数乘分数”教学中我们可以创设以下数形结合的情境：我们学校暑假期间粉刷了部分教室（出示粉刷墙壁的画面），提出问题：装修工人每小时粉刷这面墙的1/5，1/4小时可以这面墙的几分之几？在引出算式1/5×1/4后，教师采用三步走的策略：第一，学生独立思考后用图来表示出1/5×1/4这个算式。第二，小组同学相互交流，优生可以展示自己画的图形，交流自己的想法，引领后进生。后进生受到启发后修改自己的图形，更好地理解1/5×1/4这个算式所表示的意义。第三，全班点评，请一些画得好的同学去展示、交流。也请一些画得不对的同学谈谈自己的问题以及注意事项。这样让学生亲身经历、体验 “数形结合”的过程，学生就会看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解分数乘分数的算理。如果教师的教学流于形式，学生的脑中就不会真正地建立起“数和形”的联系。
2、在“有余数除法”教学中我们可以创设以下情境帮助学生学习：9根小棒，能搭出几个正方形？要求学生用除法算式表示搭正方形的过程。生：9÷4师：结合图我们能说出这题除法算式的商吗？生：2，可是两个搭完以后还有1根小棒多出来。师反馈板书：9÷4=2……1，讲解算理。师：看着这个算式，教师指一个数，你能否在小棒图中找到相对应的小棒？……通过搭建正方形，大家的脑像图就基本上形成了，这时教师作了引导，及时抽象出有余数的除法的横式、竖式，沟通了图、横式和竖式各部分之间的联系。这样，学生有了表象能力的支撑，有了真正地体验，直观、明了地理解了原本抽象的算理，初步建立了有余数除法的竖式计算模型。学生学得很轻松，理解得也比较透彻。
二、数形结合在理解各种公式和定义中的应用
在学习有关的数学公式和定义时，如果只是让学生死记公式，这样只会将知识学死，不利于学生思维的发散如果学生稍微碰到有变化的图形问题，就不能灵活解决。
1、学长方形周长公式的时候，就让学生借助图形充分理解公式的含义，求长方形周长大体有三种方法：①长+宽+长+宽，②长×2+宽×2，③（长+宽）×2，通过对学生的前测，我发现学生对于前两种方法应用的比较多，第三种应用的比较少。还有一部分学生对于第三种方法没有形象上的认识，只是知道有这样一个公式可以求长方形的周长，知其然，而不知所以然。于是我们可以设计让学生边说边摆小棒的方法介绍第三种求周长的方法。
2、《三角形的三边关系》一课，教师让学生想象一下，3，4，5三条线段围咸的三角形会是什么样子的？然后来看一看这个三角形。通过课件演示，这样的三边称作勾三股四弦五，之后又让学生感悟三条边长度分别是3、3、3的三角形，这三条线段围成的三角形是怎样的呢？课件再演示，师又让学生了解，三条边相等是等边三角形，也叫做正三角形。
“在知识的建构过程中，积累是十分必要的，但这不是知识的简单叠加或量变，更需要对知识的深化、突破、超越或质变。”老师学生先看3，4，5三条线段会组成一个怎样的三角形？在脑中建立一个三角形，做到“见数思形”，然后再通过课件的演示，出示具体的三角形，在“数形结合”中老师通过讲解，帮助学生建立“勾三股四弦五”三角形的概念，由此方法理解各类三角形，深化本堂课的知识目标。从“勾三股四弦五”直角三角形的想象到等边、等腰三角形的勾勒，通过这样一种方式引起了学生的思考和讨论，在把三角形三边知识一步步引向深入的同时，让学生自己去发现规律、纠正和补充错误或片面的认识，加深对所学知识的理解。
三、数形结合在解决应用题中的应用
数形结合是帮助学生分析数量关系，正确解答应用题的有效途径。它不仅有助于学生逻辑思维与形象思维协调发展，相互促进，提高学生的思维能力，而且有助于培养学生的创新思维和数学意识。
1、医院包扎用的三角巾是底和高各为9分米的等腰三角形。现有一块长72分米，宽18分米的白布，问最多可以做这样的三角巾多少块？有些学生列出了算式：72×18÷（9×9÷2），但有些学生根据题意画出了示意图，列出72÷9×（18÷9）×2、72×18÷（9×9）×2和72÷9×2×（18÷9）等几种算式。在上面这个片段中，数形结合很好地促进学生联系实际，灵活解决数学问题，而且还有效地防止了学生的生搬硬套，打开了学生的解题思路，由不会解答到用多种方法解答，学生变聪明了。
2、参加乒乓球兴趣小组的共有80人，其中男生占60%，后又有一批男生加入，这时男生占总人数的2/3。问后来又加入男生多少人？先把题中的数量关系译成图形，再从图形的观察分析可译成：若把原来的总人数80人看作5份，则男生占3份，女生占2份，因而推知现在的总人数为6份，加入的男生为6-5=1份，得加入的男生为80÷5=16（人）。从这题不难看出：“数”、“形”互译的过程。既是解题过程，又是学生的形象思维与抽象思维协同运用、互相促进、共同发展的过程。由于抽象思维有形象思维作支持，从而使解法变得十分简明扼要而巧妙。
3、“某班有57人，报名参加数学活动社团的有30人，参加英语口语社团的有38人，两项都没有参加的有7人，那么同时参加数学活动和英语口语的有多少人？”解决这一题我们就可以很好地利用韦恩图来表示此题中的数量关系。从图中我们可以清楚地看出，参加学生社团共57-7=50人，而參加英语口语和数学活动之和是30+38=68人，68比50多18人，而这18人正好就是参加两项的人数，也正好是英语口语和数学活动两者的交集部分，即同时参加了数学活动和英语口语两项学生社团。
总之，数形结合可以为将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍之效。最关键一点，能使抽象枯燥的数学知识，形象化具体化，使得数学教学变得充满乐趣，相信巧妙地运用数形结合，一定会引导学生由怕数学、厌数学变成爱数学。
（作者单位：山东省菏泽市牡丹区胡集镇刘庄完小）
关键词：数形结合；小学教学；应用
“数”与“形”之间密不可分，它们相互转化，相辅相成。在课堂教学中适当地利用数形结合，把握好数形结合之度，就可以使问题化难为易，化繁为简。在引进新知、建构概念、解决问题时，还可激发学生的学习兴趣，有利于发展学生的想象力及提高学生的思维能力。
初中数学中，已将数形结全的思想完全融入教学中，尤其从目前的新教材看来，不再把数学课划分为“代数”、“几何”，而是综合为一门数学课，这样更有利于“数”与“形”的结合。小学数学中虽然不像初中数学那样，将数形结合的思想系统化，但作为学习数学的启蒙和基础阶段，数形结合的思想已经渐渐渗透其中，为更好的学习数与代数空间与图形两方面的知识服务，同时也在培养抽象思维，解决实际问题方面起了较大的作用。
一、数形结合在理解运算的运用
小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。教师在教学过程中借助图形的直观性可以将抽象的数学运算形象化、简单化，给学生以直观感，让学生以多种感官充分感知，在形成表象的基础上理解数学的本质，解决数学问题，形成数学思想的目的。在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。” 根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。
1、在“分数乘分数”教学中我们可以创设以下数形结合的情境：我们学校暑假期间粉刷了部分教室（出示粉刷墙壁的画面），提出问题：装修工人每小时粉刷这面墙的1/5，1/4小时可以这面墙的几分之几？在引出算式1/5×1/4后，教师采用三步走的策略：第一，学生独立思考后用图来表示出1/5×1/4这个算式。第二，小组同学相互交流，优生可以展示自己画的图形，交流自己的想法，引领后进生。后进生受到启发后修改自己的图形，更好地理解1/5×1/4这个算式所表示的意义。第三，全班点评，请一些画得好的同学去展示、交流。也请一些画得不对的同学谈谈自己的问题以及注意事项。这样让学生亲身经历、体验 “数形结合”的过程，学生就会看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解分数乘分数的算理。如果教师的教学流于形式，学生的脑中就不会真正地建立起“数和形”的联系。
2、在“有余数除法”教学中我们可以创设以下情境帮助学生学习：9根小棒，能搭出几个正方形？要求学生用除法算式表示搭正方形的过程。生：9÷4师：结合图我们能说出这题除法算式的商吗？生：2，可是两个搭完以后还有1根小棒多出来。师反馈板书：9÷4=2……1，讲解算理。师：看着这个算式，教师指一个数，你能否在小棒图中找到相对应的小棒？……通过搭建正方形，大家的脑像图就基本上形成了，这时教师作了引导，及时抽象出有余数的除法的横式、竖式，沟通了图、横式和竖式各部分之间的联系。这样，学生有了表象能力的支撑，有了真正地体验，直观、明了地理解了原本抽象的算理，初步建立了有余数除法的竖式计算模型。学生学得很轻松，理解得也比较透彻。
二、数形结合在理解各种公式和定义中的应用
在学习有关的数学公式和定义时，如果只是让学生死记公式，这样只会将知识学死，不利于学生思维的发散如果学生稍微碰到有变化的图形问题，就不能灵活解决。
1、学长方形周长公式的时候，就让学生借助图形充分理解公式的含义，求长方形周长大体有三种方法：①长+宽+长+宽，②长×2+宽×2，③（长+宽）×2，通过对学生的前测，我发现学生对于前两种方法应用的比较多，第三种应用的比较少。还有一部分学生对于第三种方法没有形象上的认识，只是知道有这样一个公式可以求长方形的周长，知其然，而不知所以然。于是我们可以设计让学生边说边摆小棒的方法介绍第三种求周长的方法。
2、《三角形的三边关系》一课，教师让学生想象一下，3，4，5三条线段围咸的三角形会是什么样子的？然后来看一看这个三角形。通过课件演示，这样的三边称作勾三股四弦五，之后又让学生感悟三条边长度分别是3、3、3的三角形，这三条线段围成的三角形是怎样的呢？课件再演示，师又让学生了解，三条边相等是等边三角形，也叫做正三角形。
“在知识的建构过程中，积累是十分必要的，但这不是知识的简单叠加或量变，更需要对知识的深化、突破、超越或质变。”老师学生先看3，4，5三条线段会组成一个怎样的三角形？在脑中建立一个三角形，做到“见数思形”，然后再通过课件的演示，出示具体的三角形，在“数形结合”中老师通过讲解，帮助学生建立“勾三股四弦五”三角形的概念，由此方法理解各类三角形，深化本堂课的知识目标。从“勾三股四弦五”直角三角形的想象到等边、等腰三角形的勾勒，通过这样一种方式引起了学生的思考和讨论，在把三角形三边知识一步步引向深入的同时，让学生自己去发现规律、纠正和补充错误或片面的认识，加深对所学知识的理解。
三、数形结合在解决应用题中的应用
数形结合是帮助学生分析数量关系，正确解答应用题的有效途径。它不仅有助于学生逻辑思维与形象思维协调发展，相互促进，提高学生的思维能力，而且有助于培养学生的创新思维和数学意识。
1、医院包扎用的三角巾是底和高各为9分米的等腰三角形。现有一块长72分米，宽18分米的白布，问最多可以做这样的三角巾多少块？有些学生列出了算式：72×18÷（9×9÷2），但有些学生根据题意画出了示意图，列出72÷9×（18÷9）×2、72×18÷（9×9）×2和72÷9×2×（18÷9）等几种算式。在上面这个片段中，数形结合很好地促进学生联系实际，灵活解决数学问题，而且还有效地防止了学生的生搬硬套，打开了学生的解题思路，由不会解答到用多种方法解答，学生变聪明了。
2、参加乒乓球兴趣小组的共有80人，其中男生占60%，后又有一批男生加入，这时男生占总人数的2/3。问后来又加入男生多少人？先把题中的数量关系译成图形，再从图形的观察分析可译成：若把原来的总人数80人看作5份，则男生占3份，女生占2份，因而推知现在的总人数为6份，加入的男生为6-5=1份，得加入的男生为80÷5=16（人）。从这题不难看出：“数”、“形”互译的过程。既是解题过程，又是学生的形象思维与抽象思维协同运用、互相促进、共同发展的过程。由于抽象思维有形象思维作支持，从而使解法变得十分简明扼要而巧妙。
3、“某班有57人，报名参加数学活动社团的有30人，参加英语口语社团的有38人，两项都没有参加的有7人，那么同时参加数学活动和英语口语的有多少人？”解决这一题我们就可以很好地利用韦恩图来表示此题中的数量关系。从图中我们可以清楚地看出，参加学生社团共57-7=50人，而參加英语口语和数学活动之和是30+38=68人，68比50多18人，而这18人正好就是参加两项的人数，也正好是英语口语和数学活动两者的交集部分，即同时参加了数学活动和英语口语两项学生社团。
总之，数形结合可以为将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍之效。最关键一点，能使抽象枯燥的数学知识，形象化具体化，使得数学教学变得充满乐趣，相信巧妙地运用数形结合，一定会引导学生由怕数学、厌数学变成爱数学。
（作者单位：山东省菏泽市牡丹区胡集镇刘庄完小）