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【摘要】 确定点在这平面上的射影可用垂面法。垂面法在求点到平面的距离、直线和平面所成的角和二面角有广泛的应用。
【关键词】 垂面法 射影 距离 角
【中图分类号】 G423 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(b)-0085-02
我们在解立体几何问题时,经常会遇到要确定过平面外一点且与平面垂直的直线,即面的垂线,而垂线的确定关键是要确定点在平面上的射影。下面谈谈点在平面上的射影的确定方法及其应用。
1 垂面法
自一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这平面上的射影。由点在这平面上的射影的定义可知,要寻找平面外一点A在平面上的射影,关键是要确定垂足(垂线与平面的交点)。而我们知道平面若有垂线,则有过此垂线的垂面。所以要确定点A在平面上的射影,首先在图形中寻找过点A且与平面垂直的垂面,然后在垂面内过点A作两垂直平面和的交线a的垂线b,依据面面垂直的性质定理(如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线,就垂直于另一个平面)可知,直线b也是平面的垂线,两垂直平面和的交线a与垂线b的交点就是我们所以要确定的点A在平面上的射影。这里不妨把这种确定点在这平面上的射影的方法叫做垂面法。
2 垂面法求点到平面的距离
平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离。求点到平面的距离,关键是要作出过此点且与平面垂直的直线,此时可以用垂面法。例如:如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,为中点。求点Ｃ到平面的距离。
分析:因为ＡＢ∥ＣＤ,所以ＣＤ∥平面,则点Ｃ到平面ABM的距离等于D点到平面ABM的距离,要求D点到平面ABM的距离由垂面法可知,关键是找出过D点且与平面ABM垂直的平面。因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ,则ＰＡ⊥ＡＢ,又ＡＢ⊥ＡＤ,所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ,因此平面ＡＢＭ⊥平面ＰＡＤ.,所以平面ＰＡＤ就是要找的垂面。又平面ＡＢＭ平面ＰＡＤ=.ＡＭ,所以只要在平面ＰＡＤ内过点Ｄ作交线ＡＭ的垂线即可。因为在Rt△PAD中,,为中点,所以,因此ＰＤ就是过点Ｄ且与交线ＡＭ垂直的直线,垂足为Ｍ,由面面垂直的性质定理可知ＰＤ⊥平面ＡＢＭ.,ＤＭ就是点Ｄ到平面ABM的距离,又,则点Ｃ到平面ABM的距离等于。
3 垂面法求直线和平面所成的角
斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角。求直线和平面所成的角,关键是要作出此直线在在这平面上的射影,只要过斜足以外的一点向平面引垂线,此时可以用垂面法。例如:如图,在三棱锥中,底面
,点,分别是棱的中点。求与平面所成的角的正弦值。
分析:要求与平面所成的角,由垂面法可知,只要寻找出过上任一点(斜足除外)且与平面垂直的平面。
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC。又,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC。∴平面ＰＢＣ⊥平面PAC(即平面ＰＢＣ就是要寻找的与平面垂直的平面,又平面ＰＢＣ平面PAC=.DE,所以只要在平面ＰＢＣ内过点Ｄ作交线的ＰＣ垂线即可)。∵点,分别是棱的中点,∴DE//BC且,又BC⊥PC,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴DE⊥PC,垂足为点E(DE就是过点Ｄ且与交线PC垂直的直线,AE是AD在平面PAC上的射影)。∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角。∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB。∴△ABP为等腰直角三角形,∴。∴在Rt△ABC中,,∴.
∴在Rt△ADE中,。
4 垂面法求二面角
若利用三垂线定理作二面角的平面角(假设二面角为锐角),关键是由一个半平面内一点,作另一个半平面的垂线,此垂线可以用垂面法寻找。例如:如图,四棱锥S＝ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点,且DE＝a(0<≤1).若二面角C-AE-D的大小为600C,求的值。
分析:作二面角C-AE-D的平面角,关键是由平面AED(或平面AEC)内一点,作另一个平面的垂线,此垂线可以用垂面法寻找,所以只要从图形中寻找与平面AED或与平面AEC垂直的平面。
分析:∵SD平面ABCD,ＣＤ平面ＡＢＣＤ,∴SDCD.又底面ＡＢＣＤ是正方形,∴ＣDＡD,又ＳＤAD=D,∴CD平面SAD,∴平面SCD平面SAD。(即平面SCD就是要寻找的与平面SAD垂直的平面。又平面SCD平面SAD=.SD,所以只要在平面SCD内过点C作交线SD的垂线即可,显然CD就是过点C且与交线SD垂直的直线。)过点D在平面SAD内做DFAE于F,连接CF,则CFAE(根据三垂线定理或AE平面CDF),故CFD是二面角C-AE-D的平面角,即CFD=60°。在Rt△ADE中,∵AD=,DE=,AE=。于是,DF=,在Rt△CDF中,由tan60°=得=3,,解得=。
总之,用垂面法寻找面的垂线,切入点就是寻找面的垂面,然后由面面垂直得到线面垂直。垂面法是我们解决有关求点到平面的距离、直线和平面所成的角与二面角的重要方法之一。
【关键词】 垂面法 射影 距离 角
【中图分类号】 G423 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(b)-0085-02
我们在解立体几何问题时,经常会遇到要确定过平面外一点且与平面垂直的直线,即面的垂线,而垂线的确定关键是要确定点在平面上的射影。下面谈谈点在平面上的射影的确定方法及其应用。
1 垂面法
自一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这平面上的射影。由点在这平面上的射影的定义可知,要寻找平面外一点A在平面上的射影,关键是要确定垂足(垂线与平面的交点)。而我们知道平面若有垂线,则有过此垂线的垂面。所以要确定点A在平面上的射影,首先在图形中寻找过点A且与平面垂直的垂面,然后在垂面内过点A作两垂直平面和的交线a的垂线b,依据面面垂直的性质定理(如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线,就垂直于另一个平面)可知,直线b也是平面的垂线,两垂直平面和的交线a与垂线b的交点就是我们所以要确定的点A在平面上的射影。这里不妨把这种确定点在这平面上的射影的方法叫做垂面法。
2 垂面法求点到平面的距离
平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离。求点到平面的距离,关键是要作出过此点且与平面垂直的直线,此时可以用垂面法。例如:如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,为中点。求点Ｃ到平面的距离。
分析:因为ＡＢ∥ＣＤ,所以ＣＤ∥平面,则点Ｃ到平面ABM的距离等于D点到平面ABM的距离,要求D点到平面ABM的距离由垂面法可知,关键是找出过D点且与平面ABM垂直的平面。因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ,则ＰＡ⊥ＡＢ,又ＡＢ⊥ＡＤ,所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ,因此平面ＡＢＭ⊥平面ＰＡＤ.,所以平面ＰＡＤ就是要找的垂面。又平面ＡＢＭ平面ＰＡＤ=.ＡＭ,所以只要在平面ＰＡＤ内过点Ｄ作交线ＡＭ的垂线即可。因为在Rt△PAD中,,为中点,所以,因此ＰＤ就是过点Ｄ且与交线ＡＭ垂直的直线,垂足为Ｍ,由面面垂直的性质定理可知ＰＤ⊥平面ＡＢＭ.,ＤＭ就是点Ｄ到平面ABM的距离,又,则点Ｃ到平面ABM的距离等于。
3 垂面法求直线和平面所成的角
斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角。求直线和平面所成的角,关键是要作出此直线在在这平面上的射影,只要过斜足以外的一点向平面引垂线,此时可以用垂面法。例如:如图,在三棱锥中,底面
,点,分别是棱的中点。求与平面所成的角的正弦值。
分析:要求与平面所成的角,由垂面法可知,只要寻找出过上任一点(斜足除外)且与平面垂直的平面。
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC。又,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC。∴平面ＰＢＣ⊥平面PAC(即平面ＰＢＣ就是要寻找的与平面垂直的平面,又平面ＰＢＣ平面PAC=.DE,所以只要在平面ＰＢＣ内过点Ｄ作交线的ＰＣ垂线即可)。∵点,分别是棱的中点,∴DE//BC且,又BC⊥PC,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴DE⊥PC,垂足为点E(DE就是过点Ｄ且与交线PC垂直的直线,AE是AD在平面PAC上的射影)。∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角。∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB。∴△ABP为等腰直角三角形,∴。∴在Rt△ABC中,,∴.
∴在Rt△ADE中,。
4 垂面法求二面角
若利用三垂线定理作二面角的平面角(假设二面角为锐角),关键是由一个半平面内一点,作另一个半平面的垂线,此垂线可以用垂面法寻找。例如:如图,四棱锥S＝ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点,且DE＝a(0<≤1).若二面角C-AE-D的大小为600C,求的值。
分析:作二面角C-AE-D的平面角,关键是由平面AED(或平面AEC)内一点,作另一个平面的垂线,此垂线可以用垂面法寻找,所以只要从图形中寻找与平面AED或与平面AEC垂直的平面。
分析:∵SD平面ABCD,ＣＤ平面ＡＢＣＤ,∴SDCD.又底面ＡＢＣＤ是正方形,∴ＣDＡD,又ＳＤAD=D,∴CD平面SAD,∴平面SCD平面SAD。(即平面SCD就是要寻找的与平面SAD垂直的平面。又平面SCD平面SAD=.SD,所以只要在平面SCD内过点C作交线SD的垂线即可,显然CD就是过点C且与交线SD垂直的直线。)过点D在平面SAD内做DFAE于F,连接CF,则CFAE(根据三垂线定理或AE平面CDF),故CFD是二面角C-AE-D的平面角,即CFD=60°。在Rt△ADE中,∵AD=,DE=,AE=。于是,DF=,在Rt△CDF中,由tan60°=得=3,,解得=。
总之,用垂面法寻找面的垂线,切入点就是寻找面的垂面,然后由面面垂直得到线面垂直。垂面法是我们解决有关求点到平面的距离、直线和平面所成的角与二面角的重要方法之一。