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摘要：本文基于对大学生高等数学认知模式的理论、构成要素以及认知诊断测验工具，调查分析了大学生高等数学知识所掌握的情况。根据被试者的作答情况对其属性做出定性分析，并就作答情況分析各自的归属模式，从总体得分情况、被试者掌握属性的概率以及其掌握模式这三个方面对被试者在高等数学学习中的表现分析，对优化教学提供针对性建议。
关键词：认知诊断;高等数学教学;个性化学习;项目拟合估计
引言
高等数学是高校理工科学生的基础科目，这一科目的教学往往是高校教育的重点。考虑到现在高数课堂教学中仍在使用传统测试模式，很容易忽视每个学生在某一层面独有或共有的特征属性，不利于培养学生的自我认知及教师对学生实际情况的深入了解。随着认知诊断评估理论的出现和发展，为个体改进技能、知识结构等的测量及评价提供了一种崭新的角度[1]。认知诊断理论通过借助试验中项目相关属性对被试者知识掌握程度做出有效反映[2]。在实际测试中，有多种方法来测试学生的学习状况。张爱华[3]等，王泽龙[4]等都研究了将数学建模思想融入概率统计的教学改革研究;曾翔[5]等的研究基于SPOC的概率统计教学模式和优化策略;麦继芳[6]等以概率统计为例研究了本科理工课堂导入式教学方法的探索与应用。目前认知诊断分析结果主要分为个体测试报告和群体测试报告两种形式，报告的具体诊断首先应体现足够的定性和量性相结合，既要通过个人分析其在测试中的群体表现，同时也应通过群体测试表现分析个体的认知属性的掌握情况，然后根据报告中具体认知诊断结果提出更具针对性的诊断措施。本文选取定性和定量方式对调查结果进行分析，并结合DINA模型，目的是对优化教学提供针对性建议。
模型原理
DINA模型是属于认知诊断模型中的潜在分类模型。由于模型表达式简单易懂，参数的可解释性较好，且DINA模型的复杂性不受属性个数的影响，实现了对认知诊断模型的简化，适用于对二值计分项目测验进行认知诊断[7]。本文就DINA模型这一特性进行二值评分。如果被试者掌握了项目考查的所有属性，则会答对该项目;否则会答错该项目。
假设测验考查了个属性，被试者数为，项目数用表示，用表示第i个被试者对第J道题目的回答情况。当=1时表示回答正确，表示回答错误。相应的关联矩阵可用来表示，表示在正确回答第k道题时是否需要知识点k。表示试题考查了第个属性;表示未考察。此外，用表示被试者的属性掌握模式。若被试者对属性已掌握，用表示;0表示未掌握该属性。
项目考察的理想反应可以表示为：
潜在的作答变量描述的是被试者对项目的掌握程度，如果被试掌握了项目考察的全部属性，则;反之，。在已知被试者i的知识点掌握情况的条件下，被试者在项目的正确作答概率为：
研究方法和数据来源
采用文本分析、问卷调查以及测试卷调查法对项目数据进行收集研究。
3.1研究工具编制
认知诊断工具的编制包括三个步骤：属性及属性层级关系的确定、预测卷的编制、认知诊断的预测和调整。考虑到高等数学知识若进行细分，知识点繁杂且关联紧密，参考南京某大学教学大纲将高等数学知识属性分为四个大点，即导数应用、微分学、积分学和级数。
3.2认知诊断预测卷的编制
认知诊断预测卷的编制首要条件是建立Q矩阵。Q矩阵是描述测验项目和属性的矩阵，一般的，由J行K列（K指属性个数）的0-1矩阵组成。建立Q矩阵的前提是构造邻接矩阵，在邻接矩阵的基础上建立可达矩阵，然后确定被试理想掌握模式和典型考察模式，最终确定Q矩阵。
典型考察模式是指合乎逻辑的测试考核模式。在测试中不存在0000的情况，分别为1000、1100、1001、1101、1110、1111。以上6种典型项目考察模式是编制测验的基础，以此为依据建立测验Q矩阵编制项目。试题主要改编自国内相关研究文献，与教师讨论后形成的预测卷。
数据处理和与分析
4.2.1学生认知属性掌握概率分析
利用R软件的CDM包对调查的336份有效数据进行处理，得到不同学院学生各认知属性的掌握概率以及其平均值，平均值记为S123456，如表4.4所示。采用Hartze（2005）提出的标准，对于不同学院学生属性A1、A2、A3、A4的掌握情况进行分析，用0.4和0.6作为判定掌握属性的标准[8]。Hartze指出若掌握概率小于0.4，则说明被试者未掌握该属性;若掌握概率大于0.6，则说明被试者掌握了该属性;若掌握概率在0.4和0.6之间，则说明没有足够的证据来判定。
四个学院学生对于属性A2的掌握概率处于0.5540～0.9495之间，其中学院S1学生的属性掌握情况概率为0.5540，需进一步分析，而其他三所学院学生基本掌握认知属性A2;属性A3的掌握概率在0.5375～0.8703之间，学院S2和学院S3学生基本掌握属性A3，而学院S1和S4学生的属性掌握概率分别为0.5815和0.5375，需进一步分析;属性A4的掌握概率处于0.4626～0.9261之间，其中学院S3学生掌握概率为0.4626，仍需进一步分析，而其他三所学院基本掌握属性A4.
从表中可以看出各学院在属性A4上波动范围最大，其次是属性A2，属性A1、A3的波动范围不大相差不大。四个学院中学院S2的学生对各个属性的掌握情况最好，学院S1和学院S3的学生在各个属性的掌握情况略差，而学院S4的学生掌握情况相对较差。
4.2.2 认知诊断模型参数估计与拟合
在认知诊断测试中，通过对猜测参数和失误参数的判别在一定程度上可以反映Q矩阵的冗余和缺失[9]，也可反应诊断分析的准确性。通过R软件加载CDM包计算各项目的失误参数、猜测参数和RMSEA三个统计量，得表4.5。
分析RMSEA值可得，各项目RMSEA的平均值为0.043，小于0.06，可得研究使用的试题在DINA模型下拟合良好。观测可发现T3和T5参数略大于0.4，其他项目参数都小于0.4，说明选取DINA模型基本合理。DINA项目参数估计发生偏差的影响因素较多，可能与样本量、选取典型样本、Q矩阵自身误差指数、估计方法、先验分布及项目功能差异等有关[10]，具体仍需进一步研究。 结论
本项目通过R语言的CDM包构建DINA模型和对收集的实证数据进行分析、探讨了性别差异对于高等数学学习中，个体对某一属性的掌握情况的影响，得出以下结论：（1）学生基本掌握高等数学的涉及的认知属性，不同学院学生对于属性A1掌握较好，A2、A3则相对掌握较差。（2）在掌握模式上，四所学院的理想模式归属率达到了76.55%，可以看作大部分学生都归属到七种理想掌握模式中。
对于教学上的建议：
（1）要明晰基础概念，把握数学学习的本质。对于属性掌握模式为0000、1001和1110的学生，教师在课上应使用典例与基本概念相结合，同时渗透相关数学计算，有意识的提出问题，从而培养学生的独立思考和计算能力。
（2）重视问题的推导，培养推理能力。对于属性掌握模式为1001和1101的学生，应多在关键教学节点设置问题，引导出相关知识，呈现问题的解决思维。当学生经理这种思维过程后，就能逐渐形成解题思路。
（3）注意实际运算，强化运算思维。对于属性为1110的学生，应着重强调基础知识的积累并加大运算能力的培养，级数章节的知识点繁多，计算相应也较为困难，应给予学生充足的时间记忆并让学生通过自己计算求解，从而达到融会贯通的效果。
参考文献
[1]罗照盛.项目反应理论[M].北京师范大学，2012：134
[2]刘声涛，戴海崎，周俊.新一代测试理论—认知诊断理论的源起与特征[J].数学教育学报，2019，28（1）：25-29.
[3]张爱华， 杨冬香. 数学建模思想融入“概率论与数理统计”的教学改革研究[J]. 科教文汇（中旬刊）， 2019（03）： 80-81.
[4]王泽龙，朱炬波，刘吉英.数学建模在概率论与数理统计教学中的应用[J]. 高等数学研究， 2019， 22（01）： 115-117.
[5]曾翔， 谢炜. 基于SPOC的概率论与数理统计教学模式优化策略探讨[J]. 学周刊， 2019（10）： 8.
[6]麦继芳， 陈俊宏， 赵海清. 本科理工科课堂导入式教学方法的探索与应用——以“概率论与数理统计”课程为例[J]. 科教文汇（上旬刊）， 2019（02）： 60-62+65.
[7]Tu D B， Gao X L， Wang D X， et al. A new measurement of internet addiction using diagnostic classification models[J]. Frontiers in Psychology， 2017，（8）：1768.
[8]涂冬波，蔡艳，戴海琦，丁树良.多维项目反应理论：参数估计及其在心理测验中的应用[J].心理学报，2011，43（11）：1329-1340.
[9]Kang，C.，Yang，Y.，&Zeng，P.（2019）.Q-Matrix Refinement Based on Item Fit Statistic RMSEA. Applied Psychological Measurement，43 （7），527-542.
[10]宋麗红，汪文义，丁树良.DINA模型项目参数偏差对知识状态估计的影响[J].考试研究，2014（04）：26-34.
关键词：认知诊断;高等数学教学;个性化学习;项目拟合估计
引言
高等数学是高校理工科学生的基础科目，这一科目的教学往往是高校教育的重点。考虑到现在高数课堂教学中仍在使用传统测试模式，很容易忽视每个学生在某一层面独有或共有的特征属性，不利于培养学生的自我认知及教师对学生实际情况的深入了解。随着认知诊断评估理论的出现和发展，为个体改进技能、知识结构等的测量及评价提供了一种崭新的角度[1]。认知诊断理论通过借助试验中项目相关属性对被试者知识掌握程度做出有效反映[2]。在实际测试中，有多种方法来测试学生的学习状况。张爱华[3]等，王泽龙[4]等都研究了将数学建模思想融入概率统计的教学改革研究;曾翔[5]等的研究基于SPOC的概率统计教学模式和优化策略;麦继芳[6]等以概率统计为例研究了本科理工课堂导入式教学方法的探索与应用。目前认知诊断分析结果主要分为个体测试报告和群体测试报告两种形式，报告的具体诊断首先应体现足够的定性和量性相结合，既要通过个人分析其在测试中的群体表现，同时也应通过群体测试表现分析个体的认知属性的掌握情况，然后根据报告中具体认知诊断结果提出更具针对性的诊断措施。本文选取定性和定量方式对调查结果进行分析，并结合DINA模型，目的是对优化教学提供针对性建议。
模型原理
DINA模型是属于认知诊断模型中的潜在分类模型。由于模型表达式简单易懂，参数的可解释性较好，且DINA模型的复杂性不受属性个数的影响，实现了对认知诊断模型的简化，适用于对二值计分项目测验进行认知诊断[7]。本文就DINA模型这一特性进行二值评分。如果被试者掌握了项目考查的所有属性，则会答对该项目;否则会答错该项目。
假设测验考查了个属性，被试者数为，项目数用表示，用表示第i个被试者对第J道题目的回答情况。当=1时表示回答正确，表示回答错误。相应的关联矩阵可用来表示，表示在正确回答第k道题时是否需要知识点k。表示试题考查了第个属性;表示未考察。此外，用表示被试者的属性掌握模式。若被试者对属性已掌握，用表示;0表示未掌握该属性。
项目考察的理想反应可以表示为：
潜在的作答变量描述的是被试者对项目的掌握程度，如果被试掌握了项目考察的全部属性，则;反之，。在已知被试者i的知识点掌握情况的条件下，被试者在项目的正确作答概率为：
研究方法和数据来源
采用文本分析、问卷调查以及测试卷调查法对项目数据进行收集研究。
3.1研究工具编制
认知诊断工具的编制包括三个步骤：属性及属性层级关系的确定、预测卷的编制、认知诊断的预测和调整。考虑到高等数学知识若进行细分，知识点繁杂且关联紧密，参考南京某大学教学大纲将高等数学知识属性分为四个大点，即导数应用、微分学、积分学和级数。
3.2认知诊断预测卷的编制
认知诊断预测卷的编制首要条件是建立Q矩阵。Q矩阵是描述测验项目和属性的矩阵，一般的，由J行K列（K指属性个数）的0-1矩阵组成。建立Q矩阵的前提是构造邻接矩阵，在邻接矩阵的基础上建立可达矩阵，然后确定被试理想掌握模式和典型考察模式，最终确定Q矩阵。
典型考察模式是指合乎逻辑的测试考核模式。在测试中不存在0000的情况，分别为1000、1100、1001、1101、1110、1111。以上6种典型项目考察模式是编制测验的基础，以此为依据建立测验Q矩阵编制项目。试题主要改编自国内相关研究文献，与教师讨论后形成的预测卷。
数据处理和与分析
4.2.1学生认知属性掌握概率分析
利用R软件的CDM包对调查的336份有效数据进行处理，得到不同学院学生各认知属性的掌握概率以及其平均值，平均值记为S123456，如表4.4所示。采用Hartze（2005）提出的标准，对于不同学院学生属性A1、A2、A3、A4的掌握情况进行分析，用0.4和0.6作为判定掌握属性的标准[8]。Hartze指出若掌握概率小于0.4，则说明被试者未掌握该属性;若掌握概率大于0.6，则说明被试者掌握了该属性;若掌握概率在0.4和0.6之间，则说明没有足够的证据来判定。
四个学院学生对于属性A2的掌握概率处于0.5540～0.9495之间，其中学院S1学生的属性掌握情况概率为0.5540，需进一步分析，而其他三所学院学生基本掌握认知属性A2;属性A3的掌握概率在0.5375～0.8703之间，学院S2和学院S3学生基本掌握属性A3，而学院S1和S4学生的属性掌握概率分别为0.5815和0.5375，需进一步分析;属性A4的掌握概率处于0.4626～0.9261之间，其中学院S3学生掌握概率为0.4626，仍需进一步分析，而其他三所学院基本掌握属性A4.
从表中可以看出各学院在属性A4上波动范围最大，其次是属性A2，属性A1、A3的波动范围不大相差不大。四个学院中学院S2的学生对各个属性的掌握情况最好，学院S1和学院S3的学生在各个属性的掌握情况略差，而学院S4的学生掌握情况相对较差。
4.2.2 认知诊断模型参数估计与拟合
在认知诊断测试中，通过对猜测参数和失误参数的判别在一定程度上可以反映Q矩阵的冗余和缺失[9]，也可反应诊断分析的准确性。通过R软件加载CDM包计算各项目的失误参数、猜测参数和RMSEA三个统计量，得表4.5。
分析RMSEA值可得，各项目RMSEA的平均值为0.043，小于0.06，可得研究使用的试题在DINA模型下拟合良好。观测可发现T3和T5参数略大于0.4，其他项目参数都小于0.4，说明选取DINA模型基本合理。DINA项目参数估计发生偏差的影响因素较多，可能与样本量、选取典型样本、Q矩阵自身误差指数、估计方法、先验分布及项目功能差异等有关[10]，具体仍需进一步研究。 结论
本项目通过R语言的CDM包构建DINA模型和对收集的实证数据进行分析、探讨了性别差异对于高等数学学习中，个体对某一属性的掌握情况的影响，得出以下结论：（1）学生基本掌握高等数学的涉及的认知属性，不同学院学生对于属性A1掌握较好，A2、A3则相对掌握较差。（2）在掌握模式上，四所学院的理想模式归属率达到了76.55%，可以看作大部分学生都归属到七种理想掌握模式中。
对于教学上的建议：
（1）要明晰基础概念，把握数学学习的本质。对于属性掌握模式为0000、1001和1110的学生，教师在课上应使用典例与基本概念相结合，同时渗透相关数学计算，有意识的提出问题，从而培养学生的独立思考和计算能力。
（2）重视问题的推导，培养推理能力。对于属性掌握模式为1001和1101的学生，应多在关键教学节点设置问题，引导出相关知识，呈现问题的解决思维。当学生经理这种思维过程后，就能逐渐形成解题思路。
（3）注意实际运算，强化运算思维。对于属性为1110的学生，应着重强调基础知识的积累并加大运算能力的培养，级数章节的知识点繁多，计算相应也较为困难，应给予学生充足的时间记忆并让学生通过自己计算求解，从而达到融会贯通的效果。
参考文献
[1]罗照盛.项目反应理论[M].北京师范大学，2012：134
[2]刘声涛，戴海崎，周俊.新一代测试理论—认知诊断理论的源起与特征[J].数学教育学报，2019，28（1）：25-29.
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[4]王泽龙，朱炬波，刘吉英.数学建模在概率论与数理统计教学中的应用[J]. 高等数学研究， 2019， 22（01）： 115-117.
[5]曾翔， 谢炜. 基于SPOC的概率论与数理统计教学模式优化策略探讨[J]. 学周刊， 2019（10）： 8.
[6]麦继芳， 陈俊宏， 赵海清. 本科理工科课堂导入式教学方法的探索与应用——以“概率论与数理统计”课程为例[J]. 科教文汇（上旬刊）， 2019（02）： 60-62+65.
[7]Tu D B， Gao X L， Wang D X， et al. A new measurement of internet addiction using diagnostic classification models[J]. Frontiers in Psychology， 2017，（8）：1768.
[8]涂冬波，蔡艳，戴海琦，丁树良.多维项目反应理论：参数估计及其在心理测验中的应用[J].心理学报，2011，43（11）：1329-1340.
[9]Kang，C.，Yang，Y.，&Zeng，P.（2019）.Q-Matrix Refinement Based on Item Fit Statistic RMSEA. Applied Psychological Measurement，43 （7），527-542.
[10]宋麗红，汪文义，丁树良.DINA模型项目参数偏差对知识状态估计的影响[J].考试研究，2014（04）：26-34.