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数学大师华罗庚曾经说过，数离开形缺直观，形离开数难入微.在实际解题中如果把数与形有机地结合起来，发挥它们各自的优势，相辅相成，那么我们就能有效地找到解决问题的途径，把题目化难为易.现就这种思想，结合例题说明如下．
一、应用数形结合求数与式中的最大（小）值
例１求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值.
分析：绝对值可以通过数轴这个工具与两点间的距离紧密地结合起来．本题可以画一条数轴．
数轴上Ａ、Ｂ、Ｃ三点分别对应数１、２、３，点Ｐ对应的有理数为x，则有PA=|x-1|，PB=|x-2|，PC=|x-3|.这样，问题转化为在数轴上找一点Ｐ，使PA＋PB＋PC的值最小，显然当P与B重合时，PA＋PB＋PC=２最小.也就是|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值为２．
解：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，设AD=1，BD=x，CD=y.过点B作BE⊥AC，垂足为E.则有：AB2=x2+1，AC2=y2+1.
二、数形结合解方程（组）
（）
Ａ.３Ｂ.２Ｃ.１Ｄ.０
分析：本题若直接化分式方程为整式方程来求解方程根的个数，显然超越了初中数学的学习内容，展开联想，把“数”转化为“形”来研究．
出它们的图象，易得，在x＞０的范围内，两函数图象有两个交点，故而选Ｂ．
例４如图，有８块相同的长方形地砖恰好能拼成一个矩形的图案（地砖的缝隙忽略不计），且矩形的宽为20cm，求每块长方形地砖的面积．
分析：图中隐含两个等量关系，①２×地砖的长＝１×地砖的长+３×地砖的宽（化简得１×地砖的长＝３×地砖的宽）；②地砖的长+地砖的宽＝20cm
解：设每块长方形地砖的长为xcm，宽为ycm．
根据题意，得x=3yx+y=20，解得x=15y=5，
而15×5=75，即长方形地砖的面积为75cm2.
三、应用数形结合解锐角三角函数问题
例５课本中是这样引入“锐角三角函数”的：如图，在锐角?琢的终边OB上，任意取两点P和P1，分别过点P和P1作始边OA的垂线PM和P1M1，垂足分别为M和M1，我们规定，比值 叫做角?琢的正弦，比值 叫做角?琢的余弦，这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值，得到两个等式：
，.说明这些比值都是由 唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关.所以这些比值都是自变量?琢的函数．
分析：本题利用数形结合，在图中观察得知有两个相似的直角三角形△POM和△P１OM１根据有关定义和 ①求Ａ、Ｃ两地之间的距离；
②试确定目的地Ｃ在点Ａ的什么方向．
分析：根据题目所提供的数据正确作出图形，利用图形来求出Ａ，Ｃ间的距离并指出Ｃ地的位置.体现了数与形之间的相互转换.
所以点C在点A北偏东15°方向上．
四、应用数形结合解函数问题
例7 某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完.该公司对第一批产品Ａ上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如下图所示，其中左图中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；右图中的折线表示的是每件产品Ａ的销售利润与上市时间的关系．
（1）试写出第一批产品Ａ的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？
分析：（1）观察左图，图象由两条线段组成，所以应设出一次函数关系式再用待定系法求解；（2）日销售最大利润＝日销售最大值×每件利润最大值，观察左图和右图即可得出答案.
解：（１）当0≤t≤30时，可设所求函数关系式为y=kt.
∵（30，60）在图象上，∴60=30k，即得k=2．
∴当0≤t≤30时，函数关系式为y=2t．
当30≤t≤40时，设所求函数关系式为y=k1t+b.
∵点（30，60）和（40，0）在图象上，
∴60=30k1+b0=40k1+b，解得k1＝-6b＝240．
∴当30≤t≤40时，所求函数关系式为y= -6t+240．
（2）由左图可知，当t＝30（天）时，市场的日销售量达到最大60万件；
又由右图知，当t=30（天）时，产品的日销售利润达到最大60元/件；
60×60＝3600，
所以当t=30（天）时，市场的日销售利润最大，最大值为3600万元.
例８ 二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴．
（1） 给出四个结论：①a>0，②b>0，③c>0，④a+b+c=0.
其中正确结论的序号是 .
（2） 给出四个结论：①abc<0，②2a+b>0，③ a+c=1，④a>1.
其中正确结论的序号是 .
由图象过点（-1，2）知a-b+c=2；
又a+b+c=0，得a+c=1.∴a=1-c>1．
故第（2）小题填②③④．
数形结合思想是初中数学重要的、常用的思想方法，它将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“形”来直观地表达“数”或是通过“数”来精确地确定“形”，从而化抽象为直观，使问题得到解决．
初三学生怎样复习数学
速效复习法是九年级学生复习数学行之有效的方法之一。越是时间紧，复习方法越要科学有效。掌握速效复习方法，必须做到如下几点：
1、提高复习兴趣，克服“高原现象”。所谓“高原现象”，例如，一名射手在进行一系列射击训练时，开始成绩逐渐上升，但到了一定程度之后，成绩却不再上升，甚至下降，我们把这种现象叫做“高原现象”。“高原现象”在数学复习阶段表现得十分明显。平时授新课，新鲜有趣；搞复习，要重复已学的内容，有的同学会觉得单调、枯燥无味，致使成绩提高缓慢，甚至下降。针对这种情况，一方面，同学们要从思想上提高对复习的认识，主动进行复习；另一方面，要以“新”提高复习的积极性。诸如制订新的复习计划、采用灵活的复习方法、抓住新颖有趣的内容和习题，把知识串连起来，使书“由厚变薄”。
2、加强双基，全面复习。在复习中，同学们应当在复习好概念的基础上掌握数学的规律。在进行概念复习时，应当从实例或已有的知识水平出发，逐步加以抽象，弄懂概念含义。对于容易混淆的概念，要用对比的方法，弄清它们的区别和联系。对于数学规律，应当搞清它们的来源，分清它们的条件和结论，弄清抽象、概括或证明的过程，了解它们的用途和适用范围，以及应用时应注意的问题，对于基本技能的训练和能力的培养，要遵循认识规律，结合复习内容，选择合适的复习方法，有目的、有计划、分阶段地进行。
3、抓住关键，突出重点。复习中，突出重点，主要是指突出教材中的重点知识，突出不易理解或尚未理解深透的知识，突出数学思想与解题方法。数学思想与方法是数学的精髓，是联系数学中各类知识的纽带。要抓住教材中的重点内容，掌握分析方法，从不同角度出发思索问题，由此探索一题多解、一题多变和一题多用之法。正确地把日常语言转化为代数、几何语言。并逐步掌握听、说、读、写译的数学语言技能。
4、普遍检查，查漏补缺。
5、重视综合，注意专题复习。专题复习可以提高综合运用知识的能力，加强知识的横向联系。
一、应用数形结合求数与式中的最大（小）值
例１求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值.
分析：绝对值可以通过数轴这个工具与两点间的距离紧密地结合起来．本题可以画一条数轴．
数轴上Ａ、Ｂ、Ｃ三点分别对应数１、２、３，点Ｐ对应的有理数为x，则有PA=|x-1|，PB=|x-2|，PC=|x-3|.这样，问题转化为在数轴上找一点Ｐ，使PA＋PB＋PC的值最小，显然当P与B重合时，PA＋PB＋PC=２最小.也就是|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值为２．
解：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，设AD=1，BD=x，CD=y.过点B作BE⊥AC，垂足为E.则有：AB2=x2+1，AC2=y2+1.
二、数形结合解方程（组）
（）
Ａ.３Ｂ.２Ｃ.１Ｄ.０
分析：本题若直接化分式方程为整式方程来求解方程根的个数，显然超越了初中数学的学习内容，展开联想，把“数”转化为“形”来研究．
出它们的图象，易得，在x＞０的范围内，两函数图象有两个交点，故而选Ｂ．
例４如图，有８块相同的长方形地砖恰好能拼成一个矩形的图案（地砖的缝隙忽略不计），且矩形的宽为20cm，求每块长方形地砖的面积．
分析：图中隐含两个等量关系，①２×地砖的长＝１×地砖的长+３×地砖的宽（化简得１×地砖的长＝３×地砖的宽）；②地砖的长+地砖的宽＝20cm
解：设每块长方形地砖的长为xcm，宽为ycm．
根据题意，得x=3yx+y=20，解得x=15y=5，
而15×5=75，即长方形地砖的面积为75cm2.
三、应用数形结合解锐角三角函数问题
例５课本中是这样引入“锐角三角函数”的：如图，在锐角?琢的终边OB上，任意取两点P和P1，分别过点P和P1作始边OA的垂线PM和P1M1，垂足分别为M和M1，我们规定，比值 叫做角?琢的正弦，比值 叫做角?琢的余弦，这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值，得到两个等式：
，.说明这些比值都是由 唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关.所以这些比值都是自变量?琢的函数．
分析：本题利用数形结合，在图中观察得知有两个相似的直角三角形△POM和△P１OM１根据有关定义和 ①求Ａ、Ｃ两地之间的距离；
②试确定目的地Ｃ在点Ａ的什么方向．
分析：根据题目所提供的数据正确作出图形，利用图形来求出Ａ，Ｃ间的距离并指出Ｃ地的位置.体现了数与形之间的相互转换.
所以点C在点A北偏东15°方向上．
四、应用数形结合解函数问题
例7 某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完.该公司对第一批产品Ａ上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如下图所示，其中左图中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；右图中的折线表示的是每件产品Ａ的销售利润与上市时间的关系．
（1）试写出第一批产品Ａ的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？
分析：（1）观察左图，图象由两条线段组成，所以应设出一次函数关系式再用待定系法求解；（2）日销售最大利润＝日销售最大值×每件利润最大值，观察左图和右图即可得出答案.
解：（１）当0≤t≤30时，可设所求函数关系式为y=kt.
∵（30，60）在图象上，∴60=30k，即得k=2．
∴当0≤t≤30时，函数关系式为y=2t．
当30≤t≤40时，设所求函数关系式为y=k1t+b.
∵点（30，60）和（40，0）在图象上，
∴60=30k1+b0=40k1+b，解得k1＝-6b＝240．
∴当30≤t≤40时，所求函数关系式为y= -6t+240．
（2）由左图可知，当t＝30（天）时，市场的日销售量达到最大60万件；
又由右图知，当t=30（天）时，产品的日销售利润达到最大60元/件；
60×60＝3600，
所以当t=30（天）时，市场的日销售利润最大，最大值为3600万元.
例８ 二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴．
（1） 给出四个结论：①a>0，②b>0，③c>0，④a+b+c=0.
其中正确结论的序号是 .
（2） 给出四个结论：①abc<0，②2a+b>0，③ a+c=1，④a>1.
其中正确结论的序号是 .
由图象过点（-1，2）知a-b+c=2；
又a+b+c=0，得a+c=1.∴a=1-c>1．
故第（2）小题填②③④．
数形结合思想是初中数学重要的、常用的思想方法，它将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“形”来直观地表达“数”或是通过“数”来精确地确定“形”，从而化抽象为直观，使问题得到解决．
初三学生怎样复习数学
速效复习法是九年级学生复习数学行之有效的方法之一。越是时间紧，复习方法越要科学有效。掌握速效复习方法，必须做到如下几点：
1、提高复习兴趣，克服“高原现象”。所谓“高原现象”，例如，一名射手在进行一系列射击训练时，开始成绩逐渐上升，但到了一定程度之后，成绩却不再上升，甚至下降，我们把这种现象叫做“高原现象”。“高原现象”在数学复习阶段表现得十分明显。平时授新课，新鲜有趣；搞复习，要重复已学的内容，有的同学会觉得单调、枯燥无味，致使成绩提高缓慢，甚至下降。针对这种情况，一方面，同学们要从思想上提高对复习的认识，主动进行复习；另一方面，要以“新”提高复习的积极性。诸如制订新的复习计划、采用灵活的复习方法、抓住新颖有趣的内容和习题，把知识串连起来，使书“由厚变薄”。
2、加强双基，全面复习。在复习中，同学们应当在复习好概念的基础上掌握数学的规律。在进行概念复习时，应当从实例或已有的知识水平出发，逐步加以抽象，弄懂概念含义。对于容易混淆的概念，要用对比的方法，弄清它们的区别和联系。对于数学规律，应当搞清它们的来源，分清它们的条件和结论，弄清抽象、概括或证明的过程，了解它们的用途和适用范围，以及应用时应注意的问题，对于基本技能的训练和能力的培养，要遵循认识规律，结合复习内容，选择合适的复习方法，有目的、有计划、分阶段地进行。
3、抓住关键，突出重点。复习中，突出重点，主要是指突出教材中的重点知识，突出不易理解或尚未理解深透的知识，突出数学思想与解题方法。数学思想与方法是数学的精髓，是联系数学中各类知识的纽带。要抓住教材中的重点内容，掌握分析方法，从不同角度出发思索问题，由此探索一题多解、一题多变和一题多用之法。正确地把日常语言转化为代数、几何语言。并逐步掌握听、说、读、写译的数学语言技能。
4、普遍检查，查漏补缺。
5、重视综合，注意专题复习。专题复习可以提高综合运用知识的能力，加强知识的横向联系。