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浙江湖州埭溪中学 313023
摘要：本文就点P（x0，y0）在圆x2+y2=r2上、内、外三种情况，从点P（x0，y0）与直线l：x0x+y0y=r2成对的相互关系出发，引申到点P（x0，y0）与直线l：x0x+y0y=r2的垂线段为直径的圆与圆x2+y2=r2的相伴关系，然后推广到椭圆中类似的“点线相伴”和“椭圆与椭圆相伴”性质.
关键词：点线相伴；圆圆相伴；椭圆椭圆相伴
[⇩]两个命题及概念准备
命题1设点P（x0，y0），圆E：x2+y2=r2及直线l：x0x+y0y=r2，则：
（1）若点P在圆E外，则直线l与圆E相交；
（2）若点P在圆E上，则直线l与圆E相切于点P；
（3）若点P在圆E内，则直线l与圆E相离.
情况（2）很明确，但（1）（3）的相交、相离的具体位置的确定有待研究解决.
命题2到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆或直线. 当σ=1时，轨迹是直线；当σ>0且σ≠1时，轨迹是圆.
设两定点为A（－a，0），B（a，0）（a>0），距离之比为σ=（σ>0且σ≠1），则轨迹圆的方程是
x－a2+y2=
2（证明略）. 而且易知以下情况：
（1）若σ>1，则A在圆外，B在圆内；
（2）若0<σ<1，则A在圆内，B在圆外；
（3）若σ=1，则轨迹变成线段AB的中垂线，可以看成圆心无穷远，半径无穷大的圆；
（4）若σ→0，则轨迹就压缩成点A；若σ→+∞，则轨迹就压缩成点B.
命题1、2看似没关系，实际上有密不可分的联系，而且在圆锥曲线中存在一个有趣的“相伴”性质. 为了便于叙述，下面引入“相伴”的概念（仿照“相切”概念），并作一些知识准备.
定义1命题1所描述的P（x0，y0）及直线l：x0x+y0y=r2的位置配对叫做圆E的一对相伴点线. 情况（1）简称点伴线，情况（2）就是相切，情况（3）简称线伴点.
定义2命题2所得到的轨迹圆（圆F）与以AB为直径的圆（圆E）的位置配对叫做一对相伴圆（σ称为相伴常量）. 此相伴性是相互的.
若σ=1+时，两相伴圆大小相同（另一圆F的圆心为（a，0），半径为a），称为孪生相伴圆. 若σ=（或σ=）时，圆F的圆心为（－a，0）（或（a，0）），半径为2a，称为黄金相伴圆.
引理1若P（x0，y0）是二次曲线Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0上一点，则过点P的切线方程是Ax0x+By0y+（x0y＋xy0）+·（x0+x）+（y0+y）+F=0.
[⇩]命题1、2的联系及性质
定理1设点P（x0，y0）为圆E：x2+y2=r2外一点，过P作圆E的两切线PC，PD，则直线CD的方程是x0x+y0y=r2. 此时点P与直线CD是圆E的一对相伴点线.
[y][C][P][D][E][x]
图1
证明设C（x1，y1），D（x2，y2），则过C，D的切线方程分别为：
x1x+y1y=r2，①
x2x+y2y=r2.②
当x1y2≠x2y1时，两切线有交点P′（x0′，y0′）. 下面只要检验方程x0′x+y0′y=r2就是直线CD的方程即可. 由①②解得x0′=，y0′=，
则方程x0′x+y0′y=r2，即为r2x+r2y=r2.
所以（y1－y2）x+（x2－x1）y=x2y1－x1y2 .
即（y－y2）（x－x2）=（x1－x2）（y－y2），此方程即为直线CD的方程. 命题得证.
进一步可得到推广1（点伴线）.
推广1设点P（x0，y0）为圆E：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F>0）外一点，过P作圆E的两切线PC，PD，则直线CD的方程是x0x+y0y+（x0+x）+（y0+y）+F=0. 此时点P与直线CD是圆E的一对相伴点线（如图2）.
[C][P][D][x][E][O][y]
图2
定理2设P（x0，y0）为圆E：x2+y2=r2内一点，过点P且圆心在直线EP上的圆E的相伴圆为F. 若圆F与直线EP交于另一点Q，过点Q的圆F的切线为l，则点P与直线l是圆E的一对相伴点线（线伴点），且l的方程为x0x+y0y=r2（如图3）.
[B][F][E][A][Q][x][l][y][P][·]
图3
证明设直线EP交圆E于A，B，由相伴圆的定义知==σ，其中σ = ，且P分的比为σ，Q分的比为－σ. 由定比分点坐标公式易知点Q的坐标为
，
.
因直线l与直线EP垂直，故直线l的斜率kl=－，
所以直线l的方程为y- = -·x-
.
所以y0y-=-x0x+. 即x0x+y0y=r2. 命题得证.
而且由证明过程易得此时相伴圆F的方程是
x-
x02+y-
y02=.
容易验证有下列性质（如图4）：
[y][a][F][B][D][P][E][b][l][x][l0][l′][C][Q][A]
图4
（1）设圆E、圆F交于C，D，则点E与直线CD（即直线l0）是圆F的一对相伴点线（点伴线）；点F与直线l0是圆E的一对相伴点线（点伴线）. 即EC，ED与圆F相切，FC，FD与圆E相切.
（2）过点P作直线l′与圆F相切（即l′⊥EP），则点Q与直线l′是圆E的一对相伴点线（点伴线）.
（3）过点A，B分别作圆E的切线a，b，则点A与直线b是圆F的一对相伴点线（点伴线）；点B与直线a是圆F的一对相伴点线（线伴点）.
进一步可得到推广2（线伴点）.
推广2设P（x0，y0）为圆E：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F>0）内一点，过点P圆心在直线EP上的圆E的相伴圆为F，若圆F与直线EP交于另一点Q，过点Q的圆F的切线为l，则点P与直线l是圆E的一对相伴点线，且l的方程为
x0x+y0y+（x0+x）+（y0+y）+F=0（如图5）.
[A][E][O][P][B][F][Q][l][y][x]
图5
[⇩]相伴圆的收敛性和扩张性
由以上的性质和相伴性的定义知，在同一方向上的相伴圆有无数个，它们呈现一个系列，有收敛性和扩张性.
（1）如图6，圆E、圆F相伴，且交于两点C，D（CD即直线l0）. 圆F交直线EF于点P（圆E内）、F1（圆E外）；过点P，圆F的切线C1D1（即直线l1）交圆E于C1，D1，则过C1，D1，F1为圆心的圆F1与圆E相伴.
[F3][F2][F1][F][B][P][C][C1][C2][C3][P2][P3][E][A][D1][D2][D3][l0][l1][l2][l3]
图6
圆F1交直线EF于点P2（圆E内）、F2（圆E外）；过点P2，圆F1的切线C2D2（即直线l2）交圆E于C2，D2，则过C2，D2，F2为圆心的圆F2与圆E相伴.
圆F2交直线EF于点P3（圆E内）、F3（圆E外）；过点P3，圆F2的切线C3D3（即直线l1）交圆E于C3，D3，则过C3，D3，F3为圆心的圆F3与圆E相伴.
……
以此类推，产生一系列的圆Fn，都与E相伴；设EF交圆E于AB，当n→∞时，圆Fn就扩张成线段AB的中垂线.
（2）如图7，圆F与圆E相伴，且交于两点C，D（CD即直线l0），直线l0交EF于P1，则以P1F为直径的圆F1与圆E相伴.
[F][F1][C][C1][C2][C2][F2][F][P][B][P2][P1][P][E][A][D2][D1][D][l0][l1][l2][l3]
图7
圆F1与圆E相伴，且交于两点C1，D1（C1D1即直线l1），直线l1交EF于P2，则以P2F1为直径的圆F2与圆E相伴.
圆F2与圆E相伴，且交于两点C2，D2（C2D2即直线l2），直线l2交EF于P3，则以P3F2为直径的圆F3与圆E相伴.
……
以此类推，产生一系列的圆Fn，都与E相伴；设EF交圆E于AB，当n→∞时，圆Fn就收敛成点B（或点A）.
[⇩]椭圆中的相伴性
定理3已知椭圆E：+=1（a>b>0），点P（x0，y0）为椭圆外一点，过P作椭圆E的两切线PC，PD，则直线CD（即直线l）的方程是+=1（如图8）.
[y][C][E][D][l][x][P]
图8
证明作变换x′
=，
y′
=， 则椭圆在新坐标x′，y′下的方程为x′2+y′2=1.
点P在新坐标x′，y′下的坐标为
，
，则由定理1知新坐标x′，y′下直线CD的方程为·x′+·y′=1.
由变换公式换成原坐标得直线CD（即直线l）的方程是
+=1.
定理4已知椭圆E：+=1（a>b>0），点P（x0，y0）为椭圆内一点，设直线EP交椭圆E于A，B，P分的比为σ，直线EP上取一点Q，Q分的比为－σ；又分别设过A，B的椭圆E的切线为a，b，则过Q且与a，b平行的直线l的方程是+=1（如图9）.
[E][P][B][F][b][x][A][a][Q][l][y][A′][B′][l′]
图9
证明略. 可参考定理2、定理3的证明方法. 而且显然有：若设AB是椭圆E的一直径，AB的共轭直径为A′B′，则A′B′∥l.
定义3把定理3和定理4中的点P和直线l的位置配对叫做椭圆E的一对相伴点线.
如图9，若过P作一直线l′∥l，则夹在l′，l之间有一个特殊的椭圆F，其中椭圆F的中心F在直线EP上，对称轴与坐标轴平行，切l′，l于P，Q两点，则可定义如下：
定义4称上述的椭圆E、椭圆F的位置配对叫作一对相伴椭圆.
容易验证相伴椭圆有以下性质（如图10）：
[l′][B′][b][x][l0][D][B][F][P][E][C][A′][A][y][Q][l][a]
图10
（1）设椭圆E、椭圆F交于C，D，则点E与直线CD（即直线l0）是椭圆F的一对相伴点线（点伴线）；点F与直线l0是椭圆E的一对相伴点线（点伴线）. 即EC，ED与椭圆F相切，FC，FD与椭圆E相切.
（2）过点P作直线l′与椭圆F相切（即l′∥A′B′），则点Q与直线l′是椭圆E的一对相伴点线（点伴线）.
（3）过点A，B的椭圆E的切线为a，b，则点A与直线b是椭圆F的一对相伴点线（点伴线）；点B与直线a是椭圆F的一对相伴点线（线伴点）.
事实上，定理3、定理4也可以推广到非标准方程下的椭圆的情况.
推论3点P（x0，y0）关于椭圆Ax2+By2+Dx+Ey+F=0（点不在椭圆上）的相伴直线方程是
Ax0x+By0y+（x0+x）+（y0+y）+F=0.
[⇩]相关椭圆的收敛性和扩张性
和相伴圆一样，如图11，椭圆F、椭圆F1、椭圆F2、……、椭圆Fn都与椭圆E相伴，当n→∞时，椭圆F就扩张成直线A′B′.
[F][F1][B][F2][P3][P2][P1][P][E][A][A′][B′][l0][l1][l2][C][C1][C1][C2][l3][D2][D1][D]
图11
如图12，椭圆F、椭圆F1、椭圆F2、……、椭圆Fn都与椭圆E相伴，当n→∞时，椭圆Fn就收敛成点B.
[F2][F][F1][B][P3][P2][P][D][l1][D1][D2][D3][B′][l2][l3][l∞][l0][A][A′][C3][C2][C1][C][E]
图12
[⇩]相伴性的猜想
引理2任意两条离心率相等的圆锥曲线相似，如任意抛物线相似，任意圆相似等.
引理3任意指数类、对数类函数图象相似.
按相似曲线的变换法定义，引理2、引理3的证明并不难（本文证明略）.
圆、椭圆有相伴性，而且相伴曲线是相似的，那么猜测双曲线有相伴性，抛物线有相伴性，指数函数、对数函数图象也有相伴性. 而这还有待于进一步探索.
本文对相伴性的探索只是定性的，还没有进行过定量的分析.
笔者写此文来说明中学数学虽是数学的基础，但也可从中探宝. 本文仅起到抛砖引玉的作用，由于笔者能力有限，未进行深入探讨，望广大读者提出宝贵意见.
摘要：本文就点P（x0，y0）在圆x2+y2=r2上、内、外三种情况，从点P（x0，y0）与直线l：x0x+y0y=r2成对的相互关系出发，引申到点P（x0，y0）与直线l：x0x+y0y=r2的垂线段为直径的圆与圆x2+y2=r2的相伴关系，然后推广到椭圆中类似的“点线相伴”和“椭圆与椭圆相伴”性质.
关键词：点线相伴；圆圆相伴；椭圆椭圆相伴
[⇩]两个命题及概念准备
命题1设点P（x0，y0），圆E：x2+y2=r2及直线l：x0x+y0y=r2，则：
（1）若点P在圆E外，则直线l与圆E相交；
（2）若点P在圆E上，则直线l与圆E相切于点P；
（3）若点P在圆E内，则直线l与圆E相离.
情况（2）很明确，但（1）（3）的相交、相离的具体位置的确定有待研究解决.
命题2到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆或直线. 当σ=1时，轨迹是直线；当σ>0且σ≠1时，轨迹是圆.
设两定点为A（－a，0），B（a，0）（a>0），距离之比为σ=（σ>0且σ≠1），则轨迹圆的方程是
x－a2+y2=
2（证明略）. 而且易知以下情况：
（1）若σ>1，则A在圆外，B在圆内；
（2）若0<σ<1，则A在圆内，B在圆外；
（3）若σ=1，则轨迹变成线段AB的中垂线，可以看成圆心无穷远，半径无穷大的圆；
（4）若σ→0，则轨迹就压缩成点A；若σ→+∞，则轨迹就压缩成点B.
命题1、2看似没关系，实际上有密不可分的联系，而且在圆锥曲线中存在一个有趣的“相伴”性质. 为了便于叙述，下面引入“相伴”的概念（仿照“相切”概念），并作一些知识准备.
定义1命题1所描述的P（x0，y0）及直线l：x0x+y0y=r2的位置配对叫做圆E的一对相伴点线. 情况（1）简称点伴线，情况（2）就是相切，情况（3）简称线伴点.
定义2命题2所得到的轨迹圆（圆F）与以AB为直径的圆（圆E）的位置配对叫做一对相伴圆（σ称为相伴常量）. 此相伴性是相互的.
若σ=1+时，两相伴圆大小相同（另一圆F的圆心为（a，0），半径为a），称为孪生相伴圆. 若σ=（或σ=）时，圆F的圆心为（－a，0）（或（a，0）），半径为2a，称为黄金相伴圆.
引理1若P（x0，y0）是二次曲线Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0上一点，则过点P的切线方程是Ax0x+By0y+（x0y＋xy0）+·（x0+x）+（y0+y）+F=0.
[⇩]命题1、2的联系及性质
定理1设点P（x0，y0）为圆E：x2+y2=r2外一点，过P作圆E的两切线PC，PD，则直线CD的方程是x0x+y0y=r2. 此时点P与直线CD是圆E的一对相伴点线.
图1
证明设C（x1，y1），D（x2，y2），则过C，D的切线方程分别为：
x1x+y1y=r2，①
x2x+y2y=r2.②
当x1y2≠x2y1时，两切线有交点P′（x0′，y0′）. 下面只要检验方程x0′x+y0′y=r2就是直线CD的方程即可. 由①②解得x0′=，y0′=，
则方程x0′x+y0′y=r2，即为r2x+r2y=r2.
所以（y1－y2）x+（x2－x1）y=x2y1－x1y2 .
即（y－y2）（x－x2）=（x1－x2）（y－y2），此方程即为直线CD的方程. 命题得证.
进一步可得到推广1（点伴线）.
推广1设点P（x0，y0）为圆E：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F>0）外一点，过P作圆E的两切线PC，PD，则直线CD的方程是x0x+y0y+（x0+x）+（y0+y）+F=0. 此时点P与直线CD是圆E的一对相伴点线（如图2）.
图2
定理2设P（x0，y0）为圆E：x2+y2=r2内一点，过点P且圆心在直线EP上的圆E的相伴圆为F. 若圆F与直线EP交于另一点Q，过点Q的圆F的切线为l，则点P与直线l是圆E的一对相伴点线（线伴点），且l的方程为x0x+y0y=r2（如图3）.
图3
证明设直线EP交圆E于A，B，由相伴圆的定义知==σ，其中σ = ，且P分的比为σ，Q分的比为－σ. 由定比分点坐标公式易知点Q的坐标为
，
.
因直线l与直线EP垂直，故直线l的斜率kl=－，
所以直线l的方程为y- = -·x-
.
所以y0y-=-x0x+. 即x0x+y0y=r2. 命题得证.
而且由证明过程易得此时相伴圆F的方程是
x-
x02+y-
y02=.
容易验证有下列性质（如图4）：
图4
（1）设圆E、圆F交于C，D，则点E与直线CD（即直线l0）是圆F的一对相伴点线（点伴线）；点F与直线l0是圆E的一对相伴点线（点伴线）. 即EC，ED与圆F相切，FC，FD与圆E相切.
（2）过点P作直线l′与圆F相切（即l′⊥EP），则点Q与直线l′是圆E的一对相伴点线（点伴线）.
（3）过点A，B分别作圆E的切线a，b，则点A与直线b是圆F的一对相伴点线（点伴线）；点B与直线a是圆F的一对相伴点线（线伴点）.
进一步可得到推广2（线伴点）.
推广2设P（x0，y0）为圆E：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F>0）内一点，过点P圆心在直线EP上的圆E的相伴圆为F，若圆F与直线EP交于另一点Q，过点Q的圆F的切线为l，则点P与直线l是圆E的一对相伴点线，且l的方程为
x0x+y0y+（x0+x）+（y0+y）+F=0（如图5）.
图5
[⇩]相伴圆的收敛性和扩张性
由以上的性质和相伴性的定义知，在同一方向上的相伴圆有无数个，它们呈现一个系列，有收敛性和扩张性.
（1）如图6，圆E、圆F相伴，且交于两点C，D（CD即直线l0）. 圆F交直线EF于点P（圆E内）、F1（圆E外）；过点P，圆F的切线C1D1（即直线l1）交圆E于C1，D1，则过C1，D1，F1为圆心的圆F1与圆E相伴.
图6
圆F1交直线EF于点P2（圆E内）、F2（圆E外）；过点P2，圆F1的切线C2D2（即直线l2）交圆E于C2，D2，则过C2，D2，F2为圆心的圆F2与圆E相伴.
圆F2交直线EF于点P3（圆E内）、F3（圆E外）；过点P3，圆F2的切线C3D3（即直线l1）交圆E于C3，D3，则过C3，D3，F3为圆心的圆F3与圆E相伴.
……
以此类推，产生一系列的圆Fn，都与E相伴；设EF交圆E于AB，当n→∞时，圆Fn就扩张成线段AB的中垂线.
（2）如图7，圆F与圆E相伴，且交于两点C，D（CD即直线l0），直线l0交EF于P1，则以P1F为直径的圆F1与圆E相伴.
图7
圆F1与圆E相伴，且交于两点C1，D1（C1D1即直线l1），直线l1交EF于P2，则以P2F1为直径的圆F2与圆E相伴.
圆F2与圆E相伴，且交于两点C2，D2（C2D2即直线l2），直线l2交EF于P3，则以P3F2为直径的圆F3与圆E相伴.
……
以此类推，产生一系列的圆Fn，都与E相伴；设EF交圆E于AB，当n→∞时，圆Fn就收敛成点B（或点A）.
[⇩]椭圆中的相伴性
定理3已知椭圆E：+=1（a>b>0），点P（x0，y0）为椭圆外一点，过P作椭圆E的两切线PC，PD，则直线CD（即直线l）的方程是+=1（如图8）.
图8
证明作变换x′
=，
y′
=， 则椭圆在新坐标x′，y′下的方程为x′2+y′2=1.
点P在新坐标x′，y′下的坐标为
，
，则由定理1知新坐标x′，y′下直线CD的方程为·x′+·y′=1.
由变换公式换成原坐标得直线CD（即直线l）的方程是
+=1.
定理4已知椭圆E：+=1（a>b>0），点P（x0，y0）为椭圆内一点，设直线EP交椭圆E于A，B，P分的比为σ，直线EP上取一点Q，Q分的比为－σ；又分别设过A，B的椭圆E的切线为a，b，则过Q且与a，b平行的直线l的方程是+=1（如图9）.
图9
证明略. 可参考定理2、定理3的证明方法. 而且显然有：若设AB是椭圆E的一直径，AB的共轭直径为A′B′，则A′B′∥l.
定义3把定理3和定理4中的点P和直线l的位置配对叫做椭圆E的一对相伴点线.
如图9，若过P作一直线l′∥l，则夹在l′，l之间有一个特殊的椭圆F，其中椭圆F的中心F在直线EP上，对称轴与坐标轴平行，切l′，l于P，Q两点，则可定义如下：
定义4称上述的椭圆E、椭圆F的位置配对叫作一对相伴椭圆.
容易验证相伴椭圆有以下性质（如图10）：
图10
（1）设椭圆E、椭圆F交于C，D，则点E与直线CD（即直线l0）是椭圆F的一对相伴点线（点伴线）；点F与直线l0是椭圆E的一对相伴点线（点伴线）. 即EC，ED与椭圆F相切，FC，FD与椭圆E相切.
（2）过点P作直线l′与椭圆F相切（即l′∥A′B′），则点Q与直线l′是椭圆E的一对相伴点线（点伴线）.
（3）过点A，B的椭圆E的切线为a，b，则点A与直线b是椭圆F的一对相伴点线（点伴线）；点B与直线a是椭圆F的一对相伴点线（线伴点）.
事实上，定理3、定理4也可以推广到非标准方程下的椭圆的情况.
推论3点P（x0，y0）关于椭圆Ax2+By2+Dx+Ey+F=0（点不在椭圆上）的相伴直线方程是
Ax0x+By0y+（x0+x）+（y0+y）+F=0.
[⇩]相关椭圆的收敛性和扩张性
和相伴圆一样，如图11，椭圆F、椭圆F1、椭圆F2、……、椭圆Fn都与椭圆E相伴，当n→∞时，椭圆F就扩张成直线A′B′.
图11
如图12，椭圆F、椭圆F1、椭圆F2、……、椭圆Fn都与椭圆E相伴，当n→∞时，椭圆Fn就收敛成点B.
图12
[⇩]相伴性的猜想
引理2任意两条离心率相等的圆锥曲线相似，如任意抛物线相似，任意圆相似等.
引理3任意指数类、对数类函数图象相似.
按相似曲线的变换法定义，引理2、引理3的证明并不难（本文证明略）.
圆、椭圆有相伴性，而且相伴曲线是相似的，那么猜测双曲线有相伴性，抛物线有相伴性，指数函数、对数函数图象也有相伴性. 而这还有待于进一步探索.
本文对相伴性的探索只是定性的，还没有进行过定量的分析.
笔者写此文来说明中学数学虽是数学的基础，但也可从中探宝. 本文仅起到抛砖引玉的作用，由于笔者能力有限，未进行深入探讨，望广大读者提出宝贵意见.