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【摘 要】博弈思想古已有之,正式发展成一门学科是在20世纪初,成为研究竞争的逻辑和规律的数学分支。而纳什作为博弈理论开创性人物,研究博弈论就不能忽略纳什均衡。文章以电影《美丽心灵》中一个场景为案例,深入分析纳什均衡。
【关键词】纳什均衡;博弈;策略
中图分类号:I245 文献标识码:A 文章编号:1009-8283(2010)09-0078-01
在电影《美丽心灵》中,纳什和他的伙伴到酒吧喝酒,遇到一位漂亮的金发美女和她的女伴们,此时音乐响起,男士和女士可以结伴跳舞。Bob和Tom是仅有的想邀请女士跳舞的两位男士,而想跳舞的女士加上金发美女一共有3人,相对于其他女士,男士们更喜欢与金发美女共舞,不过有女伴要比无人陪伴要好。电影中,纳什发现如果所有男士都去追求金发美女,他们不仅会被拒绝,还将惹恼其他女士,结果是男士都没有找到女伴,这是最坏的结果。假定对于男士们而言,与金发美女共舞的收益最大为2,与其他女士跳舞的收益为1,无人陪伴就是受益为0,那麽我们可以画出Tom和Bob的双人博弈受益矩阵。
在电影中,纳什建议男士们忘掉金发美女,去追求其他女士,这样Tom和Bob都不会空手而归。但是这一结果意味着金发美女没人邀请,而男士们也没有得到首选目标,双方对此都不是满意的。(追求其他女士,追求其他女士)真的是这个博弈的最佳策略组合吗?漂亮的金发美女会由于男士们认为邀请到她的概率小而无人问津吗?
1 纯策略纳什均衡
如果假定两位参与者必须同时行动,在行动之前,两位参与者并不知道对方的选择策略。我们可采用画线法来寻找此博弈中的纳什均衡。 当Bob选择追求金发美女时,Tom选择追求其他女士可获得最大收益1,当Bob选择追求其他女士时,Tom选择追求金发美女可获得最大收益2,当Tom选择追求金发美女时,Bob选择追求其他女士可获得最大收益1,当Tom选择追求其他女士时,Bob选择追求金发美女可获得最大收益2。可知在此博弈中,纯策略的情况下,存在两个纳什均衡(追求其他女士,追求金发美女),(追求金发美女,追求其他女士)。那麽,男士们在纳什均衡下的收益分别为(1,2),(2,1)。可以发现,首先,均衡时的收益不是均等的,某个人必须接受较低的收益。再次,对于哪个纳什均衡将会发生,并没有明确的界定,每个人有不同的看法。如果每个人都认为对方追求的目标是其他女士,那麽每个男士依然还是会去追求金发美女,这样的话,双方只会得到(0.0)的收益。
解决男士们跳舞舞伴问题的最优方案是什么?引入概率来思考这个问题会怎麽样呢?
2 混合策略纳什均衡
现在我们假定Bob以p的概率追求金发美女,则他追求其他女士的概率为(1-p),Tom以q的概率追求金发美女,则他追求其他女士的概率为(1-q),Bob为了减少损失,同时使对方Tom无法猜度自己的策略,从而无法选择最优策略。他的选择概率p要满足一个等式,使Tom选金发美女和其他女士的收益是一样的即0xp+2(1-p)=p+1-p 解得p=1/2,同理,可得0xq+2(1-q)=q+1-q 解得q=1/2;那麽混合策略纳什均衡是Bob和Tom均以1/2的概率追求金发美女。同样,这个均衡和纯策略均衡相比如何呢?以Bob为例,他的混合战略的期望收益为0x1/2+2(1-1/2)=1;同样,Tom的收益也是为1,这和纯策略情况下(追求其他女士,追求其他女士)的战略收益是一样的。看来引入概率并没有帮助我们寻得更好的解决方案。
如果其中有一方可以事前知道对方的选择,那麽是不是会产生更好的解决方案呢?
3 子博弈精炼纳什均衡
在此时的情况下,我们考虑时间的因素,推翻两个人必须同时行动而事前并不知道对方策略的假设。我们现在的假设是参与人中的一方事前都清楚的知道对方的策略,相应的会采取不同的策略。
如图,如果Tom可以事前知道Bob策略,他完全可以有>=1的收益。(图中红线)同样,当Tom先做选择,Bob也可以收获>=1收益。看来如果他们两人可以达成协议联盟,使某方优先选择,相对于不合作情况将会有更好的收益结果。这个协议或者说是某个人的承诺行动如何做出才能有效,有强制力呢?
先做选择的人有选择权,而这个选择权是在这个博弈中是具有很高价值的。优先者可优先选择追求金发美女,后来者知道他的选择策略后,会选择追求其他女士来使得自己的效益最大化,收益为1。如果后来者在明知道优先者选择金发美女的策略后仍做出追求金发美女的策略,无疑他的收益将会为0。很明显,后来者将会按照协约去选择追去其他女士的,这样的协约是有有效约束力的。
那麽谁来决定Bob和Tom中谁为优先者呢?海萨尼转换给了我们很好的解决办法,交给“虚拟人自然”裁断:在Bob和Tom两人中随机抽取一名”幸运儿”——具有优先选择权,并且两人被抽中的概率是相同的。这个办法可以是抽签。参与者达成协议联盟,在其中随机的选择出某人为优先选择者,追求金发美女,后来者追求其他女士,可以得出,这个均衡策略是比较好的解决方案。
分析到此,电影中男士邀请女伴跳舞的双人博弈有了较稳定的均衡。而由此看来博弈论就是指某个个人或是组织,面对一定的环境条件,在一定的规则约束下,依靠所掌握的信息,从各自选择的行为或是策略进行选择并加以实施,并从各自取得相应结果或收益的过程,在经济学上博弈论具有非常重要的理论意义。
参考文献:
[1] 张维迎,《博弈论与信息经济学》[M].上海:上海人民出版社,2005.
[2] [美]Fudenberg、[法]Tirole,《博弈论》[M],北京;中国人民大学出版 2007.
【关键词】纳什均衡;博弈;策略
中图分类号:I245 文献标识码:A 文章编号:1009-8283(2010)09-0078-01
在电影《美丽心灵》中,纳什和他的伙伴到酒吧喝酒,遇到一位漂亮的金发美女和她的女伴们,此时音乐响起,男士和女士可以结伴跳舞。Bob和Tom是仅有的想邀请女士跳舞的两位男士,而想跳舞的女士加上金发美女一共有3人,相对于其他女士,男士们更喜欢与金发美女共舞,不过有女伴要比无人陪伴要好。电影中,纳什发现如果所有男士都去追求金发美女,他们不仅会被拒绝,还将惹恼其他女士,结果是男士都没有找到女伴,这是最坏的结果。假定对于男士们而言,与金发美女共舞的收益最大为2,与其他女士跳舞的收益为1,无人陪伴就是受益为0,那麽我们可以画出Tom和Bob的双人博弈受益矩阵。
在电影中,纳什建议男士们忘掉金发美女,去追求其他女士,这样Tom和Bob都不会空手而归。但是这一结果意味着金发美女没人邀请,而男士们也没有得到首选目标,双方对此都不是满意的。(追求其他女士,追求其他女士)真的是这个博弈的最佳策略组合吗?漂亮的金发美女会由于男士们认为邀请到她的概率小而无人问津吗?
1 纯策略纳什均衡
如果假定两位参与者必须同时行动,在行动之前,两位参与者并不知道对方的选择策略。我们可采用画线法来寻找此博弈中的纳什均衡。 当Bob选择追求金发美女时,Tom选择追求其他女士可获得最大收益1,当Bob选择追求其他女士时,Tom选择追求金发美女可获得最大收益2,当Tom选择追求金发美女时,Bob选择追求其他女士可获得最大收益1,当Tom选择追求其他女士时,Bob选择追求金发美女可获得最大收益2。可知在此博弈中,纯策略的情况下,存在两个纳什均衡(追求其他女士,追求金发美女),(追求金发美女,追求其他女士)。那麽,男士们在纳什均衡下的收益分别为(1,2),(2,1)。可以发现,首先,均衡时的收益不是均等的,某个人必须接受较低的收益。再次,对于哪个纳什均衡将会发生,并没有明确的界定,每个人有不同的看法。如果每个人都认为对方追求的目标是其他女士,那麽每个男士依然还是会去追求金发美女,这样的话,双方只会得到(0.0)的收益。
解决男士们跳舞舞伴问题的最优方案是什么?引入概率来思考这个问题会怎麽样呢?
2 混合策略纳什均衡
现在我们假定Bob以p的概率追求金发美女,则他追求其他女士的概率为(1-p),Tom以q的概率追求金发美女,则他追求其他女士的概率为(1-q),Bob为了减少损失,同时使对方Tom无法猜度自己的策略,从而无法选择最优策略。他的选择概率p要满足一个等式,使Tom选金发美女和其他女士的收益是一样的即0xp+2(1-p)=p+1-p 解得p=1/2,同理,可得0xq+2(1-q)=q+1-q 解得q=1/2;那麽混合策略纳什均衡是Bob和Tom均以1/2的概率追求金发美女。同样,这个均衡和纯策略均衡相比如何呢?以Bob为例,他的混合战略的期望收益为0x1/2+2(1-1/2)=1;同样,Tom的收益也是为1,这和纯策略情况下(追求其他女士,追求其他女士)的战略收益是一样的。看来引入概率并没有帮助我们寻得更好的解决方案。
如果其中有一方可以事前知道对方的选择,那麽是不是会产生更好的解决方案呢?
3 子博弈精炼纳什均衡
在此时的情况下,我们考虑时间的因素,推翻两个人必须同时行动而事前并不知道对方策略的假设。我们现在的假设是参与人中的一方事前都清楚的知道对方的策略,相应的会采取不同的策略。
如图,如果Tom可以事前知道Bob策略,他完全可以有>=1的收益。(图中红线)同样,当Tom先做选择,Bob也可以收获>=1收益。看来如果他们两人可以达成协议联盟,使某方优先选择,相对于不合作情况将会有更好的收益结果。这个协议或者说是某个人的承诺行动如何做出才能有效,有强制力呢?
先做选择的人有选择权,而这个选择权是在这个博弈中是具有很高价值的。优先者可优先选择追求金发美女,后来者知道他的选择策略后,会选择追求其他女士来使得自己的效益最大化,收益为1。如果后来者在明知道优先者选择金发美女的策略后仍做出追求金发美女的策略,无疑他的收益将会为0。很明显,后来者将会按照协约去选择追去其他女士的,这样的协约是有有效约束力的。
那麽谁来决定Bob和Tom中谁为优先者呢?海萨尼转换给了我们很好的解决办法,交给“虚拟人自然”裁断:在Bob和Tom两人中随机抽取一名”幸运儿”——具有优先选择权,并且两人被抽中的概率是相同的。这个办法可以是抽签。参与者达成协议联盟,在其中随机的选择出某人为优先选择者,追求金发美女,后来者追求其他女士,可以得出,这个均衡策略是比较好的解决方案。
分析到此,电影中男士邀请女伴跳舞的双人博弈有了较稳定的均衡。而由此看来博弈论就是指某个个人或是组织,面对一定的环境条件,在一定的规则约束下,依靠所掌握的信息,从各自选择的行为或是策略进行选择并加以实施,并从各自取得相应结果或收益的过程,在经济学上博弈论具有非常重要的理论意义。
参考文献:
[1] 张维迎,《博弈论与信息经济学》[M].上海:上海人民出版社,2005.
[2] [美]Fudenberg、[法]Tirole,《博弈论》[M],北京;中国人民大学出版 2007.