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圆中添加辅助线，常常是解决圆的有关问题的关键.但同学们在添加辅助线时，经常感到无从下手.其实其中也有规律可循.下面举例说明.
一、 解决有关弦的问题常画弦的垂线
例1（青岛）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图l所示，其中有水部分水面宽0．8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）
A． 0．4米 B. 0.5米 C. 0.8米 D. 1米
解连结OA，作ＯD⊥AB于D，交⊙Ｏ于点C．
设⊙O半径为r．
因为OD⊥AB，所以AD=BD=0.4．
又CD=0.2．
在Rt△OAD中，
因为OA2=AD2+OD2，
所以r2=0.42+（r－0.2）2．
解得r=0.5，所以选D．
二、 遇到有直径时常添加直径所对的圆周角
例2（齐齐哈尔）如图2，⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AD是⊙Ｏ的直径，若⊙Ｏ的半径为，AC=2，则sinB的值是（）解连结CD，因为AD为⊙Ｏ直径，
所以∠ACD=90°．
因为∠B=∠ADC，
所以选A．
三、 遇到有切线时常添加过切点的半径
例3（潍坊）如图3，已知⊙Ｏ的半径为R，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB延长线上一点，D是⊙Ｏ的切线，C是切点，连结AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）
解连结OC，因为DC是⊙Ｏ的切线，
所以CD⊥OC．因为ＯA=OC，所以∠CAB=∠ＯCA=30°，
所以∠DOC=60°．
所以ＯD=2ＯC=2R，
所以BD=R．所以选C．
四、 遇到证明某一直线是圆的切线时
1. 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心画直线的垂线段
例4（黔东南州）如图4，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．
证明连结OD，过点O作OE⊥AC于点E．
因为AB切⊙O于D，所以OD⊥AB．
所以∠ODB=∠OEC=90°．
又因为O是BC的中点，
所以OB=OC．
因为AB=AC，
所以∠B=∠C．
所以△OBD≌△OCE，
所以OE=OD，即OE是⊙O的半径．所以AC与⊙O相切．
2． 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）
例5（仙桃）如图5，AB为⊙Ｏ的直径，D是⊙Ｏ上的一点，过点O作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD=FE．请探究FD与⊙Ｏ的位置关系，并说明理由．
解FD与⊙O相切，理由如下：
连结OD，因为OC⊥AB，
所以∠AOC=90°，
所以∠3+∠A=90°．
因为FE=FD，
所以∠1=∠2．
又因为∠2=∠3，
所以∠1=∠3．
又因为OA=OD，
所以∠A=∠4．
所以∠1+∠4=∠3+∠A=90°，
所以FD与⊙Ｏ相切．
五、 遇到两切线相交时，常连结切点和圆心、连结圆心和两切线的交点
例6（临沂）如图6，AC是⊙Ｏ的直径，PA，PB是⊙Ｏ的切线，A，B为切点，AB=6．PA=5．
求： （1） ⊙O的半径；（2） sin∠BAC的值．
解（1） 连结PO，OB．设PO交AB于D．
因为PA，PB是⊙O的切线，所以∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB，∠APO=∠BP0．
所以AD=BD=3，PO⊥AB．
六、 遇到两圆相交时常画公共弦
例7（盐城模拟）如图7，⊙Ｏ1和⊙Ｏ2相交于A，B两点，CD是过点A的割线，交⊙Ｏ1于点C，交⊙Ｏ2于点D，BE是⊙Ｏ2的弦交⊙Ｏ1于F．
求证：DE//CF．
证明连结AB．
因为∠ACF=∠ABF，∠ADE=∠ABF，
所以∠ACF=∠ADE，
所以DE//CF．
七、 遇到两圆相切时常画连心线
例8（庆阳）如图8，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过点O作⊙O′的两条切线OA，OB，A，B是切点，则∠AOB=解连结OＯ′，O′A．
因为ＯA是⊙Ｏ′的切线.所以∠OAＯ′=90°．
所以∠AOO′=30°，所以∠AOB=60°．
八、 遇到四边形的一组对角均为直角时可添加辅助圆
例9（荆门）如图9，在平行四边形ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1） 求证：A，E，C，F四点共圆；
（2）设线段BD与（1）中的圆交于M，N，求证：BM=DN.
解连结AC，取AC中点O，连结OE，OF．
因为AE⊥BC，AF⊥CD，
所以∠AEC=∠AFC=90°．
所以A，E，C，F四点在以O为圆心，OA为半径的圆上．
（2） 由（1）可知，圆的直径是AC．
因为四边形ABCD是平行四边形，则AC，BD的交点即为圆心O．
所以OB=OD，OM=ON，
所以BM=DN．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、 解决有关弦的问题常画弦的垂线
例1（青岛）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图l所示，其中有水部分水面宽0．8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）
A． 0．4米 B. 0.5米 C. 0.8米 D. 1米
解连结OA，作ＯD⊥AB于D，交⊙Ｏ于点C．
设⊙O半径为r．
因为OD⊥AB，所以AD=BD=0.4．
又CD=0.2．
在Rt△OAD中，
因为OA2=AD2+OD2，
所以r2=0.42+（r－0.2）2．
解得r=0.5，所以选D．
二、 遇到有直径时常添加直径所对的圆周角
例2（齐齐哈尔）如图2，⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AD是⊙Ｏ的直径，若⊙Ｏ的半径为，AC=2，则sinB的值是（）解连结CD，因为AD为⊙Ｏ直径，
所以∠ACD=90°．
因为∠B=∠ADC，
所以选A．
三、 遇到有切线时常添加过切点的半径
例3（潍坊）如图3，已知⊙Ｏ的半径为R，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB延长线上一点，D是⊙Ｏ的切线，C是切点，连结AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）
解连结OC，因为DC是⊙Ｏ的切线，
所以CD⊥OC．因为ＯA=OC，所以∠CAB=∠ＯCA=30°，
所以∠DOC=60°．
所以ＯD=2ＯC=2R，
所以BD=R．所以选C．
四、 遇到证明某一直线是圆的切线时
1. 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心画直线的垂线段
例4（黔东南州）如图4，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．
证明连结OD，过点O作OE⊥AC于点E．
因为AB切⊙O于D，所以OD⊥AB．
所以∠ODB=∠OEC=90°．
又因为O是BC的中点，
所以OB=OC．
因为AB=AC，
所以∠B=∠C．
所以△OBD≌△OCE，
所以OE=OD，即OE是⊙O的半径．所以AC与⊙O相切．
2． 若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）
例5（仙桃）如图5，AB为⊙Ｏ的直径，D是⊙Ｏ上的一点，过点O作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD=FE．请探究FD与⊙Ｏ的位置关系，并说明理由．
解FD与⊙O相切，理由如下：
连结OD，因为OC⊥AB，
所以∠AOC=90°，
所以∠3+∠A=90°．
因为FE=FD，
所以∠1=∠2．
又因为∠2=∠3，
所以∠1=∠3．
又因为OA=OD，
所以∠A=∠4．
所以∠1+∠4=∠3+∠A=90°，
所以FD与⊙Ｏ相切．
五、 遇到两切线相交时，常连结切点和圆心、连结圆心和两切线的交点
例6（临沂）如图6，AC是⊙Ｏ的直径，PA，PB是⊙Ｏ的切线，A，B为切点，AB=6．PA=5．
求： （1） ⊙O的半径；（2） sin∠BAC的值．
解（1） 连结PO，OB．设PO交AB于D．
因为PA，PB是⊙O的切线，所以∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB，∠APO=∠BP0．
所以AD=BD=3，PO⊥AB．
六、 遇到两圆相交时常画公共弦
例7（盐城模拟）如图7，⊙Ｏ1和⊙Ｏ2相交于A，B两点，CD是过点A的割线，交⊙Ｏ1于点C，交⊙Ｏ2于点D，BE是⊙Ｏ2的弦交⊙Ｏ1于F．
求证：DE//CF．
证明连结AB．
因为∠ACF=∠ABF，∠ADE=∠ABF，
所以∠ACF=∠ADE，
所以DE//CF．
七、 遇到两圆相切时常画连心线
例8（庆阳）如图8，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过点O作⊙O′的两条切线OA，OB，A，B是切点，则∠AOB=解连结OＯ′，O′A．
因为ＯA是⊙Ｏ′的切线.所以∠OAＯ′=90°．
所以∠AOO′=30°，所以∠AOB=60°．
八、 遇到四边形的一组对角均为直角时可添加辅助圆
例9（荆门）如图9，在平行四边形ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1） 求证：A，E，C，F四点共圆；
（2）设线段BD与（1）中的圆交于M，N，求证：BM=DN.
解连结AC，取AC中点O，连结OE，OF．
因为AE⊥BC，AF⊥CD，
所以∠AEC=∠AFC=90°．
所以A，E，C，F四点在以O为圆心，OA为半径的圆上．
（2） 由（1）可知，圆的直径是AC．
因为四边形ABCD是平行四边形，则AC，BD的交点即为圆心O．
所以OB=OD，OM=ON，
所以BM=DN．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文