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摘要：为了平衡数字图像水印的不可见性和鲁棒性，提出了一种基于Arnold置乱的脊波域数字水印算法。首先在利用Arnold变换对水印信息进行置乱处理，增强其保密性；然后利用脊波变换（Ridgelet transform）的方向敏感性和各项异性的特点，对载体图像进行分块脊波变换；最后将水印信息嵌入图像块的脊波域。实验证明本算法具有较好的不可见性，并且对载体图像进行加噪、JPEG压缩、滤波、剪切等的图像攻击具有较强的鲁棒性。
关键词： Arnold 置乱；数字水印；脊波变换；图像处理
中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）15-0175-03
Abstract： To redress the balance between the invisibility and robustness of the digital image watermark， a digital image watermark algorithm in ridgelet domain based on Arnold scrambling is presented. Firstly， Arnold transform is applied into watermark information to increase its privacy. Then a digital image with curvilinear edges or texture can be partitioned into small pieces and treated by ridgelet transform， according to the directional sensitivity and anisotropy of ridgelet transform. Eventually the watermark information is embedded in the ridgelet coefficients. The experiment results prove the robustness and transparency of the presented watermark algorithm against attacks such as adding noise，JPEG compression，filtering， shearing and other image manipulations.
Key words： arnold scrambling； digital watermarking； ridgelet transform； image processing
数字图像水印是嵌入图像中的不可见的识别码或标记，具有难以去除和破坏特点，可用来跟踪和保护图像的版权信息[1，2]。脊波理论[3，4]是由E J Candes 和 D L Donoho 提出，可以有效地描述沿直线或者超平面的奇异性。对于一幅含有曲线边缘或者纹理的图像，可将其分成小块，图像中的曲线就可近似当作直线处理，再对每个小块进行脊波变换获得图像的稀疏表示。图像置乱是一种加密技术，是数字图像安全传输和图像保密存储的重要手段之一。图像置乱是指利用数字图像具有的数字阵列的特点，搅乱图像中像素的位置或者颜色使之变成一幅杂乱无章的图像，从而达到无法辨认出原始图像的目的。而Arnold变换[5]方法简单，置乱程度高。因此本文提出了一种基于Arnold置乱的脊波域数字图像水印算法。首先对水印信息进行Arnold置乱，然后对原始图像分块进行脊波变换，并将置乱后的水印信息嵌入到图像块的脊波系数中。最后通过实验讨论了算法的鲁棒性和透明性。
1 Arnold变换的基本原理
Arnold变换（Cat mapping），又称“猫脸变换”，是V. I. Arnold在遍历理论的研究中提出的一种裁剪变换。将图像看作平面区域上的二元函数[Z=F（x，y），（x，y）∈R]，通常区域[R]是一个正方形。对[R]中的任意点[F（x，y）]，相对应的函数值[F（x，y）]代表图像的灰度值。[Z=F（x，y）]看作一个二维离散点阵，其元素所在的行与列对应于自变量的取值，而元素本身代表图像信息。对这一矩阵进行如式（1）所示的变换可以得到新的矩阵，从而实现图像的置乱处理。
图像大小为[p×p]，经FRAT变换后，可以得到[p 1]个投影方向，沿每个方向再做一维小波变换即可得到FRIT变换。对FRIT变换的结果沿每一方向作一维小波逆变换，再经过FBP 变换，可以得到有限脊波反变换（Inverse Finite Ridgelet Transform， IFRIT） [9]。
3 本文算法
3.1 水印的嵌入
水印的嵌入框图如图1所示。
1） 二值图像预处理。首先用Arnold算法对二值水印图像进行置乱处理，从而对水印图像进行加密。先将[N×N]大小的水印图像置乱[n]次，其中[n∈1，mN]，[mN]为[N×N]水印图像的Arnold置乱变换周期。此时水印图像通过置乱减弱了像素空间的相关性，攻击者也很难从得到的水印图像中恢复出原始的水印图像，从而进一步保证了水印图像的安全性；最后将水印图像按从左到右从上到下的扫描顺序变换成一维序列[Wl]。
2）载体图像分块脊波变换。将大小为[M×M]的载体图像[X]分成[H]个小块[Xh]，其中[h=1，2，...，H]。每个小块里有[p*p]个象素，使得小块内的曲线边缘或纹理可近似的看做直线处理。图像块[Xh]经过FRIT变换后，得到[0≤k≤p]方向上的脊波系数[FRITxh[k，l]]。在第[h]个图像块中，找出能量最强的方向[kh=maxk（l=0p-1（FRITXh[k，l]）2）]。水印嵌入位置选择图像块脊波变换后的中频脊波系数[Fl][10]，也就是说水印嵌入的位置是图像块能量最强方向的中频脊波带。 式（12）中单位为dB，[f]和 [fw]分别表示原始载体信号和含有水印的载体信号，[（i，j）]为象素点的位置，[Nf]为图像的象素点个数。[PSNR]值越大，表明对原始载体图像的破坏越小。相关函数[Nc]用来评估原始水印与提取的水印的相似度，其值越大，说明两者越相似。
5 实验结果
载体图像为[510×510]的Lena图像，嵌入大小为24[×]24的二值图像，如图3（a）和（b）所示。
1）水印的读入与置乱。
水印图像首先通过Arnold置乱，获得如图3（c）所示的效果，然后将其转换为一维序列[Wl]。载体图像分为[H=900]个图像块，每个图像块的大小为[p×p]，[p=]17，对图像块进行FRIT变换，其中FRIT变换中对每个方向做了四层一维小波变换，水印序列[Wl]的嵌入位置选择该方向的第三层高频系数。然后按照3.1节和3.2节的水印嵌入算法和水印提取算法进行实验，得到如图4所示的结果。可以看出原始图像（见图3（a））和嵌入水印后的图像（见图4（a））之间没有视觉差别，并且提取的水印图像（见图4（b））通过Arnold算法恢复出的水印图像如图4（c）所示，与原始水印图像（见图3（b））无区别。嵌入水印后图像的PSNR为44.33，且水印从载体图像中完全恢复出来，即[Nc]=1.
6 结论
本文提出了一种基于Arnold置乱的脊波域水印算法。算法利用Arnold变换对水印图像进行预处理，从而加强水印信息的安全性。然后将水印嵌入载体图像的脊波域，水印检测不需要原始载体图像或水印信息，且只有合法用户才能恢复出水印图像。实验结果表明，本文的数字水印算法在经过各种噪声攻击后，仍然可以提取较高质量的水印图像，较好的平衡了数字水印的透明性和鲁棒性之间的矛盾。
参考文献：
[1] Zhang Guannan， Wang Shuxun， Wen Quan. An adaptive blind watermarking algorithm to embed readable watermark[J]. Acta Electronica Sinica， 2005， 33（2）：308-312.
[2] Zhang Jianxun， Zhang Jianwan， Sun Jizhou. Image-adaptive and robust digital wavelet-domain watermarking for image[J]. Journal of Communication and Computer， 2005（2）： 57-63.
[3] Candes E. Ridgelets： theory and applications[D]， Stanford： Department of Statistics， Stanford University， 1998.
[4] Candes E， Donoho E L. Ridgelets： a key to higher-dimensinal intermittency[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London， 1999， 357（1760）： 2495– 2509.
[5] 张春森，范金健，胡平波.小波变换和Arnold变换的数字水印技术[J].西安科技大学学报.2012（01）：95-100.
[6] 侯彪，刘芳，焦李成.基于脊波变换的直线特征检测[J].中国科学E辑：技术科学.2003（01）：65-73.
[7] D L Donoho. Fast ridgelet transforms in dimension 2 [R]. Technical Report， Department of Statistics， Stanford University CA， 1997.
[8] M N Do， Martin Vetterli. Orthonormal finite ridgelet transform for image compression[A]. IEEE International Conference on Image Processing [C]. Canada： Vancouver， 2000. 367-370.
[9] 李应岐，何明一. 一种于近似有限Ridgelet变换的SAR图像分割方法[J]. 计算机工程与应用， 2005， 41（9）： 13-15.
[10] Chiou-Ting. Hsu， Ja-Ling. Wu. Hidden signatures in images. Proceedings of IEEE International Conference on Image Processing[C]， Lausanne， Switzerland， 1996： 223–226.
关键词： Arnold 置乱；数字水印；脊波变换；图像处理
中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）15-0175-03
Abstract： To redress the balance between the invisibility and robustness of the digital image watermark， a digital image watermark algorithm in ridgelet domain based on Arnold scrambling is presented. Firstly， Arnold transform is applied into watermark information to increase its privacy. Then a digital image with curvilinear edges or texture can be partitioned into small pieces and treated by ridgelet transform， according to the directional sensitivity and anisotropy of ridgelet transform. Eventually the watermark information is embedded in the ridgelet coefficients. The experiment results prove the robustness and transparency of the presented watermark algorithm against attacks such as adding noise，JPEG compression，filtering， shearing and other image manipulations.
Key words： arnold scrambling； digital watermarking； ridgelet transform； image processing
数字图像水印是嵌入图像中的不可见的识别码或标记，具有难以去除和破坏特点，可用来跟踪和保护图像的版权信息[1，2]。脊波理论[3，4]是由E J Candes 和 D L Donoho 提出，可以有效地描述沿直线或者超平面的奇异性。对于一幅含有曲线边缘或者纹理的图像，可将其分成小块，图像中的曲线就可近似当作直线处理，再对每个小块进行脊波变换获得图像的稀疏表示。图像置乱是一种加密技术，是数字图像安全传输和图像保密存储的重要手段之一。图像置乱是指利用数字图像具有的数字阵列的特点，搅乱图像中像素的位置或者颜色使之变成一幅杂乱无章的图像，从而达到无法辨认出原始图像的目的。而Arnold变换[5]方法简单，置乱程度高。因此本文提出了一种基于Arnold置乱的脊波域数字图像水印算法。首先对水印信息进行Arnold置乱，然后对原始图像分块进行脊波变换，并将置乱后的水印信息嵌入到图像块的脊波系数中。最后通过实验讨论了算法的鲁棒性和透明性。
1 Arnold变换的基本原理
Arnold变换（Cat mapping），又称“猫脸变换”，是V. I. Arnold在遍历理论的研究中提出的一种裁剪变换。将图像看作平面区域上的二元函数[Z=F（x，y），（x，y）∈R]，通常区域[R]是一个正方形。对[R]中的任意点[F（x，y）]，相对应的函数值[F（x，y）]代表图像的灰度值。[Z=F（x，y）]看作一个二维离散点阵，其元素所在的行与列对应于自变量的取值，而元素本身代表图像信息。对这一矩阵进行如式（1）所示的变换可以得到新的矩阵，从而实现图像的置乱处理。
图像大小为[p×p]，经FRAT变换后，可以得到[p 1]个投影方向，沿每个方向再做一维小波变换即可得到FRIT变换。对FRIT变换的结果沿每一方向作一维小波逆变换，再经过FBP 变换，可以得到有限脊波反变换（Inverse Finite Ridgelet Transform， IFRIT） [9]。
3 本文算法
3.1 水印的嵌入
水印的嵌入框图如图1所示。
1） 二值图像预处理。首先用Arnold算法对二值水印图像进行置乱处理，从而对水印图像进行加密。先将[N×N]大小的水印图像置乱[n]次，其中[n∈1，mN]，[mN]为[N×N]水印图像的Arnold置乱变换周期。此时水印图像通过置乱减弱了像素空间的相关性，攻击者也很难从得到的水印图像中恢复出原始的水印图像，从而进一步保证了水印图像的安全性；最后将水印图像按从左到右从上到下的扫描顺序变换成一维序列[Wl]。
2）载体图像分块脊波变换。将大小为[M×M]的载体图像[X]分成[H]个小块[Xh]，其中[h=1，2，...，H]。每个小块里有[p*p]个象素，使得小块内的曲线边缘或纹理可近似的看做直线处理。图像块[Xh]经过FRIT变换后，得到[0≤k≤p]方向上的脊波系数[FRITxh[k，l]]。在第[h]个图像块中，找出能量最强的方向[kh=maxk（l=0p-1（FRITXh[k，l]）2）]。水印嵌入位置选择图像块脊波变换后的中频脊波系数[Fl][10]，也就是说水印嵌入的位置是图像块能量最强方向的中频脊波带。 式（12）中单位为dB，[f]和 [fw]分别表示原始载体信号和含有水印的载体信号，[（i，j）]为象素点的位置，[Nf]为图像的象素点个数。[PSNR]值越大，表明对原始载体图像的破坏越小。相关函数[Nc]用来评估原始水印与提取的水印的相似度，其值越大，说明两者越相似。
5 实验结果
载体图像为[510×510]的Lena图像，嵌入大小为24[×]24的二值图像，如图3（a）和（b）所示。
1）水印的读入与置乱。
水印图像首先通过Arnold置乱，获得如图3（c）所示的效果，然后将其转换为一维序列[Wl]。载体图像分为[H=900]个图像块，每个图像块的大小为[p×p]，[p=]17，对图像块进行FRIT变换，其中FRIT变换中对每个方向做了四层一维小波变换，水印序列[Wl]的嵌入位置选择该方向的第三层高频系数。然后按照3.1节和3.2节的水印嵌入算法和水印提取算法进行实验，得到如图4所示的结果。可以看出原始图像（见图3（a））和嵌入水印后的图像（见图4（a））之间没有视觉差别，并且提取的水印图像（见图4（b））通过Arnold算法恢复出的水印图像如图4（c）所示，与原始水印图像（见图3（b））无区别。嵌入水印后图像的PSNR为44.33，且水印从载体图像中完全恢复出来，即[Nc]=1.
6 结论
本文提出了一种基于Arnold置乱的脊波域水印算法。算法利用Arnold变换对水印图像进行预处理，从而加强水印信息的安全性。然后将水印嵌入载体图像的脊波域，水印检测不需要原始载体图像或水印信息，且只有合法用户才能恢复出水印图像。实验结果表明，本文的数字水印算法在经过各种噪声攻击后，仍然可以提取较高质量的水印图像，较好的平衡了数字水印的透明性和鲁棒性之间的矛盾。
参考文献：
[1] Zhang Guannan， Wang Shuxun， Wen Quan. An adaptive blind watermarking algorithm to embed readable watermark[J]. Acta Electronica Sinica， 2005， 33（2）：308-312.
[2] Zhang Jianxun， Zhang Jianwan， Sun Jizhou. Image-adaptive and robust digital wavelet-domain watermarking for image[J]. Journal of Communication and Computer， 2005（2）： 57-63.
[3] Candes E. Ridgelets： theory and applications[D]， Stanford： Department of Statistics， Stanford University， 1998.
[4] Candes E， Donoho E L. Ridgelets： a key to higher-dimensinal intermittency[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London， 1999， 357（1760）： 2495– 2509.
[5] 张春森，范金健，胡平波.小波变换和Arnold变换的数字水印技术[J].西安科技大学学报.2012（01）：95-100.
[6] 侯彪，刘芳，焦李成.基于脊波变换的直线特征检测[J].中国科学E辑：技术科学.2003（01）：65-73.
[7] D L Donoho. Fast ridgelet transforms in dimension 2 [R]. Technical Report， Department of Statistics， Stanford University CA， 1997.
[8] M N Do， Martin Vetterli. Orthonormal finite ridgelet transform for image compression[A]. IEEE International Conference on Image Processing [C]. Canada： Vancouver， 2000. 367-370.
[9] 李应岐，何明一. 一种于近似有限Ridgelet变换的SAR图像分割方法[J]. 计算机工程与应用， 2005， 41（9）： 13-15.
[10] Chiou-Ting. Hsu， Ja-Ling. Wu. Hidden signatures in images. Proceedings of IEEE International Conference on Image Processing[C]， Lausanne， Switzerland， 1996： 223–226.