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【摘要】由于向量在解析几何方面应用越来越广泛，让本来很抽象的东西具体化，或者复杂的东西简单化，由抽象的立体想象变成具体的代数运算.笔者就向量在解决几类解析几何问题方面来进行简单的介绍，主要从解决角的求值还有求线段长度方面进行探讨.
【关键词】向量；解析几何；线段长度；角度大小
我国的数学发展一直都走在世界的前沿，而解析几何也是其中最具成果的一个部分，在这一部分中最有用处的就是向量的妙用.
首先让我们来明确向量的概念：既有大小又有方向的量，称为向量.
解析几何中的基本方法就是坐标法，即建立坐标系，然后让点用有序的实数组来表示，从而让图形转换为方程来表示，通过方程的建立来进行图形性质的研究.而坐标法的优越性在于其利用了数字可以进行简便运算的特点.那么，同样的道理，代数运算同样可以引进到几何中去.比如，力学中的力、速度，这些矢量有大小也有方向，它们可以用一个有向的线段来进行表示.这就是向量.向量在现代数学中也起着特别重要的作用.在解析几何中，常常把向量法还有坐标法结合起来使用.
在教材里，学生先学习平面向量，再学习解析几何，但是在教材中两者的知识的相关联性并不密切，不少学生就“平面向量”可以解决平面向量问题，对于平面向量来解决解析几何题应用并不好.但是实际上，用向量法去解决一些解析几何问题时思路会很清晰，过程也显得简捷，会有意想不到的良好效果.知名教育专家布鲁纳曾说过这样一句话：学习的最好的刺激就是对所学东西的兴趣，若只是简单的重复只会引起学生的大脑很快疲劳，对学习的兴趣急速衰退.这也充分揭示了方法的重要性与犀利点，我们如果能重视向量方面的教学，必然能够引导学生去拓展更多的思路，减轻教学者和学生双方面的负担.我将在下文就这一方面进行归纳.
首先是解决与角有关的一类问题.
例1 椭圆表达式：x29+y24=1，其焦点为F1和F2，点P为椭圆上的动点，∠F1PF2>90°时，点P（x，y）中x的取值范围是.
就此题来说可以从数量积方面入手.把本题条件中的∠F1PF2为钝角转化到向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了.
解 F1（-5,0），F2（5,0）,设P（3cosθ,2sinθ）.
∵∠F1PF2为钝角，
∴PF1•PF2=(-5-3cosθ,-2sinθ)• (5-3cosθ，-2sinθ)
=9cos2θ-5+4sin2θ=5cos2θ-1<0，
解得-55 ∴点P的横坐标的取值范围是-355，355.
然后有些解析几何问题并没有直接让向量作为已知的条件出现在题目中，可是若运用向量相关的知识来解决这个问题，也会显得更加自然、简便，并且易于入手.
例2 已知两定点A(-1,0)，B(1,0)，M为圆：x2+(y-1)2=1上一动点.
（1）求|MA|+|MB|的最大值、最小值；
（2）求|MA|2+|MB|2的最大值、最小值.
分析 ∵O是AB中点，∴MA+MB=2MO，
∴可利用向量有关知识把问题转化成求向量|OM|的最值.
解 （1）∵MA+MB=2MO，
∴|MA+MB|=2|MO|.
如图，当M运动到M1时，|MO|有最小值1；
当M运动到M2时，|MO|有最大值3.
∴|MA+MB|的最小值为2，最大值为6.
（2）|MA|2+|MB|2=|MA|2+|MB|2
=(MA+MB)2-2MA•MB
=(2MO)2-2(OA-OM)• (OB-OM)
=4|MO|2-2OA•OB-2|OM|2+ 2OM(OA+OB)
=2|OM|2+2.
由（1），得|OM|2的最小值为1，|OM|2的最大值为9.
∴|MA|2+|MB|2的最小值为4，最大值为20.
例3 O是平面上一个定点，A，B，C为平面上的不共线三个点.动点P满足：OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|且λ∈［0,+∞)，则P的轨迹必然经过△ABC的( ).
A外心
B重心
C内心
D垂心
分析 因为AB|AB|，AC|AC|分别是与AB，AC同向的单位向量，由于向量加法中的平行四边形定则知AB|AB|+AC|AC|为与∠ABC的平分线同向的向量.又OP-OA=AP=λAB|AB|+AC|AC|，知道P点的轨迹为∠ABC的平分线，从而知点P的轨迹必定通过△ABC的内心.
【关键词】向量；解析几何；线段长度；角度大小
我国的数学发展一直都走在世界的前沿，而解析几何也是其中最具成果的一个部分，在这一部分中最有用处的就是向量的妙用.
首先让我们来明确向量的概念：既有大小又有方向的量，称为向量.
解析几何中的基本方法就是坐标法，即建立坐标系，然后让点用有序的实数组来表示，从而让图形转换为方程来表示，通过方程的建立来进行图形性质的研究.而坐标法的优越性在于其利用了数字可以进行简便运算的特点.那么，同样的道理，代数运算同样可以引进到几何中去.比如，力学中的力、速度，这些矢量有大小也有方向，它们可以用一个有向的线段来进行表示.这就是向量.向量在现代数学中也起着特别重要的作用.在解析几何中，常常把向量法还有坐标法结合起来使用.
在教材里，学生先学习平面向量，再学习解析几何，但是在教材中两者的知识的相关联性并不密切，不少学生就“平面向量”可以解决平面向量问题，对于平面向量来解决解析几何题应用并不好.但是实际上，用向量法去解决一些解析几何问题时思路会很清晰，过程也显得简捷，会有意想不到的良好效果.知名教育专家布鲁纳曾说过这样一句话：学习的最好的刺激就是对所学东西的兴趣，若只是简单的重复只会引起学生的大脑很快疲劳，对学习的兴趣急速衰退.这也充分揭示了方法的重要性与犀利点，我们如果能重视向量方面的教学，必然能够引导学生去拓展更多的思路，减轻教学者和学生双方面的负担.我将在下文就这一方面进行归纳.
首先是解决与角有关的一类问题.
例1 椭圆表达式：x29+y24=1，其焦点为F1和F2，点P为椭圆上的动点，∠F1PF2>90°时，点P（x，y）中x的取值范围是.
就此题来说可以从数量积方面入手.把本题条件中的∠F1PF2为钝角转化到向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了.
解 F1（-5,0），F2（5,0）,设P（3cosθ,2sinθ）.
∵∠F1PF2为钝角，
∴PF1•PF2=(-5-3cosθ,-2sinθ)• (5-3cosθ，-2sinθ)
=9cos2θ-5+4sin2θ=5cos2θ-1<0，
解得-55
然后有些解析几何问题并没有直接让向量作为已知的条件出现在题目中，可是若运用向量相关的知识来解决这个问题，也会显得更加自然、简便，并且易于入手.
例2 已知两定点A(-1,0)，B(1,0)，M为圆：x2+(y-1)2=1上一动点.
（1）求|MA|+|MB|的最大值、最小值；
（2）求|MA|2+|MB|2的最大值、最小值.
分析 ∵O是AB中点，∴MA+MB=2MO，
∴可利用向量有关知识把问题转化成求向量|OM|的最值.
解 （1）∵MA+MB=2MO，
∴|MA+MB|=2|MO|.
如图，当M运动到M1时，|MO|有最小值1；
当M运动到M2时，|MO|有最大值3.
∴|MA+MB|的最小值为2，最大值为6.
（2）|MA|2+|MB|2=|MA|2+|MB|2
=(MA+MB)2-2MA•MB
=(2MO)2-2(OA-OM)• (OB-OM)
=4|MO|2-2OA•OB-2|OM|2+ 2OM(OA+OB)
=2|OM|2+2.
由（1），得|OM|2的最小值为1，|OM|2的最大值为9.
∴|MA|2+|MB|2的最小值为4，最大值为20.
例3 O是平面上一个定点，A，B，C为平面上的不共线三个点.动点P满足：OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|且λ∈［0,+∞)，则P的轨迹必然经过△ABC的( ).
A外心
B重心
C内心
D垂心
分析 因为AB|AB|，AC|AC|分别是与AB，AC同向的单位向量，由于向量加法中的平行四边形定则知AB|AB|+AC|AC|为与∠ABC的平分线同向的向量.又OP-OA=AP=λAB|AB|+AC|AC|，知道P点的轨迹为∠ABC的平分线，从而知点P的轨迹必定通过△ABC的内心.