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“临近中考，如何提高复习的效率成为同学们关注的热点.今天，我们一起来探讨这个问题.”Z老师简短的开场白点明了讲座的主题.
Z老师说：这是2006年安徽省的一道中考试题：如图1，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是 .
W同学说：在Rt△ABE和Rt△BCF中，AB=BC，由于∠BAE和∠CBF都是∠ABE的余角，所以∠BAE=∠CBF，于是△ABE≌△BCF，得BF=AE=1.由勾股定理，BC==.
Z老师说：请想一想，教材中有它的原型吗？
H同学说：在学习勾股定理时，曾利用过如下图形来推导勾股定理.我认为这是本题的原型.
Z老师说:我们以这道题为基础，进行拓展.题:如图2-1,在△ABC的外边作正方形ABEF和ACGH.先看第一问，①若ER⊥BC于R，GS⊥BC于S，求证：ER+GS=BC.
小清说：过A作AD⊥BC于D，问题就转化为图1所示的基本题.得GS=CD，ER=BD.所以，ER+GS=BD
+CD=BC.
Z老师说：再看第2问，②连结EG，取EG的中点T，过T作TK⊥BC于K，求证：TK=BC.
S同学说：由于ER∥GS.TK是梯形GERS的中位线，则TK=（ER+GS）=BC.
Z老师说：再看第三问，③AD是△ABC的BC边上的高，直线AD交FH于P，求证：FP=HP.
K同学说：过H作HQ⊥AD于Q，转化为基本题，得HQ=AD；过F作FL⊥AD于L，同理FL=AD，所以HQ=FL.又∠HPQ=∠FPL，导出△HQP≌△FLP，于是FP=HP.
Z老师说：第四问，④AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AM=FH.
W同学说：要证明FH是中线AM的两倍，延长中线AM到N，使MN=AM.连结BN，则BN∥AC，由于∠FAH和∠ABN都是∠BAC的补角，所以∠FAH=∠ABN.这样△FAH≌△ABN（SAS），有FH=AN=2AM，即AM=FH.
Z老师说：第5问，⑤作平行四边形AFZH，求证：AZ=BC，AZ⊥BC.
H同学说：本题与④有所类似，由于AB=AF，FZ=AH=AC，∠BAC和∠AFZ都是∠FAH的补角，得△AFZ≌△BAC.有AZ=BC.
延长ZA交BC于Y,由三角形全等得∠FAZ
=∠ABC，由于∠FAZ+∠BAY=90°，得∠ABY+∠BAY
=90°，所以AZ⊥BC.
Z老师说：请你们思考，△ABC与△AFH的面积之间有何联系？
L同学说：由④得△FAH≌△ABN，而△ABN与△ABC等积，所以△ABC和△AFH面积相等.
小清说：也可由⑤得△ABC≌△FAZ，而△FAZ和△FAH等积，所以△ABC和△AFH面积相等.这就证明了：如果两个三角形有两组对边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形面积相等.
Z老师说：大家分析得都很好.刚才小清提到的等积定理，今天我们用构造法给予了证明，当然今后还会有更简便的方法来证明它.
下面轻松一下，请大家口算一道题：如图3，分别以Rt△XYZ的直角边和斜边为边向形外作正方形AXZF、正方形BCYX、正方形DEZY.若直角边YZ=1,XZ
=2，则六边形ABCDEF的面积为.（2004年上海市初中数学竞赛题）
W同学说：注意到△ABX、△CDY、△EFZ与△XYZ等积.正方形BCYX的面积是另两个正方形面积的和，本题的结果是1+4+（1+4）+4××1×2=14.
Z老师问：讲座开始，用了两个字“如图”（见图2-1），它有什么意义？
一直在沉思的S同学说：如果∠B、∠C中有一个是钝角，结论①就不成立.请看图2-4，结果应是ER-GS=BC.
Z老师说：S同学说得很对，这就提醒我们，在由特殊情况归纳一般结论时，要注意思维的严谨性.图形既具有普遍性，又具有特殊性.∠B、∠C都是锐角时，图形都类同；但当其中一角为钝角时，图形就发生了改变.就是说，既要重视图形的直观启示，又要防止图形可能带来的误导.
小清在纸上画了画，说：对于④、⑤，结论仍成立.这样对导出的等积定理，我就放心了.
Z老师说：今天我们从一道题着手，通过“溯源”，寻找它在教材中的原型，又通过“拓展”，把与此相关的一批题串联起来，成为一个题列，在这一过程中，将相关的知识点连成一个“知识链”.坚持做这样的工作，抓住这些知识链，就能“纲举目张”，提高复习的实效.
小清说：这些相关的习题到哪里去寻找呢？
Z老师说：这也正是我想说的，它不会从“天上掉下来”，在平时的学习中我们要做个有心人，要注意积累.做习题卡片则是一种行之有效的方法.复习时，通过对知识的梳理，这些系列就逐步凸现出来，我们再加以整理、总结，就能构成“知识链”.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读”
Z老师说：这是2006年安徽省的一道中考试题：如图1，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是 .
W同学说：在Rt△ABE和Rt△BCF中，AB=BC，由于∠BAE和∠CBF都是∠ABE的余角，所以∠BAE=∠CBF，于是△ABE≌△BCF，得BF=AE=1.由勾股定理，BC==.
Z老师说：请想一想，教材中有它的原型吗？
H同学说：在学习勾股定理时，曾利用过如下图形来推导勾股定理.我认为这是本题的原型.
Z老师说:我们以这道题为基础，进行拓展.题:如图2-1,在△ABC的外边作正方形ABEF和ACGH.先看第一问，①若ER⊥BC于R，GS⊥BC于S，求证：ER+GS=BC.
小清说：过A作AD⊥BC于D，问题就转化为图1所示的基本题.得GS=CD，ER=BD.所以，ER+GS=BD
+CD=BC.
Z老师说：再看第2问，②连结EG，取EG的中点T，过T作TK⊥BC于K，求证：TK=BC.
S同学说：由于ER∥GS.TK是梯形GERS的中位线，则TK=（ER+GS）=BC.
Z老师说：再看第三问，③AD是△ABC的BC边上的高，直线AD交FH于P，求证：FP=HP.
K同学说：过H作HQ⊥AD于Q，转化为基本题，得HQ=AD；过F作FL⊥AD于L，同理FL=AD，所以HQ=FL.又∠HPQ=∠FPL，导出△HQP≌△FLP，于是FP=HP.
Z老师说：第四问，④AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AM=FH.
W同学说：要证明FH是中线AM的两倍，延长中线AM到N，使MN=AM.连结BN，则BN∥AC，由于∠FAH和∠ABN都是∠BAC的补角，所以∠FAH=∠ABN.这样△FAH≌△ABN（SAS），有FH=AN=2AM，即AM=FH.
Z老师说：第5问，⑤作平行四边形AFZH，求证：AZ=BC，AZ⊥BC.
H同学说：本题与④有所类似，由于AB=AF，FZ=AH=AC，∠BAC和∠AFZ都是∠FAH的补角，得△AFZ≌△BAC.有AZ=BC.
延长ZA交BC于Y,由三角形全等得∠FAZ
=∠ABC，由于∠FAZ+∠BAY=90°，得∠ABY+∠BAY
=90°，所以AZ⊥BC.
Z老师说：请你们思考，△ABC与△AFH的面积之间有何联系？
L同学说：由④得△FAH≌△ABN，而△ABN与△ABC等积，所以△ABC和△AFH面积相等.
小清说：也可由⑤得△ABC≌△FAZ，而△FAZ和△FAH等积，所以△ABC和△AFH面积相等.这就证明了：如果两个三角形有两组对边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形面积相等.
Z老师说：大家分析得都很好.刚才小清提到的等积定理，今天我们用构造法给予了证明，当然今后还会有更简便的方法来证明它.
下面轻松一下，请大家口算一道题：如图3，分别以Rt△XYZ的直角边和斜边为边向形外作正方形AXZF、正方形BCYX、正方形DEZY.若直角边YZ=1,XZ
=2，则六边形ABCDEF的面积为.（2004年上海市初中数学竞赛题）
W同学说：注意到△ABX、△CDY、△EFZ与△XYZ等积.正方形BCYX的面积是另两个正方形面积的和，本题的结果是1+4+（1+4）+4××1×2=14.
Z老师问：讲座开始，用了两个字“如图”（见图2-1），它有什么意义？
一直在沉思的S同学说：如果∠B、∠C中有一个是钝角，结论①就不成立.请看图2-4，结果应是ER-GS=BC.
Z老师说：S同学说得很对，这就提醒我们，在由特殊情况归纳一般结论时，要注意思维的严谨性.图形既具有普遍性，又具有特殊性.∠B、∠C都是锐角时，图形都类同；但当其中一角为钝角时，图形就发生了改变.就是说，既要重视图形的直观启示，又要防止图形可能带来的误导.
小清在纸上画了画，说：对于④、⑤，结论仍成立.这样对导出的等积定理，我就放心了.
Z老师说：今天我们从一道题着手，通过“溯源”，寻找它在教材中的原型，又通过“拓展”，把与此相关的一批题串联起来，成为一个题列，在这一过程中，将相关的知识点连成一个“知识链”.坚持做这样的工作，抓住这些知识链，就能“纲举目张”，提高复习的实效.
小清说：这些相关的习题到哪里去寻找呢？
Z老师说：这也正是我想说的，它不会从“天上掉下来”，在平时的学习中我们要做个有心人，要注意积累.做习题卡片则是一种行之有效的方法.复习时，通过对知识的梳理，这些系列就逐步凸现出来，我们再加以整理、总结，就能构成“知识链”.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读”