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摘要：从四个方面入手，就如何提高“概率论与数理统计”课程教学的趣味性介绍了一些可行有效的方法与实例，以帮助工科学生加强对概率统计的主要概念和方法的理解与应用。
关键词：概率；统计；趣味性；教学互动
作者简介：朱永刚（1977-），男，安徽桐城人，三峡大学理学院，讲师。（湖北 宜昌 443002）
基金项目：本文系2010年三峡大学教学研究项目（项目编号：J2010060）的研究成果。
中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）16-0112-01
概率论与数理统计是有着广泛应用与重要实践意义的一门数学基础学科。但是，工科学生在学习掌握这门知识的过程中普遍感到概念难懂、思维难于开展、问题难于入手、方法难于掌握。兴趣是最好的老师。因为有兴趣，学生才会主动关注学习对象，学习效率才能得到较大提高。在教学中，应该致力于从多方面入手，激发学生的兴趣，使学生在体会每个基本概念、定理和公式的产生过程中，掌握概率论与数理统计解题的思想和方法。提高“概率论与数理统计”课程学习的趣味性，可从以下四个方面入手。
一、通过历史与典故提高趣味性
以历史典故为红线，贯穿概率统计发生与发展的全过程。追源溯流作为一种教法，是笔者在教学实践中探求如何使教、学更为密切结合所总结出的一种课堂教学方法，是提高学生学习兴趣的一种途经。搞清来龙去脉，探究事物发展的数学背景，是数学思维的一个普遍要求、一个特性。在上第一次课时，对于概率论的产生与发展，笔者介绍了以下历史：早期的掷骰子游戏以及文艺复兴时期意大利的卡尔达诺有关概率论最早文献的记录，即概率论的萌芽时期；接着介绍概率论的诞生过程，较为详细地介绍赌金分配问题；最后要提及概率论的发展过程，强调前苏联科学院院士柯尔莫哥洛夫在前人研究的基础上，于1933 年完成了概率公理化的任务，概率论才被公认为一门严格的数学学科。[1]
在介绍概率的统计定义这一节后插述一些典故，介绍历史上的投掷硬币的试验、婴儿的性别的调查研究等。在提到切比雪夫不等式时，自然要介绍切比雪夫的生平及主要科学贡献，也要赞美他高尚的情操和优秀品质。[2]在讲到三大抽样分布时，重点介绍学生分布，即T分布。其发现者威廉·希利·戈塞是一位化学家、数学家与统计学家，以笔名“Student”著名。戈塞是英国现代统计方法发展的先驱，由他导出的统计学T检验广泛运用于小样本平均数之间的差别测试。由于他所在的吉尼斯酿酒厂禁止戈塞发表关于酿酒过程变化性的研究成果，因此，戈塞不得不于1908年以“学生”的笔名发表他的论文，导致该统计被称为“学生的T检验”。特别强调T分布打破了正态分布一统天下局面的重要意义。
二、通过联系实际问题提高趣味性
通过对身边常见的现象与问题的观察与思考，通过对现象本质的研究，找到背后的数学原理，使学生“恍然大悟”，从而坚定崇尚科学、渴求知识的信念，提高学习与研究的兴趣。
讲解古典概率计算时，可介绍生日问题。[3]在课前先调查班上学生的生日并记录生日相同学生的名单，班上70人竟有3对学生生日相同。这会让他们与习惯思维结果冲突，进而探讨其中的概率计算方法及结果，加深他们对古典概型的理解。
在讲到条件概率和乘法公式时，谈谈体育赛事赛制选择问题，选手根据自己的实力和水平合理选择三局两胜制、五局三胜制或其他赛制。可以计算出选择哪种赛制获胜的机会更大，从而说明目前乒乓球、羽毛球赛事的改革背景以及NBA的季后赛和斯洛克的赛制原理。介绍二项分布时，给学生讲碰运气能否通过四级考试。大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度。这种考试包括听力、语法结构、阅读理解、完形填空、写作等，有70％是客观选择题，这种考试方法使个别学生产生碰运气和侥幸心理。对于靠运气能否通过四级考试，可以计算靠运气通过考试的概率非常小这一结果来说明只有脚踏实地才能取得好成绩的道理。讲解期望概念时，让学生计算国家邮政局发行贺年（有奖）明信片的利润，从而推广到数学期望在效益、利润等经济问题中的应用。[4]
介绍极大似然估计时，其基本思想可以通过两个简单的事实说明。第一个是宜昌市一名普通学生与世界冠军魏轶力进行一场羽毛球比赛，结果有一方赢了，请估计是谁赢了。第二个是期末考试时有考生30分钟内就交卷，对考生的判断，他是天才，还是什么都不会。显然学生的判断容易给出。极大似然估计就是选择使结果产生的最有可能的那一种条件。
三、通过教与学互动提高趣味性
教学互动能够提高教学效果，增强学生的学习兴趣。准备合适的教学材料，提高学生的学习热情，拓展学生的思维，培育学生发现问题与解决问题的能力。
课堂上学生的“封闭”很大程度上是因为害怕同学的嘲笑和教师的否定。构建宽松、和谐、平等的师生、生生环境，增强互动，是课堂气氛活跃、教学效率增加、学习兴趣浓厚的重要因素。一种方法是在教学时故意出错，把学生引入困惑的境地，使他们对自己的认知产生怀疑，自主反思，从错误中汲取教训，从失败中找出原因，从而让学生在纠错中增加胆量，增加认识，巩固知识。另一种方法是让学生给教师纠错，这不仅让学生感到新奇，更多地是调动了学生积极参与课堂学习的热情。
采用比较学习法也值得尝试。在学完古典概型的计算方法后，提出几何概型，就可以让学生自主比较，研究差异，总结算法，并给出典型而不复杂的问题，让他们互相讨论，共同得出结果。例如，从一维随机变量到二维随机变量的教学转变时，更多地让学生自己去求同存异，总结知识，不给学生压力，增加学生之间的团结合作。
教学不是告诉，而是通过创设各种活动激发学生认识未知世界的兴趣，甚至可以通过数学故事、数学趣题来设置情境互动，如在圆内任取两弦，求其相交概率。又如一架客机上有100个座位，100个人排队依次登机。第一个乘客把机票搞丢了，但他仍被允许登机。由于他不知道他的座位在哪儿，他就随机选了一个座位坐下。以后每一个乘客登机时，如果他的座位是空着的，那么就在他的座位坐下；否则，他就随机选一个仍然空着的座位坐下。请问，最后一个人登机时发现唯一剩下的空位正好就是他的，其概率是多少？这些问题生动有趣，易于操作，比较容易吸引学生。
四、通过数学实验提高趣味性
学生的兴趣和能力也可以通过做数学实验来得到增强，从实际问题中建立数学模型也是一种有效的手段。[5]概率统计与大部分数学课程一样，抽象性强，也是令学生头痛的课程。学生学习时觉得理论过多、不着边际，更谈不上将所学到的知识融会贯通，灵活地应用到某个具体实际问题中去了。数学实验将指导学生怎样将学过的知识应用到具体的实践过程中，激发学生应用所学过的数学理论去解决实际问题的兴趣。每个实验所应用的知识都与学生所学过的内容贴近，并且富有趣味性。同时在展开数学实验的过程中，鼓励发散思维，提出多种解决方案，实验结果也丰富多彩，容易吸引学生，从而提高了他们的学习的兴趣。例如，利用数学软件MATLAB勾画随机数与统计直方图、贝努里试验与二项分布图，分析面积的蒙特卡罗计算方法以及正态随机数及应用等，也可以演示二项分布、泊松分布与正态分布的近似关系，从而验证中心极限定理等。
另外，由于概率统计涉及到的很多实际问题都需要处理大量的数据，这也迫切需要计算机技术来解决。常用SAS、MATLAB、Mathematic等软件对大量的概率统计问题进行分析处理，已取得了很好的效果。鼓励学生针对实际问题和具体需要去采集数据，进行数学实验，分析结果，得到一些让人兴奋的结论，大大提高学生对科学研究的兴趣。例如调查大学生的消费情况，从饮食、服装、社交、书籍及运动方面来考察，进行统计分析，能够较客观地分析大学生的生活态度；利用假设检验，调查不同专业的毕业生就业率是否有显著性差异，分析专业选择问题等；甚至利用回归分析，建立地区的生产总值与物价指数之间关系的数学模型，预测当地的经济发展态势。通过对身边的问题进行数学实验，一方面增加了学生对学习的兴趣，另一方面也培养了学生严谨务实的科学品质。
趣味性只是手段或者过程，教学的目的依旧是让学生掌握基本概念、主要性质及其应用。但法国大数学家帕斯卡指出：“数学这一学科是如此的严肃，我们应当千方百计地把它趣味化。”
参考文献：
[1]王幼军.拉普拉斯概率理论的历史研究[M].上海:上海交通大学出版社,2007.
[2]切比雪夫.百科百科[EB/OL].[2010-10-25].http://baike.baidu.com/view/79418.htm.
[3]盛骤,等.概率论与数理统计(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.
[4]Zhu Yonggang.Applications of Equivalent Martingales Model in Pricing Warrants [C].Recent Advance in Statistic Application and Related Areas,Aussino Academic Publishing House,2009.
[5]朱永刚.综合院校工程数学课程教学改革探讨[J].甘肃联合大学学报,2009,(23):54-57.
（责任编辑：李海静）
关键词：概率；统计；趣味性；教学互动
作者简介：朱永刚（1977-），男，安徽桐城人，三峡大学理学院，讲师。（湖北 宜昌 443002）
基金项目：本文系2010年三峡大学教学研究项目（项目编号：J2010060）的研究成果。
中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）16-0112-01
概率论与数理统计是有着广泛应用与重要实践意义的一门数学基础学科。但是，工科学生在学习掌握这门知识的过程中普遍感到概念难懂、思维难于开展、问题难于入手、方法难于掌握。兴趣是最好的老师。因为有兴趣，学生才会主动关注学习对象，学习效率才能得到较大提高。在教学中，应该致力于从多方面入手，激发学生的兴趣，使学生在体会每个基本概念、定理和公式的产生过程中，掌握概率论与数理统计解题的思想和方法。提高“概率论与数理统计”课程学习的趣味性，可从以下四个方面入手。
一、通过历史与典故提高趣味性
以历史典故为红线，贯穿概率统计发生与发展的全过程。追源溯流作为一种教法，是笔者在教学实践中探求如何使教、学更为密切结合所总结出的一种课堂教学方法，是提高学生学习兴趣的一种途经。搞清来龙去脉，探究事物发展的数学背景，是数学思维的一个普遍要求、一个特性。在上第一次课时，对于概率论的产生与发展，笔者介绍了以下历史：早期的掷骰子游戏以及文艺复兴时期意大利的卡尔达诺有关概率论最早文献的记录，即概率论的萌芽时期；接着介绍概率论的诞生过程，较为详细地介绍赌金分配问题；最后要提及概率论的发展过程，强调前苏联科学院院士柯尔莫哥洛夫在前人研究的基础上，于1933 年完成了概率公理化的任务，概率论才被公认为一门严格的数学学科。[1]
在介绍概率的统计定义这一节后插述一些典故，介绍历史上的投掷硬币的试验、婴儿的性别的调查研究等。在提到切比雪夫不等式时，自然要介绍切比雪夫的生平及主要科学贡献，也要赞美他高尚的情操和优秀品质。[2]在讲到三大抽样分布时，重点介绍学生分布，即T分布。其发现者威廉·希利·戈塞是一位化学家、数学家与统计学家，以笔名“Student”著名。戈塞是英国现代统计方法发展的先驱，由他导出的统计学T检验广泛运用于小样本平均数之间的差别测试。由于他所在的吉尼斯酿酒厂禁止戈塞发表关于酿酒过程变化性的研究成果，因此，戈塞不得不于1908年以“学生”的笔名发表他的论文，导致该统计被称为“学生的T检验”。特别强调T分布打破了正态分布一统天下局面的重要意义。
二、通过联系实际问题提高趣味性
通过对身边常见的现象与问题的观察与思考，通过对现象本质的研究，找到背后的数学原理，使学生“恍然大悟”，从而坚定崇尚科学、渴求知识的信念，提高学习与研究的兴趣。
讲解古典概率计算时，可介绍生日问题。[3]在课前先调查班上学生的生日并记录生日相同学生的名单，班上70人竟有3对学生生日相同。这会让他们与习惯思维结果冲突，进而探讨其中的概率计算方法及结果，加深他们对古典概型的理解。
在讲到条件概率和乘法公式时，谈谈体育赛事赛制选择问题，选手根据自己的实力和水平合理选择三局两胜制、五局三胜制或其他赛制。可以计算出选择哪种赛制获胜的机会更大，从而说明目前乒乓球、羽毛球赛事的改革背景以及NBA的季后赛和斯洛克的赛制原理。介绍二项分布时，给学生讲碰运气能否通过四级考试。大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度。这种考试包括听力、语法结构、阅读理解、完形填空、写作等，有70％是客观选择题，这种考试方法使个别学生产生碰运气和侥幸心理。对于靠运气能否通过四级考试，可以计算靠运气通过考试的概率非常小这一结果来说明只有脚踏实地才能取得好成绩的道理。讲解期望概念时，让学生计算国家邮政局发行贺年（有奖）明信片的利润，从而推广到数学期望在效益、利润等经济问题中的应用。[4]
介绍极大似然估计时，其基本思想可以通过两个简单的事实说明。第一个是宜昌市一名普通学生与世界冠军魏轶力进行一场羽毛球比赛，结果有一方赢了，请估计是谁赢了。第二个是期末考试时有考生30分钟内就交卷，对考生的判断，他是天才，还是什么都不会。显然学生的判断容易给出。极大似然估计就是选择使结果产生的最有可能的那一种条件。
三、通过教与学互动提高趣味性
教学互动能够提高教学效果，增强学生的学习兴趣。准备合适的教学材料，提高学生的学习热情，拓展学生的思维，培育学生发现问题与解决问题的能力。
课堂上学生的“封闭”很大程度上是因为害怕同学的嘲笑和教师的否定。构建宽松、和谐、平等的师生、生生环境，增强互动，是课堂气氛活跃、教学效率增加、学习兴趣浓厚的重要因素。一种方法是在教学时故意出错，把学生引入困惑的境地，使他们对自己的认知产生怀疑，自主反思，从错误中汲取教训，从失败中找出原因，从而让学生在纠错中增加胆量，增加认识，巩固知识。另一种方法是让学生给教师纠错，这不仅让学生感到新奇，更多地是调动了学生积极参与课堂学习的热情。
采用比较学习法也值得尝试。在学完古典概型的计算方法后，提出几何概型，就可以让学生自主比较，研究差异，总结算法，并给出典型而不复杂的问题，让他们互相讨论，共同得出结果。例如，从一维随机变量到二维随机变量的教学转变时，更多地让学生自己去求同存异，总结知识，不给学生压力，增加学生之间的团结合作。
教学不是告诉，而是通过创设各种活动激发学生认识未知世界的兴趣，甚至可以通过数学故事、数学趣题来设置情境互动，如在圆内任取两弦，求其相交概率。又如一架客机上有100个座位，100个人排队依次登机。第一个乘客把机票搞丢了，但他仍被允许登机。由于他不知道他的座位在哪儿，他就随机选了一个座位坐下。以后每一个乘客登机时，如果他的座位是空着的，那么就在他的座位坐下；否则，他就随机选一个仍然空着的座位坐下。请问，最后一个人登机时发现唯一剩下的空位正好就是他的，其概率是多少？这些问题生动有趣，易于操作，比较容易吸引学生。
四、通过数学实验提高趣味性
学生的兴趣和能力也可以通过做数学实验来得到增强，从实际问题中建立数学模型也是一种有效的手段。[5]概率统计与大部分数学课程一样，抽象性强，也是令学生头痛的课程。学生学习时觉得理论过多、不着边际，更谈不上将所学到的知识融会贯通，灵活地应用到某个具体实际问题中去了。数学实验将指导学生怎样将学过的知识应用到具体的实践过程中，激发学生应用所学过的数学理论去解决实际问题的兴趣。每个实验所应用的知识都与学生所学过的内容贴近，并且富有趣味性。同时在展开数学实验的过程中，鼓励发散思维，提出多种解决方案，实验结果也丰富多彩，容易吸引学生，从而提高了他们的学习的兴趣。例如，利用数学软件MATLAB勾画随机数与统计直方图、贝努里试验与二项分布图，分析面积的蒙特卡罗计算方法以及正态随机数及应用等，也可以演示二项分布、泊松分布与正态分布的近似关系，从而验证中心极限定理等。
另外，由于概率统计涉及到的很多实际问题都需要处理大量的数据，这也迫切需要计算机技术来解决。常用SAS、MATLAB、Mathematic等软件对大量的概率统计问题进行分析处理，已取得了很好的效果。鼓励学生针对实际问题和具体需要去采集数据，进行数学实验，分析结果，得到一些让人兴奋的结论，大大提高学生对科学研究的兴趣。例如调查大学生的消费情况，从饮食、服装、社交、书籍及运动方面来考察，进行统计分析，能够较客观地分析大学生的生活态度；利用假设检验，调查不同专业的毕业生就业率是否有显著性差异，分析专业选择问题等；甚至利用回归分析，建立地区的生产总值与物价指数之间关系的数学模型，预测当地的经济发展态势。通过对身边的问题进行数学实验，一方面增加了学生对学习的兴趣，另一方面也培养了学生严谨务实的科学品质。
趣味性只是手段或者过程，教学的目的依旧是让学生掌握基本概念、主要性质及其应用。但法国大数学家帕斯卡指出：“数学这一学科是如此的严肃，我们应当千方百计地把它趣味化。”
参考文献：
[1]王幼军.拉普拉斯概率理论的历史研究[M].上海:上海交通大学出版社,2007.
[2]切比雪夫.百科百科[EB/OL].[2010-10-25].http://baike.baidu.com/view/79418.htm.
[3]盛骤,等.概率论与数理统计(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.
[4]Zhu Yonggang.Applications of Equivalent Martingales Model in Pricing Warrants [C].Recent Advance in Statistic Application and Related Areas,Aussino Academic Publishing House,2009.
[5]朱永刚.综合院校工程数学课程教学改革探讨[J].甘肃联合大学学报,2009,(23):54-57.
（责任编辑：李海静）