论文部分内容阅读
熟练地解答各种数学题目并能选择合适的教学方法使学生形成正确的解题方法和技能是小学数学教师必备的专业技能。在长期的教学实践中，小学数学教师要有意识地进行解题锤炼、琢磨，努力形成解题技能和解体的教学策略，我们将这个过程称为“磨题”。我们认为“磨题”主要表现在三个层面上：一是把题目做出来；二是能深刻理解题目的内涵，会并能熟练地用多种方法解答，能弄清各种解法之间的联系；三是能考虑到各种解法与学生间的适应性，即什么样的解法适合什么样的学生？从而选择相应的教学方法和策略。
“磨题”的关键是能深刻领会题目的内涵，尽可能用多种方法解答，且弄清各种解法之间的联系。在教师自己全面准确把握了题目的内涵和解法之后，更重要的是能考虑到各种解法与学生间的适应性，即选择合适的解法以适应不同的学生。应该说“磨题”最终目的是为了让学生更好地掌握解题的方法和技巧，而这一目的的实现仅靠教师个体并不能达到，只有通过教师之间的对话和研讨才能实现！
例如，我们组织小数教学后备骨干教师进行的一次“磨题”互动中，就以著名的“鸡兔同笼”问题为研究的素材，进行了一次深入的研究。
一、弄清什么是“鸡兔同笼”
老师们通过查阅资料了解到“鸡兔同笼”问题是我国古代著名趣题。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？
还了解到日本人又称“鸡图同笼”为“龟鹤问题”（龟鹤共有100个头,350只脚，龟、鹤各多少只？），在俄罗斯有人称其为“人狗问题”（一队猎人一队狗，两队并成一队走。数头一共是十二，数脚一共四十二。人、狗各多少？）
二、獨立探究，寻求多种解法
为便于计算，我们改变了数据出示了这样一道例题：鸡兔同笼共8只，数脚共有22只，鸡、兔各有多少只？让大家来共同研究。
首先，让教师们自行解答，由他们自主探究不同的解法，力求多种解法！其次，大组交流各自的解法，由主持人将解法一一板书下来，便于梳理和对比。因此出现了以下多种丰富的解法。
解法一：画图法。假设8只都是鸡，画8个圆圈表示8只鸡头，每个圆圈下再画2只脚，而题目中说是22只脚，还少6只脚，所以将其中的三只鸡在添上2只脚，这样就补全了22只脚。这种方法，称为画图补脚法。
解法二：列表法。因为鸡兔共有8只，所以通过列举出：“鸡的只数” 、“兔的只数” 和 “腿的只数”也可以求到鸡、兔各有多少只。
解法三：方程法。设鸡有x只，那么兔有（8-x）只，可列出方程2x+4(8-x)=22,从而求到鸡、兔的只数。
解法四：假设8只都是鸡，则脚的只数是16只（8×2），比实际的少了6只（22-16），那么就必须用兔子去换鸡，一只兔换掉一只鸡就会多出两只脚（4-2），那么，少掉的6只脚就必须用3只兔子去换3只鸡，即6÷（4-2）。
解法五：假设8只都是兔，则脚的只数是32只（8×4），比实际的多了10只（32-22），那么就必须用鸡去换兔子，一只鸡换掉一只兔就会少掉出两只脚（4-2），那么，多出的10只脚就必须用5只兔子去换5只鸡，即10÷（4—2）。
三、加强交流，享受不同的解读
老师们在列举出五、六种解法之后并未停止，而是进一步对列举出的解法进行了深入地思考，出现了不少精彩的解读。
1. 对应于解法一，有老师提出了画图去脚法，即先画成8只兔，然后逐步去掉2只脚就得到了鸡的只数。
2. 对应于解法四，有老师是这样解读的。让每只鸡兔都具有“特异功能”，鸡飞起来，兔立起来，这时立在地上的脚全是兔的，它的脚数就是22-8×2=6只，因此兔的只数有6÷2=3只，进而知道鸡有5只。鸡兔具有“特异功能”——想得巧！
3. 对应于解法五，有老师是这样解读的。把每只鸡的两个翅膀也当作脚，那么每只鸡就有4只脚，与兔的脚数相同，则鸡兔共有脚8×4=32只，多了32-22=10只脚，这就是鸡的翅膀数，所以鸡有10÷2=5只，兔有8-5=3只。把鸡翅膀当作脚——想得妙！
4.还有老师是这样想的：让每只鸡都一只脚站立着，每只兔都用两只后脚站立着，那么地上的总脚数只是原来的一半，即11只脚。鸡的脚数与头数相同，而兔的脚数是兔的头数的2倍，因此从11里减去头数8，剩下来的就是兔的头数11-8=3只，鸡有8-3=5只。金鸡独立，兔子作揖——想得奇！
5.对“金鸡独立，兔子作揖”还有更奇特的解读：让每只兔子又长出一个头来，然后将它劈开，变成“一头两脚”的两只“半兔”，半兔与鸡都是两只脚，因而共有22÷2=11只鸡兔，11-8=3只，这就是兔子的数目，（因为每只兔子变为两只“半兔”，只数增加1只），当然鸡就有8-3=5只。把兔“劈开”成“半兔”——想得特！
通过对话交流，老师们对“鸡图同笼”的解答有了进一步的认识，在分享解读的过程中，达到了融会贯通之目的。
四、建构模型，发挥名题的作用
在积极寻求和充分理解了“鸡图同笼”问题的解法和思路之后，老师们对这一问题的实质进行了提炼。从代数的角度思考，可以用二元一次方程去解答。同时作为有趣的算术题，对初学算术四则应用题的学生的逻辑推理能力和运算技巧很有帮助。许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法来求解。关键是要找准变形后的“鸡”、“兔”，或者说要认清题目中的“怪鸡”和“怪兔”。老师们对常见的一些应用题进行了分析、归纳。
1. 12张乒乓球台上同时有34人正进行乒乓球比赛，正在进行单打和双打比赛的球台各有几张？（鸡2脚，兔4脚，共12头，34脚，问：鸡？只，兔？只。）
2. 30枚硬币,由2分和5分组成,共值9角9分,2分、5分硬币各有多少枚？（鸡2脚，兔5脚，共30头，99脚，问：鸡？只，兔？只。）
3. 小松鼠采蘑菇，晴天每天可以采20个，雨天每天可以采12个。6天后共采集蘑菇88个。求晴天有多少天？雨天呢？（怪鸡12脚，怪兔20脚，共8头，112脚，问：怪鸡？只，怪兔？只。）
4. 工地上运来长度分别为8米和5米的两种规格的管子共25根，现在用它们铺设管道一共铺设了173米。工地上运来两种管道各多少根？（怪鸡5脚，怪兔8脚，共25头，173脚，问：怪鸡？只，怪兔？只。）
由以上所举例子可见小学数学中的这类问题都可以转化成鸡兔同笼这个模型去解决。
“磨题”作为一种有效的教师校本研修方式，可以使教师有较为清晰的解题思路，并在反思中对比各种解法，从而寻求到最佳的解题思路。在“磨题”的历练过程中可以暴露思维的过程，梳理解题路径，体验思维的乐趣，感受学生解题的艰辛。更重要的是“磨题”为教师提供了专业对话的平台，在磨砺的过程中，发生思维的碰撞，分享思想的成果，从而真正促进数学教师的专业化发展！
“磨题”的关键是能深刻领会题目的内涵，尽可能用多种方法解答，且弄清各种解法之间的联系。在教师自己全面准确把握了题目的内涵和解法之后，更重要的是能考虑到各种解法与学生间的适应性，即选择合适的解法以适应不同的学生。应该说“磨题”最终目的是为了让学生更好地掌握解题的方法和技巧，而这一目的的实现仅靠教师个体并不能达到，只有通过教师之间的对话和研讨才能实现！
例如，我们组织小数教学后备骨干教师进行的一次“磨题”互动中，就以著名的“鸡兔同笼”问题为研究的素材，进行了一次深入的研究。
一、弄清什么是“鸡兔同笼”
老师们通过查阅资料了解到“鸡兔同笼”问题是我国古代著名趣题。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？
还了解到日本人又称“鸡图同笼”为“龟鹤问题”（龟鹤共有100个头,350只脚，龟、鹤各多少只？），在俄罗斯有人称其为“人狗问题”（一队猎人一队狗，两队并成一队走。数头一共是十二，数脚一共四十二。人、狗各多少？）
二、獨立探究，寻求多种解法
为便于计算，我们改变了数据出示了这样一道例题：鸡兔同笼共8只，数脚共有22只，鸡、兔各有多少只？让大家来共同研究。
首先，让教师们自行解答，由他们自主探究不同的解法，力求多种解法！其次，大组交流各自的解法，由主持人将解法一一板书下来，便于梳理和对比。因此出现了以下多种丰富的解法。
解法一：画图法。假设8只都是鸡，画8个圆圈表示8只鸡头，每个圆圈下再画2只脚，而题目中说是22只脚，还少6只脚，所以将其中的三只鸡在添上2只脚，这样就补全了22只脚。这种方法，称为画图补脚法。
解法二：列表法。因为鸡兔共有8只，所以通过列举出：“鸡的只数” 、“兔的只数” 和 “腿的只数”也可以求到鸡、兔各有多少只。
解法三：方程法。设鸡有x只，那么兔有（8-x）只，可列出方程2x+4(8-x)=22,从而求到鸡、兔的只数。
解法四：假设8只都是鸡，则脚的只数是16只（8×2），比实际的少了6只（22-16），那么就必须用兔子去换鸡，一只兔换掉一只鸡就会多出两只脚（4-2），那么，少掉的6只脚就必须用3只兔子去换3只鸡，即6÷（4-2）。
解法五：假设8只都是兔，则脚的只数是32只（8×4），比实际的多了10只（32-22），那么就必须用鸡去换兔子，一只鸡换掉一只兔就会少掉出两只脚（4-2），那么，多出的10只脚就必须用5只兔子去换5只鸡，即10÷（4—2）。
三、加强交流，享受不同的解读
老师们在列举出五、六种解法之后并未停止，而是进一步对列举出的解法进行了深入地思考，出现了不少精彩的解读。
1. 对应于解法一，有老师提出了画图去脚法，即先画成8只兔，然后逐步去掉2只脚就得到了鸡的只数。
2. 对应于解法四，有老师是这样解读的。让每只鸡兔都具有“特异功能”，鸡飞起来，兔立起来，这时立在地上的脚全是兔的，它的脚数就是22-8×2=6只，因此兔的只数有6÷2=3只，进而知道鸡有5只。鸡兔具有“特异功能”——想得巧！
3. 对应于解法五，有老师是这样解读的。把每只鸡的两个翅膀也当作脚，那么每只鸡就有4只脚，与兔的脚数相同，则鸡兔共有脚8×4=32只，多了32-22=10只脚，这就是鸡的翅膀数，所以鸡有10÷2=5只，兔有8-5=3只。把鸡翅膀当作脚——想得妙！
4.还有老师是这样想的：让每只鸡都一只脚站立着，每只兔都用两只后脚站立着，那么地上的总脚数只是原来的一半，即11只脚。鸡的脚数与头数相同，而兔的脚数是兔的头数的2倍，因此从11里减去头数8，剩下来的就是兔的头数11-8=3只，鸡有8-3=5只。金鸡独立，兔子作揖——想得奇！
5.对“金鸡独立，兔子作揖”还有更奇特的解读：让每只兔子又长出一个头来，然后将它劈开，变成“一头两脚”的两只“半兔”，半兔与鸡都是两只脚，因而共有22÷2=11只鸡兔，11-8=3只，这就是兔子的数目，（因为每只兔子变为两只“半兔”，只数增加1只），当然鸡就有8-3=5只。把兔“劈开”成“半兔”——想得特！
通过对话交流，老师们对“鸡图同笼”的解答有了进一步的认识，在分享解读的过程中，达到了融会贯通之目的。
四、建构模型，发挥名题的作用
在积极寻求和充分理解了“鸡图同笼”问题的解法和思路之后，老师们对这一问题的实质进行了提炼。从代数的角度思考，可以用二元一次方程去解答。同时作为有趣的算术题，对初学算术四则应用题的学生的逻辑推理能力和运算技巧很有帮助。许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法来求解。关键是要找准变形后的“鸡”、“兔”，或者说要认清题目中的“怪鸡”和“怪兔”。老师们对常见的一些应用题进行了分析、归纳。
1. 12张乒乓球台上同时有34人正进行乒乓球比赛，正在进行单打和双打比赛的球台各有几张？（鸡2脚，兔4脚，共12头，34脚，问：鸡？只，兔？只。）
2. 30枚硬币,由2分和5分组成,共值9角9分,2分、5分硬币各有多少枚？（鸡2脚，兔5脚，共30头，99脚，问：鸡？只，兔？只。）
3. 小松鼠采蘑菇，晴天每天可以采20个，雨天每天可以采12个。6天后共采集蘑菇88个。求晴天有多少天？雨天呢？（怪鸡12脚，怪兔20脚，共8头，112脚，问：怪鸡？只，怪兔？只。）
4. 工地上运来长度分别为8米和5米的两种规格的管子共25根，现在用它们铺设管道一共铺设了173米。工地上运来两种管道各多少根？（怪鸡5脚，怪兔8脚，共25头，173脚，问：怪鸡？只，怪兔？只。）
由以上所举例子可见小学数学中的这类问题都可以转化成鸡兔同笼这个模型去解决。
“磨题”作为一种有效的教师校本研修方式，可以使教师有较为清晰的解题思路，并在反思中对比各种解法，从而寻求到最佳的解题思路。在“磨题”的历练过程中可以暴露思维的过程，梳理解题路径，体验思维的乐趣，感受学生解题的艰辛。更重要的是“磨题”为教师提供了专业对话的平台，在磨砺的过程中，发生思维的碰撞，分享思想的成果，从而真正促进数学教师的专业化发展！