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一、教材版本
九年制义务教育初级中学教材鲁教版《数学》，七年级上册，第三章《勾股定理》第一节《探索勾股定理》第一课时。
二、目标确立
（一）课标分析
最新初中数学课程标准对于本节要求是：探索勾股定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。学生掌握本节基本内容不会产生很大困难，难点在于如何让学生参与勾股定理的探索过程，培养学生积极主动的思维，而不是被动的跟着老师的思维按部就班的进行完教学内容，从而提高学生思维的高效性，这是进行教学设计要应深入思考与注意的。
（二）教材分析
勾股定理的探索和证明蕴含着丰富的数学思想和科学研究方法，是培养学生具有良好思维品质的载体。它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的作用。它是初中数学教学内容重点之一。它也是反映自然界基本规律的一条重要结论，是直角三角形的一条重要性质，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，是“数形结合”数学思想的典范，可以解决许多直角三角形中的计算问题。本节课是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，在教材中起到承上启下的作用，为下面学习勾股定理的逆定理作了铺垫，为以后学习“四边形”和“解直角三角形”奠定基础。由于本节课重点培养学生的思维，因此采用“提纲导学”的教学方式，将所学内容与现实生活相联系，让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，注重激发学生的探索与求知能力。
（三）学情分析
1.学生現况分析
通过对学生学习状况的了解及对前面章节的教学活动，分析当前学生现状如下：
①学生认知基础：学生之前已接触了直角三角形，已经知道了它的一些性质，并且在数学问题的解决上已初步形成了一定的方法。
②学生心理特点：七年级学生具有好强、好胜、思维活跃的特点。在学习上有强烈的求知欲望，他们乐于探索及表现自我。
③学生能力：已初步具有对数学问题进行合理探究的意识与能力，也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验，愿意对数学问题进行讨论，并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问。但在数学说理和一些重要数学思想方法上尚不能熟练掌握，缺乏严谨的逻辑推理能力。
2.学生学法分析
七年级学生经过一年多的几何学习，几何图形的观察、几何证明的理性思维能力已初步形成。因此在教学中要力求实现以教师为主导，以学生为主体，以知识为载体，以培养学生为主体的教学思想，尽量为学生创设“做数学、玩数学”的情境，让学生从“学会”到“会学”，使学生真正成为学习的主人，但85%学生生活经验积累较少，缺乏严谨的逻辑推理能力。所以在探索勾股定理时，主要通过直观的，乐于接受的方式验证勾股定理，如方格纸中计算正方形的面积，利用几何画板验证勾股定理等，这样的方式符合七年级学生认知水平，适应其思维发展规律及心理特征。让学生感悟到：学习任何知识的最好方法就是自己去探索，在探索中领悟、在领悟中理解，让他们“学会学习”。
三、教学流程
（一）流程框架
（二）设计意图
设计课堂展示环节，是由于这一部分学生已经具备直角三角形基础知识的储备，初步具有对数学问题进行合理探究的意识与能力，教师根据学生的能力将课本教学内容重新设计，使其合理化，更符合学生实际情况，让他们通过自学提纲，结合课本，查阅资料，独立解决一些问题，同时设计更具有思维含量的层次性的问题，让学生提高思维品质。本环节就是让他们勇于将自己的所感所获表述出来，与同学们交流沟通，既培养了学生的语言表达和合作能力，同时又提出自己的疑问，从而在课堂质疑及疑难解惑环节解决了自己的疑惑。
课堂质疑及疑难解惑环节，主旨就是疑问产生兴趣，兴趣产生动力，在动力的驱动下，学生的思维就会开阔，思路就会打开，思维的火花就会闪现，学习能力就会有很大的提高。在本环节，主要让学生经历质疑?—解惑?—拓展的过程，实现思维品质的有效提高。在这里，以学生的认知水平和已有的知识和经验为基础，根据教材的具体内容，主要设计了四部分：
“解决问题，导出定理”部分，根据学生预习情况，让学生提出在预习过程中对定理推导存在的问题，通过师生之间的互相质疑，解惑，加深对定理的理解，通过存疑—释疑的过程激发学生的学习兴趣，调动学习积极性，进行思维品质的升华。
“勇闯关卡，体验成功”和“检测反馈，完善自我”部分，根据学生的实际情况，设计具有梯度性的题目，让学生通过组内检查交流，互相辩论，解答就可以解决问题。在这一部分中，教师不集中进行解答，主要是让学生自己完成，同时将学生提出的有针对性的问题加以展示，如做题步骤的规范性问题，单位等问题，提醒学生在后面做题过程中应加以注意。再就是设计具有生活实际背景的问题，旨在使学生通过探究，理解与掌握基本的数学知识与技能，体会与运用数学思想方法在实际生活中的应用，明确“在生活中学数学，数学又服务于生活”这一学习数学的最终目的，乐于进行现实数学活动的探索与研究，从而提高学生的思维品质与数学素养。
“反思巩固，师生共享”部分，通过师生共同反思总结，对本节课的知识内容及数学方法进行总结，让学生对课堂所学内容有概括性的掌握，同时通过教师寄语激发学生学习数学的积极性，对祖国璀璨文化的热爱，渗透课堂德育教育的相关内容，培养学生的爱国情操。
四、精彩片段
（一）激发兴趣，转换头脑，发掘问题，因势利导，解决问题
按照以往的教学习惯，先是验收学生根据课本和查阅的资料，利用自学提纲进行学习的收获。本节课的创设情境，导入新课很简单，就是勾股定理的内容和它的推导。这一部分学生很容易理解，学生争先恐后地举手回答。“请辛佩宸同学回答。”“直角三角形两条直角边平方和等于斜边平方。我利用数方格和分割正方形的方法计算面积，从而验证结论。”“同学们，你们同意他的观点吗？”，学生异口同声的回答：“同意。”我问：“ 辛佩宸同学，有没有别的方法呢？”，辛佩宸很明显楞了一下，瞅了其他同学一下，说：“没有了。”我说：“不对啊，同学们，课本上说得只是直角边长为整数的直角三角形，那直角边长为小数的怎么办呢？”盖耀在下面小声嘀咕：“那就取小数呗。”张启反驳说：“不行，太多了，验证不完！”我说：“那怎么办，要不你们讨论一下？”学生四人一组，讨论，各抒己见，十分热烈，渐渐声音低了下来，王泓森说：“老师，想不出来，你讲一下吧。”学生安静下来等我讲解。我说：“同学们常规方法的确不能验证，我们利用一个数学程序软件—几何画板进行。”接下来，我利用几何画板的动态功能演示了当直角三角形两条直角边为小数时，勾股定理的验证（如下图所示），学生恍然大悟：“老师，原来如此。”
本来这堂课我的设计到这就可以进行下一环节的教学了，但这时善于钻研的程培斌提出异议了：“老师，还不对！”，我一愣：
“怎么了？”“咱们验证的只有两个小数位，那再多的呢？”
学生议论纷纷：“是啊，怎么办？”至此，如果不进行这方面的解答很明显满足不了这帮小家伙们的好奇心了。我提示到：“数是无穷多的，不能一一列举，那怎么办？”张艺丹的反应相当快捷，“老师，用字母表示数。”“对”，我赞赏地说，“这是一种很好的思路，设用a，b来表示直角三角形的两条直角边，就可以很好的来解决培斌同学提出的问题了。但问题是用这一种思路怎样来验证勾股定理呢？（稍停）和以前的思路是否能相关联呢？”同学们静悄悄地思考。我又提示道：
“咱照着前面的一般直角三角形来看吧，如下图，能否通过计算面积的方法来验证勾股定理？”学生眼前一亮：“老师，能。和前面一样的思路，不过这是用字母表示。大正方形C的面积直接表示为c2，间接表示为四个直角三角形面积与中间一个小正方形的面积和为
边演算边说：“这样化简后就得到 这个结论，也就证明了勾股定理。”“同学们总结的很好，这就是勾股定理的几何证明之一。勾股定理是几何学中的明珠，千百年来，人们对它的证明达到几百种之多，”学生表示惊叹，“请课后同学们通过预习课本及查阅资料，完成几个自己认为比较典型的勾股定理的证明，作为下节课交流展示内容。”学生兴趣盎然：“好。”……
（二）设置悬念，“难为”学生，萌生兴趣，为下节预习展示做准备。
在利用勾股定理解决实际问题这一部分中，解决的是工人师傅拉钢索长度问题和电视机尺寸问题。在学生解决好这个问题之后，让刘子颖展示后，我提出了问题：“假如说直角三角形的两条直角边长分别为1，2，试求出直角三角形斜边长”。学生思考计算，孙旻睿首先提出：“老师没法算”，稍后其他学生也提出没法算，我故意说：“不对吧。”学生接着继续演算。我说：“不行你们讨论一下？”顿时教室热闹起来，住了一会，学生纷纷表示：“老师根本没法算，你看12+22=5，找不出数的平方等于5，沒法算！”我笑咪咪得看着他们：“对，这节课没法算，”还没说完，学生反应过来了：“老师你太坏了”，“老师骗人”，我双手压了压：“但我相信，我们下节课就会解决了。”学生盯着我，“这也是我们下一章实数所要解决的一点内容，同学们有没有兴趣提前预习一下解决这个问题，下一节课一起展示一下？”学生纷纷表示：“好！”
五、自我反思
以学生为学习的主体，老师只是学生学习的引领者。兴趣是学生学习最好的老师，有兴趣，才有动力，才会进行思考，才能闪现思维的火花，这是灵感的源泉。正是基于这一教学基本理念，我组织了本节课的教学。
在我看来，自学提纲是教师精心设计而出的针对学生自学能力培养的首选，要符合学生的认知规律，有一定的层次性和梯度，但不是简单课本内容的复制，也不是习题类型的叠加，让学生意识到：要解决问题，不看书不行，不细心看书也不行，看书不思考也不行，思考不深入也不行，正所谓：“跳一跳，吃果果”，让学生产生兴趣，乐学，爱学，才能使学生数学能力提高，才能达到思维品质的改善与提高。在这一节课中，我注重以指导学生的“学”为教学的中心，让学生在充分预习准备的情况下进行展示，促进学生进行自主学习，但还是感到自己的学情分析和准备还不到位。对于引出预习实数计算算术平方根这一环节，我还是有预设的，旨在整合教材，更好地使其服务于学生的学习。但对于边长不为整数的直角三角形勾股定理的推导时，对于学生提出的问题使我大感意外，将本来下一课时的内容提前了。但正是这一意外，激发了学生学习的热情，在这过程中，学生的观察、思考、归纳能力得到切实提高，学习兴趣盎然，思维火花不断闪现，灵感不断出现。
九年制义务教育初级中学教材鲁教版《数学》，七年级上册，第三章《勾股定理》第一节《探索勾股定理》第一课时。
二、目标确立
（一）课标分析
最新初中数学课程标准对于本节要求是：探索勾股定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。学生掌握本节基本内容不会产生很大困难，难点在于如何让学生参与勾股定理的探索过程，培养学生积极主动的思维，而不是被动的跟着老师的思维按部就班的进行完教学内容，从而提高学生思维的高效性，这是进行教学设计要应深入思考与注意的。
（二）教材分析
勾股定理的探索和证明蕴含着丰富的数学思想和科学研究方法，是培养学生具有良好思维品质的载体。它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的作用。它是初中数学教学内容重点之一。它也是反映自然界基本规律的一条重要结论，是直角三角形的一条重要性质，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，是“数形结合”数学思想的典范，可以解决许多直角三角形中的计算问题。本节课是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，在教材中起到承上启下的作用，为下面学习勾股定理的逆定理作了铺垫，为以后学习“四边形”和“解直角三角形”奠定基础。由于本节课重点培养学生的思维，因此采用“提纲导学”的教学方式，将所学内容与现实生活相联系，让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，注重激发学生的探索与求知能力。
（三）学情分析
1.学生現况分析
通过对学生学习状况的了解及对前面章节的教学活动，分析当前学生现状如下：
①学生认知基础：学生之前已接触了直角三角形，已经知道了它的一些性质，并且在数学问题的解决上已初步形成了一定的方法。
②学生心理特点：七年级学生具有好强、好胜、思维活跃的特点。在学习上有强烈的求知欲望，他们乐于探索及表现自我。
③学生能力：已初步具有对数学问题进行合理探究的意识与能力，也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验，愿意对数学问题进行讨论，并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问。但在数学说理和一些重要数学思想方法上尚不能熟练掌握，缺乏严谨的逻辑推理能力。
2.学生学法分析
七年级学生经过一年多的几何学习，几何图形的观察、几何证明的理性思维能力已初步形成。因此在教学中要力求实现以教师为主导，以学生为主体，以知识为载体，以培养学生为主体的教学思想，尽量为学生创设“做数学、玩数学”的情境，让学生从“学会”到“会学”，使学生真正成为学习的主人，但85%学生生活经验积累较少，缺乏严谨的逻辑推理能力。所以在探索勾股定理时，主要通过直观的，乐于接受的方式验证勾股定理，如方格纸中计算正方形的面积，利用几何画板验证勾股定理等，这样的方式符合七年级学生认知水平，适应其思维发展规律及心理特征。让学生感悟到：学习任何知识的最好方法就是自己去探索，在探索中领悟、在领悟中理解，让他们“学会学习”。
三、教学流程
（一）流程框架
（二）设计意图
设计课堂展示环节，是由于这一部分学生已经具备直角三角形基础知识的储备，初步具有对数学问题进行合理探究的意识与能力，教师根据学生的能力将课本教学内容重新设计，使其合理化，更符合学生实际情况，让他们通过自学提纲，结合课本，查阅资料，独立解决一些问题，同时设计更具有思维含量的层次性的问题，让学生提高思维品质。本环节就是让他们勇于将自己的所感所获表述出来，与同学们交流沟通，既培养了学生的语言表达和合作能力，同时又提出自己的疑问，从而在课堂质疑及疑难解惑环节解决了自己的疑惑。
课堂质疑及疑难解惑环节，主旨就是疑问产生兴趣，兴趣产生动力，在动力的驱动下，学生的思维就会开阔，思路就会打开，思维的火花就会闪现，学习能力就会有很大的提高。在本环节，主要让学生经历质疑?—解惑?—拓展的过程，实现思维品质的有效提高。在这里，以学生的认知水平和已有的知识和经验为基础，根据教材的具体内容，主要设计了四部分：
“解决问题，导出定理”部分，根据学生预习情况，让学生提出在预习过程中对定理推导存在的问题，通过师生之间的互相质疑，解惑，加深对定理的理解，通过存疑—释疑的过程激发学生的学习兴趣，调动学习积极性，进行思维品质的升华。
“勇闯关卡，体验成功”和“检测反馈，完善自我”部分，根据学生的实际情况，设计具有梯度性的题目，让学生通过组内检查交流，互相辩论，解答就可以解决问题。在这一部分中，教师不集中进行解答，主要是让学生自己完成，同时将学生提出的有针对性的问题加以展示，如做题步骤的规范性问题，单位等问题，提醒学生在后面做题过程中应加以注意。再就是设计具有生活实际背景的问题，旨在使学生通过探究，理解与掌握基本的数学知识与技能，体会与运用数学思想方法在实际生活中的应用，明确“在生活中学数学，数学又服务于生活”这一学习数学的最终目的，乐于进行现实数学活动的探索与研究，从而提高学生的思维品质与数学素养。
“反思巩固，师生共享”部分，通过师生共同反思总结，对本节课的知识内容及数学方法进行总结，让学生对课堂所学内容有概括性的掌握，同时通过教师寄语激发学生学习数学的积极性，对祖国璀璨文化的热爱，渗透课堂德育教育的相关内容，培养学生的爱国情操。
四、精彩片段
（一）激发兴趣，转换头脑，发掘问题，因势利导，解决问题
按照以往的教学习惯，先是验收学生根据课本和查阅的资料，利用自学提纲进行学习的收获。本节课的创设情境，导入新课很简单，就是勾股定理的内容和它的推导。这一部分学生很容易理解，学生争先恐后地举手回答。“请辛佩宸同学回答。”“直角三角形两条直角边平方和等于斜边平方。我利用数方格和分割正方形的方法计算面积，从而验证结论。”“同学们，你们同意他的观点吗？”，学生异口同声的回答：“同意。”我问：“ 辛佩宸同学，有没有别的方法呢？”，辛佩宸很明显楞了一下，瞅了其他同学一下，说：“没有了。”我说：“不对啊，同学们，课本上说得只是直角边长为整数的直角三角形，那直角边长为小数的怎么办呢？”盖耀在下面小声嘀咕：“那就取小数呗。”张启反驳说：“不行，太多了，验证不完！”我说：“那怎么办，要不你们讨论一下？”学生四人一组，讨论，各抒己见，十分热烈，渐渐声音低了下来，王泓森说：“老师，想不出来，你讲一下吧。”学生安静下来等我讲解。我说：“同学们常规方法的确不能验证，我们利用一个数学程序软件—几何画板进行。”接下来，我利用几何画板的动态功能演示了当直角三角形两条直角边为小数时，勾股定理的验证（如下图所示），学生恍然大悟：“老师，原来如此。”
本来这堂课我的设计到这就可以进行下一环节的教学了，但这时善于钻研的程培斌提出异议了：“老师，还不对！”，我一愣：
“怎么了？”“咱们验证的只有两个小数位，那再多的呢？”
学生议论纷纷：“是啊，怎么办？”至此，如果不进行这方面的解答很明显满足不了这帮小家伙们的好奇心了。我提示到：“数是无穷多的，不能一一列举，那怎么办？”张艺丹的反应相当快捷，“老师，用字母表示数。”“对”，我赞赏地说，“这是一种很好的思路，设用a，b来表示直角三角形的两条直角边，就可以很好的来解决培斌同学提出的问题了。但问题是用这一种思路怎样来验证勾股定理呢？（稍停）和以前的思路是否能相关联呢？”同学们静悄悄地思考。我又提示道：
“咱照着前面的一般直角三角形来看吧，如下图，能否通过计算面积的方法来验证勾股定理？”学生眼前一亮：“老师，能。和前面一样的思路，不过这是用字母表示。大正方形C的面积直接表示为c2，间接表示为四个直角三角形面积与中间一个小正方形的面积和为
边演算边说：“这样化简后就得到 这个结论，也就证明了勾股定理。”“同学们总结的很好，这就是勾股定理的几何证明之一。勾股定理是几何学中的明珠，千百年来，人们对它的证明达到几百种之多，”学生表示惊叹，“请课后同学们通过预习课本及查阅资料，完成几个自己认为比较典型的勾股定理的证明，作为下节课交流展示内容。”学生兴趣盎然：“好。”……
（二）设置悬念，“难为”学生，萌生兴趣，为下节预习展示做准备。
在利用勾股定理解决实际问题这一部分中，解决的是工人师傅拉钢索长度问题和电视机尺寸问题。在学生解决好这个问题之后，让刘子颖展示后，我提出了问题：“假如说直角三角形的两条直角边长分别为1，2，试求出直角三角形斜边长”。学生思考计算，孙旻睿首先提出：“老师没法算”，稍后其他学生也提出没法算，我故意说：“不对吧。”学生接着继续演算。我说：“不行你们讨论一下？”顿时教室热闹起来，住了一会，学生纷纷表示：“老师根本没法算，你看12+22=5，找不出数的平方等于5，沒法算！”我笑咪咪得看着他们：“对，这节课没法算，”还没说完，学生反应过来了：“老师你太坏了”，“老师骗人”，我双手压了压：“但我相信，我们下节课就会解决了。”学生盯着我，“这也是我们下一章实数所要解决的一点内容，同学们有没有兴趣提前预习一下解决这个问题，下一节课一起展示一下？”学生纷纷表示：“好！”
五、自我反思
以学生为学习的主体，老师只是学生学习的引领者。兴趣是学生学习最好的老师，有兴趣，才有动力，才会进行思考，才能闪现思维的火花，这是灵感的源泉。正是基于这一教学基本理念，我组织了本节课的教学。
在我看来，自学提纲是教师精心设计而出的针对学生自学能力培养的首选，要符合学生的认知规律，有一定的层次性和梯度，但不是简单课本内容的复制，也不是习题类型的叠加，让学生意识到：要解决问题，不看书不行，不细心看书也不行，看书不思考也不行，思考不深入也不行，正所谓：“跳一跳，吃果果”，让学生产生兴趣，乐学，爱学，才能使学生数学能力提高，才能达到思维品质的改善与提高。在这一节课中，我注重以指导学生的“学”为教学的中心，让学生在充分预习准备的情况下进行展示，促进学生进行自主学习，但还是感到自己的学情分析和准备还不到位。对于引出预习实数计算算术平方根这一环节，我还是有预设的，旨在整合教材，更好地使其服务于学生的学习。但对于边长不为整数的直角三角形勾股定理的推导时，对于学生提出的问题使我大感意外，将本来下一课时的内容提前了。但正是这一意外，激发了学生学习的热情，在这过程中，学生的观察、思考、归纳能力得到切实提高，学习兴趣盎然，思维火花不断闪现，灵感不断出现。