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摘要： 基于Biot流体饱和多孔介质模型，采用动力刚度矩阵方法结合傅里叶变换，给出了层状横观各向同性（TI）饱和半空间中均布斜线荷载及孔隙水压的动力格林函数。方法首先将荷载作用层固定，在波数域内求得层内响应和固端反力，进而由刚度矩阵方法求得反加固端反力于整个层状半空间而产生的响应，最后叠加层内解和固端反力解经由傅里叶逆变换求得空间域内解。所给出的层状TI饱和半空间格林函数为建立相应边界元方法进而求解层状TI饱和介质相关波动问题提供了一组完备基本解。通过与已发表的各向同性饱和结果和TI弹性结果进行对比，验证了方法的正确性。进而给出了数值计算结果并进行了参数分析。结果表明：TI饱和介质与各向同性饱和介质对应的动力响应差异显著，且介质的各向异性参数对动力响应有着重要影响。此外，荷载埋深越小，地表位移和孔压波动更剧烈;介质渗透系数起到类似阻尼的作用，减小渗透系数可降低动力响应;随着频率的增大，位移、应力和孔压的波动也更为剧烈。
关键词： 横观各向同性饱和介质; 层状半空间; 动力刚度矩阵法; 格林函数
中图分类号： TU435 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2020）04-0784-012
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.017
引 言
动力荷载作用于半空间的响应问题（动力格林函数）一直是地震工程、地震学和岩土工程等领域中的重要研究课题。自Lamb[1]开创性地采用回路积分方法给出了均匀弹性半空间表面或埋置集中荷载的动力格林函数之后，大量学者针对该问题开展了研究。如针对单相弹性介质，Achenbach[2]，Aki和Richards[3]，Miklowitz[4]，Kausel[5]、刘中宪和梁建文[6]分别采用不同的方法研究了均匀和层状半空间动力格林函数问题;针对两相饱和多孔介质，在Biot[7-9]建立的流体饱和多孔介质弹性波传播理论基础上，Paul[10]，Philippacopoulos[11-13]，Senjuntichai和Rajapakse[14] 、Jin和Liu[15]研究了简谐荷载作用于均匀饱和多孔半空间的动力响应问题。Lu和Hanyga[16]使用传播矩阵法，Knopoff[17]，Rajapakse和Senjuntichai[18]，Liang和You[19-20]利用动力刚度矩阵法给出了层状饱和半空间的动力格林函数。
值得指出地是以上研究均将半空间介质假定为各向同性（单相弹性或两相饱和）。然而，由于长期风化和沉积作用，天然岩土体表现出明显的横观各向异性（TI）性质（水平与竖向材料参数存在差异）[21-22]。目前亦有诸多学者针对单相TI半空间的动力格林函数进行了研究。Rajapakse和Wang[23]给出了均匀TI半空间作用简谐荷载时的二维格林函数。Liu等[24]研究了TI弹性半空间的轴对称波传播问题。Wang和Liao[25]提出了各种埋置荷载作用于均匀TI半空间的位移和应力闭合解。Shodja和Eskandari[26]解决了轴对称简谐荷载作用于上覆TI土层半空间的动力响应问题。Khojasteh等[27]借助势函数，推导了均匀TI半空间的非轴对称动力格林函数。Ai等[28-30]提出了一种解析层元法求解了层状TI半空间的轴对称、非轴对称和平面应变情况的动力响应问题。
值得指出，上述研究仍限于单相弹性TI介质。然而很多情况下，岩土不仅是TI的，而且是流体饱和的（滨海地区），将岩土体视为TI饱和多孔介质更为合理。目前关于TI饱和介质中波动问题的研究还很少。Taguchi和Kurashige[31]利用Kupradze方法结合Fourier-Hankel变换求解了阶梯状点源荷载作用于TI饱和全空间的动力格林函数。何芳社等[32]研究了TI饱和半空间地基上圆环板的简谐振动问题。最近Ba等[33]求解了二维层状TI饱和半空间表面和内部作用简谐荷载的动力响应问题。
鉴于TI饱和半空间（尤其是层状TI饱和半空间）中动力格林函数研究还很少，本文在文献[33]的基础上，采用刚度矩阵方法结合傅里叶变换给出了层状TI饱和半空间中作用均布斜线荷载及孔隙水壓的动力格林函数。所求得的层状TI饱和半空间动力格林函数，为建立相应边界元方法进而求解层状TI饱和介质相关波动问题提供了一组完备基本解。斜线荷载动力格林函数由Wolf[34]首次于各向同性弹性半空间中给出，进而由Liang和You[19-20]拓展到了各向同性饱和半空间，由Ba等[35]拓展到了单相TI半空间。研究表明以均布斜线荷载动力格林函数为基本解的边界元方法，相较于以集中荷载动力格林函数为基本解的边界元方法具有荷载可以直接施加在真实边界上而无奇异性的优点，因而精度较高且对复杂边界有着更好的适应性[36]。
本文首先求解了TI饱和多孔介质波动方程，给出了层状TI饱和半空间中均布斜线荷载及孔隙水压动力格林函数的求解公式;然后对给出的格林函数的正确性进行了验证，并以均匀TI饱和半空间和单一TI饱和土层半空间中作用均布斜线荷载及孔隙水压模型为例，进行了数值计算分析，研究了介质各向异性参数、界面透水条件、荷载埋深和渗透率等对动力响应的影响;最后给出了本文的结论。
1 模型与计算方法
如图1所示，均布斜线荷载作用于层状TI饱和半空间内部。层状TI饱和半空间由N层水平TI饱和土层和其下的TI饱和半空间组成，介质均由Biot[7-9]饱和多孔介质模型描述。土层之间以及土层与其下半空间之间考虑为完全接触（位移、应力和孔压连续），各土层厚度为dn（n=1-N）。层状TI饱和半空间满足表面零应力边界条件和无穷远辐射条件，同时本文考虑两种透水条件，分别为排水条件（地表完全透水）和不排水条件（地表完全不透水）。沿x和z向的均布荷载密度为px0和pz0，孔压密度为pf0，斜线与x轴的夹角为θ。
2方法验证
本文通过与文献[20，30]给出结果的比较来验证给出动力格林函数的正确性。首先将TI饱和介质退化为各向同性饱和介质与文献[20]中结果进行比较。其次，将TI饱和介质退化为TI弹性介质与文献[30]中结果进行比较。
2.1本文结果与文献[20]结果比较
当取竖向与水平方向材料参数相等时，本文解答可退化为各向同性情况。文献[20]模型为饱和半空间上三饱和土层，均布斜线荷载作用于第二土层（具体模型见文献[20]）。各饱和土层与半空间剪切模量比值为GL∶2GL∶3GL∶GR=1∶2∶3∶4，GL=125MPa;各土层其他参数相同：ν=0.25，ρs=2ρf=2000kg/m3，ζ=0.001，kd=10-3m/s，kf=2100MPa，=0.4和α=1.0。各饱和土层厚度相同为a=5m。均布斜线荷载幅值q0=1000N/m2，斜线倾角θ=45°。无量纲频率定义为ω*=ωa·ρ/GR，无量纲水平和竖向位移分别定义为u*x（0，z）=GLux（0，z）/（q0a）和uz*（0，z）=GLuz（0，z）/（q0a）。半空间表面完全透水。计算频率取ω*=0.5和2.0。图4（a）-（d）给出了分别施加均布水平和竖向荷载时，相应的水平和竖向位移的实部和虚部。可以看出，本文结果与文献[20]结果非常吻合。
2.2本文结果与文献[30]结果比较
当取相应饱和参数为0时（实际计算中，取mj=rj=αj=kf=ρf==0.0001，j=1，3），TI饱和介质可退化为TI弹性介质。文献[30]模型为幅值为r0的竖向条形均布荷载作用于TI弹性半空间表面（具体模型见文献[30]）。半空间材料参数为n=Eh/Ev=1.0，2.0和3.0，m=Gv/Ev=0.3，νh=νvh=0.25，ρ=2000kg/m3，ζ=0.01。无量纲频率和土骨架竖向位移分别定义为=ωaρ/Gv和′z=uzGv/（r0a），其中a为竖向均布荷载的半宽。图5给出了=1.0时，竖向均布荷载作用下竖向位移的实部和虚部沿z轴的变化曲线，其中图5（a）为本文计算的结果，图5（b）为文献[30]的结果。通过对比两结果，可以发现本文结果与文献[30]给出的结果非常吻合，从而进一步验证了本文方法的正确性。
3.1介质各向异性参数的影响
首先以均匀TI饱和半空间作用均布荷载和孔压为例（图6（a）），研究了介质各向异性参数的影响。考虑三种材料模型，其具体参数如表1所示，计算中不考虑阻尼。介质1和3是TI饱和的，而介质2实际上是各向同性饱和的（Eh=Ev）。由于三种介质的Eh和Ev之和是不变的，介质2可以认为是介质1和3的等效各向同性情况。半空间表面为排水条件。计算时取无量纲频率ω*=0.5和2.0。
从图13中可以看出，三种单一土层半空间（d1/a=3.0，4.0和5.0）对应的u*xx（0，0），u*zz（0，0）以及p*p（0，0）的实部和虚部均围绕均匀半空间（d/a=∞）的结果上下波动。随着土层厚度的增加，位移和孔压幅值随ω*的变化更为剧烈，且共振频率（第一峰值频率）显著降低。此外，p*p（0，0）的变化几乎与土层厚度无关，这是因为土层和半空间的孔隙率是相同的（流体通过土层和半空间交界面不受阻碍），对应四种半空间孔压之间的微小差异则是由于施加孔压而传递到固体骨架上的竖向荷载α3q0引起的。
4结论
本文采用精确动力刚度法结合傅里叶变换求解了层状TI饱和半空间中斜线荷载及孔压动力格林函数。通过与各向同性饱和和TI弹性半空间结果比较，验证了解的正确性。文中进行了数值分析，研究了介质各向异性参数、地表排水条件、荷载埋深和渗透率等因素对动力响应的影响，得到了如下主要结论。
TI饱和介质与各向同性饱和介质对应的动力响应差异显著，且介质的各向异性参数对动力响应有着重要影响;荷载埋深越小，地表位移和孔压波动更剧烈;介质渗透系数起到类似阻尼的作用，减小渗透系数可降低动力响应;土层厚度对动力响应有着重要影响，随着土层厚度的增大，场地固有频率逐渐減小;随着频率的增大，位移、应力和孔压的波动也更为剧烈。
参考文献：
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Abstract：BasedontheBiot’stheoryofsaturatedporoelasticmedium，theGreen’sfunctionsofuniformlydistributedinclinedloadsandporefluidpressureinamulti-layeredtransverselyisotropic（TI）saturatedhalf-spacearederivedbyusingtheexactdynamicstiffnessmatrixmethodcombinedwiththeFouriertransform.First，theloadedlayerisfixed.Sothedynamicresponseofthelayerandreactionforcesofthefixedendcanbederivedinwavenumberdomain.Next，withoppositeofreactionforcesoffixedendbeingappliedtothewholesystem，thedynamicstiffnessmatrixmethodisadoptedtoobtainthedynamicresponseofthewholesystem.Finally，thedynamicresponseinspacedomaincanbesolvedbyperformingtheinverseFouriertransformonthesummationoftheloadedlayerresponseandreactionresponse.TheGreen’sfunctionsforamulti-layeredTIsaturatedhalf-spacearepresented，whichprovidesacompletesetofbasicsolutionsfortheestablishmentofthecorrespondingboundaryelementmethodandthensolvingthescatteringproblemofthelayeredTImedium.ThegivenGreen’sfunctionscanbedegeneratedintosolutionsofisotropicsaturatedandTIelasticmedia.BycomparingwiththepublishedisotropicsaturateandTIelasticresults，thecorrectnessofthemethodisverified.Thenthenumericalresultsaregivenandtheparametersareanalyzedindetail.TheresultsshowthatthedynamicresponsesofTIsaturatedmediumandisotropicsaturatedmediumaresignificantlydifferent，andtheTIparametersofthemediumhaveanimportantinfluenceonthedynamicresponse.Thefluctuationofsurfacedisplacementandporepressurearemoreviolentwithalowerburieddepthofload.Thepermeabilitycoefficientofthemediumhasasimilareffecttothemediumdamping.Withtheincreaseoffrequency，thefluctuationofdisplacement，stressandporepressurebecomesmoreviolent.
Keywords：transverselyisotropicsaturatedporoelasticmedium;multi-layeredhalf-space;dynamicstiffnessmatrixmethod;Green′sfunction
关键词： 横观各向同性饱和介质; 层状半空间; 动力刚度矩阵法; 格林函数
中图分类号： TU435 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2020）04-0784-012
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.017
引 言
动力荷载作用于半空间的响应问题（动力格林函数）一直是地震工程、地震学和岩土工程等领域中的重要研究课题。自Lamb[1]开创性地采用回路积分方法给出了均匀弹性半空间表面或埋置集中荷载的动力格林函数之后，大量学者针对该问题开展了研究。如针对单相弹性介质，Achenbach[2]，Aki和Richards[3]，Miklowitz[4]，Kausel[5]、刘中宪和梁建文[6]分别采用不同的方法研究了均匀和层状半空间动力格林函数问题;针对两相饱和多孔介质，在Biot[7-9]建立的流体饱和多孔介质弹性波传播理论基础上，Paul[10]，Philippacopoulos[11-13]，Senjuntichai和Rajapakse[14] 、Jin和Liu[15]研究了简谐荷载作用于均匀饱和多孔半空间的动力响应问题。Lu和Hanyga[16]使用传播矩阵法，Knopoff[17]，Rajapakse和Senjuntichai[18]，Liang和You[19-20]利用动力刚度矩阵法给出了层状饱和半空间的动力格林函数。
值得指出地是以上研究均将半空间介质假定为各向同性（单相弹性或两相饱和）。然而，由于长期风化和沉积作用，天然岩土体表现出明显的横观各向异性（TI）性质（水平与竖向材料参数存在差异）[21-22]。目前亦有诸多学者针对单相TI半空间的动力格林函数进行了研究。Rajapakse和Wang[23]给出了均匀TI半空间作用简谐荷载时的二维格林函数。Liu等[24]研究了TI弹性半空间的轴对称波传播问题。Wang和Liao[25]提出了各种埋置荷载作用于均匀TI半空间的位移和应力闭合解。Shodja和Eskandari[26]解决了轴对称简谐荷载作用于上覆TI土层半空间的动力响应问题。Khojasteh等[27]借助势函数，推导了均匀TI半空间的非轴对称动力格林函数。Ai等[28-30]提出了一种解析层元法求解了层状TI半空间的轴对称、非轴对称和平面应变情况的动力响应问题。
值得指出，上述研究仍限于单相弹性TI介质。然而很多情况下，岩土不仅是TI的，而且是流体饱和的（滨海地区），将岩土体视为TI饱和多孔介质更为合理。目前关于TI饱和介质中波动问题的研究还很少。Taguchi和Kurashige[31]利用Kupradze方法结合Fourier-Hankel变换求解了阶梯状点源荷载作用于TI饱和全空间的动力格林函数。何芳社等[32]研究了TI饱和半空间地基上圆环板的简谐振动问题。最近Ba等[33]求解了二维层状TI饱和半空间表面和内部作用简谐荷载的动力响应问题。
鉴于TI饱和半空间（尤其是层状TI饱和半空间）中动力格林函数研究还很少，本文在文献[33]的基础上，采用刚度矩阵方法结合傅里叶变换给出了层状TI饱和半空间中作用均布斜线荷载及孔隙水壓的动力格林函数。所求得的层状TI饱和半空间动力格林函数，为建立相应边界元方法进而求解层状TI饱和介质相关波动问题提供了一组完备基本解。斜线荷载动力格林函数由Wolf[34]首次于各向同性弹性半空间中给出，进而由Liang和You[19-20]拓展到了各向同性饱和半空间，由Ba等[35]拓展到了单相TI半空间。研究表明以均布斜线荷载动力格林函数为基本解的边界元方法，相较于以集中荷载动力格林函数为基本解的边界元方法具有荷载可以直接施加在真实边界上而无奇异性的优点，因而精度较高且对复杂边界有着更好的适应性[36]。
本文首先求解了TI饱和多孔介质波动方程，给出了层状TI饱和半空间中均布斜线荷载及孔隙水压动力格林函数的求解公式;然后对给出的格林函数的正确性进行了验证，并以均匀TI饱和半空间和单一TI饱和土层半空间中作用均布斜线荷载及孔隙水压模型为例，进行了数值计算分析，研究了介质各向异性参数、界面透水条件、荷载埋深和渗透率等对动力响应的影响;最后给出了本文的结论。
1 模型与计算方法
如图1所示，均布斜线荷载作用于层状TI饱和半空间内部。层状TI饱和半空间由N层水平TI饱和土层和其下的TI饱和半空间组成，介质均由Biot[7-9]饱和多孔介质模型描述。土层之间以及土层与其下半空间之间考虑为完全接触（位移、应力和孔压连续），各土层厚度为dn（n=1-N）。层状TI饱和半空间满足表面零应力边界条件和无穷远辐射条件，同时本文考虑两种透水条件，分别为排水条件（地表完全透水）和不排水条件（地表完全不透水）。沿x和z向的均布荷载密度为px0和pz0，孔压密度为pf0，斜线与x轴的夹角为θ。
2方法验证
本文通过与文献[20，30]给出结果的比较来验证给出动力格林函数的正确性。首先将TI饱和介质退化为各向同性饱和介质与文献[20]中结果进行比较。其次，将TI饱和介质退化为TI弹性介质与文献[30]中结果进行比较。
2.1本文结果与文献[20]结果比较
当取竖向与水平方向材料参数相等时，本文解答可退化为各向同性情况。文献[20]模型为饱和半空间上三饱和土层，均布斜线荷载作用于第二土层（具体模型见文献[20]）。各饱和土层与半空间剪切模量比值为GL∶2GL∶3GL∶GR=1∶2∶3∶4，GL=125MPa;各土层其他参数相同：ν=0.25，ρs=2ρf=2000kg/m3，ζ=0.001，kd=10-3m/s，kf=2100MPa，=0.4和α=1.0。各饱和土层厚度相同为a=5m。均布斜线荷载幅值q0=1000N/m2，斜线倾角θ=45°。无量纲频率定义为ω*=ωa·ρ/GR，无量纲水平和竖向位移分别定义为u*x（0，z）=GLux（0，z）/（q0a）和uz*（0，z）=GLuz（0，z）/（q0a）。半空间表面完全透水。计算频率取ω*=0.5和2.0。图4（a）-（d）给出了分别施加均布水平和竖向荷载时，相应的水平和竖向位移的实部和虚部。可以看出，本文结果与文献[20]结果非常吻合。
2.2本文结果与文献[30]结果比较
当取相应饱和参数为0时（实际计算中，取mj=rj=αj=kf=ρf==0.0001，j=1，3），TI饱和介质可退化为TI弹性介质。文献[30]模型为幅值为r0的竖向条形均布荷载作用于TI弹性半空间表面（具体模型见文献[30]）。半空间材料参数为n=Eh/Ev=1.0，2.0和3.0，m=Gv/Ev=0.3，νh=νvh=0.25，ρ=2000kg/m3，ζ=0.01。无量纲频率和土骨架竖向位移分别定义为=ωaρ/Gv和′z=uzGv/（r0a），其中a为竖向均布荷载的半宽。图5给出了=1.0时，竖向均布荷载作用下竖向位移的实部和虚部沿z轴的变化曲线，其中图5（a）为本文计算的结果，图5（b）为文献[30]的结果。通过对比两结果，可以发现本文结果与文献[30]给出的结果非常吻合，从而进一步验证了本文方法的正确性。
3.1介质各向异性参数的影响
首先以均匀TI饱和半空间作用均布荷载和孔压为例（图6（a）），研究了介质各向异性参数的影响。考虑三种材料模型，其具体参数如表1所示，计算中不考虑阻尼。介质1和3是TI饱和的，而介质2实际上是各向同性饱和的（Eh=Ev）。由于三种介质的Eh和Ev之和是不变的，介质2可以认为是介质1和3的等效各向同性情况。半空间表面为排水条件。计算时取无量纲频率ω*=0.5和2.0。
从图13中可以看出，三种单一土层半空间（d1/a=3.0，4.0和5.0）对应的u*xx（0，0），u*zz（0，0）以及p*p（0，0）的实部和虚部均围绕均匀半空间（d/a=∞）的结果上下波动。随着土层厚度的增加，位移和孔压幅值随ω*的变化更为剧烈，且共振频率（第一峰值频率）显著降低。此外，p*p（0，0）的变化几乎与土层厚度无关，这是因为土层和半空间的孔隙率是相同的（流体通过土层和半空间交界面不受阻碍），对应四种半空间孔压之间的微小差异则是由于施加孔压而传递到固体骨架上的竖向荷载α3q0引起的。
4结论
本文采用精确动力刚度法结合傅里叶变换求解了层状TI饱和半空间中斜线荷载及孔压动力格林函数。通过与各向同性饱和和TI弹性半空间结果比较，验证了解的正确性。文中进行了数值分析，研究了介质各向异性参数、地表排水条件、荷载埋深和渗透率等因素对动力响应的影响，得到了如下主要结论。
TI饱和介质与各向同性饱和介质对应的动力响应差异显著，且介质的各向异性参数对动力响应有着重要影响;荷载埋深越小，地表位移和孔压波动更剧烈;介质渗透系数起到类似阻尼的作用，减小渗透系数可降低动力响应;土层厚度对动力响应有着重要影响，随着土层厚度的增大，场地固有频率逐渐減小;随着频率的增大，位移、应力和孔压的波动也更为剧烈。
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Abstract：BasedontheBiot’stheoryofsaturatedporoelasticmedium，theGreen’sfunctionsofuniformlydistributedinclinedloadsandporefluidpressureinamulti-layeredtransverselyisotropic（TI）saturatedhalf-spacearederivedbyusingtheexactdynamicstiffnessmatrixmethodcombinedwiththeFouriertransform.First，theloadedlayerisfixed.Sothedynamicresponseofthelayerandreactionforcesofthefixedendcanbederivedinwavenumberdomain.Next，withoppositeofreactionforcesoffixedendbeingappliedtothewholesystem，thedynamicstiffnessmatrixmethodisadoptedtoobtainthedynamicresponseofthewholesystem.Finally，thedynamicresponseinspacedomaincanbesolvedbyperformingtheinverseFouriertransformonthesummationoftheloadedlayerresponseandreactionresponse.TheGreen’sfunctionsforamulti-layeredTIsaturatedhalf-spacearepresented，whichprovidesacompletesetofbasicsolutionsfortheestablishmentofthecorrespondingboundaryelementmethodandthensolvingthescatteringproblemofthelayeredTImedium.ThegivenGreen’sfunctionscanbedegeneratedintosolutionsofisotropicsaturatedandTIelasticmedia.BycomparingwiththepublishedisotropicsaturateandTIelasticresults，thecorrectnessofthemethodisverified.Thenthenumericalresultsaregivenandtheparametersareanalyzedindetail.TheresultsshowthatthedynamicresponsesofTIsaturatedmediumandisotropicsaturatedmediumaresignificantlydifferent，andtheTIparametersofthemediumhaveanimportantinfluenceonthedynamicresponse.Thefluctuationofsurfacedisplacementandporepressurearemoreviolentwithalowerburieddepthofload.Thepermeabilitycoefficientofthemediumhasasimilareffecttothemediumdamping.Withtheincreaseoffrequency，thefluctuationofdisplacement，stressandporepressurebecomesmoreviolent.
Keywords：transverselyisotropicsaturatedporoelasticmedium;multi-layeredhalf-space;dynamicstiffnessmatrixmethod;Green′sfunction