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摘 要：从2014年秋季学期起，纳入国家招生计划的全部新入学研究生需缴纳学费，这标志着我国全面实行研究生教育收费制度。虽然国家限定了研究生教育费用的最高收费标准，但是并未给出详细方案。应用纳什均衡和博弈理论，建立了全面收费制度下两个高校的研究生教育动态收费的数学模型，给出了研究生教育投入机制与奖助体系均衡满足的条件，并探讨了研究生教育投入机制与奖助体系对研究生教育收费的影响。
关键词：全面收费 投入机制 奖助体系
中图分类号：F230 文献标识码：A
文章编号：1004-4914（2016）09-237-03
一、引言
我国研究生教育投入机制与奖助体系从新中国成立后已经发展了60多年，在1985年以前，研究生教育经费全部由政府财政统一负担，研究生除了免除学费外，还享受不低于同等级机关干部工资标准的人民助学金。1985年以后，研究生教育的培养费或由委托单位交纳或由研究生自己交纳，同时研究生教育奖助体系也逐渐演变为普通奖学金和优秀奖学金等奖学金制度。2013年2月，国务院常务会议决定从2014年秋季学期起，纳入国家招生计划的全部新入学研究生需交纳学费，这标志着我国全面实行研究生教育收费制度。
很多欧美国家最初施行研究生教育也是免收学费的，但随着经济的发展及研究生招生规模的扩大，越来越多的国家实行了收费制度。美国从1643年安妮·默尔森（Anne Mowlsen）女士捐助贫困学生开始建立了奖助体系，从某种意义上来讲，美国高等教育与奖助体系是同时起步的。美国研究生教育学费相对比较昂贵（私立大学约$25000～$45000左右，公立大学约$10000～$20000左右），因此，许多研究生不得不通过争取奖学金来完成学业。美国颁布了一系列法案来完善投入机制与奖助体系，因此，美国也是世界上高等教育投入机制与奖助体系最完善的国家之一。英国从2012年开始实行研究生教育完全市场化，各个高校的各个专业可以采取不同的收费标准。法国研究生资助体系的一大特色是建立了国家一体化的奖、助、贷机制，各类资助由CNOUS（法国大学生事务管理中心）统一管理，直接向研究生发放，而不经过大学。
由于我国研究生教育全面收费制度刚刚起步，国家发改委、财政部、教育部虽然明确了全日制学术型研究生按照硕士生每生每年不超过8000元、博士生不超过10000元的标准，但却未给出详细的实施方案，因此，對于研究生教育的收费形式、投入机制与奖助体系还需不断摸索和借鉴总结。
二、问题描述及模型建立
本文考虑研究生教育水平相当的两个高校（A高校和B高校）的同一个专业分别招收研究生；且只有这两个高校；两个高校开始招生的时刻相近；两个高校在时段[0，T]内同时招收研究生。在招生起始时刻t=0时，两个高校的招生名额分别为NA、NB，到招生结束时刻t=T时，剩余招生名额的学费为0。为了简化问题，这里报考的研究生均被录取且不考虑研究生录取后退学的情况，并假设每个高校分别只制定全额学费（不享受奖助政策）和部分减免学费（享受奖助政策）两种收费政策，用P1K、P2K分别表示第K（K=A、B）个高校的全额学费、部分减免学费，且P1K>P2K。研究生在招生时段[0，T]的报考顺序满足泊松分布，每个研究生只能填报一个志愿，且研究生会根据学费的高低而考虑报考志愿。当A高校的学费为PiA（i=1，2），B高校的学费为PjB（j=1，2）时，k高校的招收密度为？姿iK，j（K=A，B），即k高校在单位时间内招收的研究生的数量。假设高校之间的竞争信息是完全对称的，各个高校互相知道对方当前的奖助体系和剩余招生名额。显然，高校招收研究生的数量受对方高校和自身制定的奖助体系有关，同时也要考虑各个高校的投入机制，假设当B高校的奖助标准大于A高校时，A高校的学费高于B高校，那么，报考B高校的研究生数量就会增加，即
类似的，招生数量与学费应满足如下关系，高校才会有提高奖助标准的动力，否则，高标准的奖助体系永远不会被采用。因此，下面的假设成立。
假设1：收入是学费的递减函数，即
在招收研究生时段[0，T]内的任一时刻t，当A、B两个高校剩余招生名额为（nA，nB）时，高校k（k=A、B）所面临的决策是确定剩余招生时段[t，T]内任一时刻s应当采用的学费Pk（s，nA，nB），使得自己高校的期望收入最大。
Pk（s，nA，nB）=P1K s时刻学院K采用高学费P2K s时刻学院K采用低学费 s∈[t，T]（3）
高校在确定研究生学费标准时要考虑奖助体系、招收研究生的数量、投入机制以及竞争高校的学费标准。高校的最优学费标准变化比无竞争状态时复杂，但是当两个高校的剩余招生名额（nA，nB）都不变时，高校各自的学费PK（s，nA，nB）随招生时间s递减。
假设2：当两个高校的剩余招生名额（nA，nB）都不变时，高校最优的学费PK随招生时间s递减，即
考虑招收研究生时段[0，T]内的任一时刻t，高校A、B剩余招生名额分别为nA和nB时，在下一位研究生报考之前，两个高校均没有招收研究生。两个高校确定各自高、低学费的切换时间分别为ZAnA，nB和ZBnA，nB，即高校k（k=A、B）在ZknA，nB之前使用高学费，ZknA，nB之后使用低学费，（3）式可明确表示为：
Pk（s，nA，nB）=P1K t≤s≤ZknA，nBP2K ZknA，nB 高校一直维持这种策略，直到s时刻，下一个研究生报考时，高校招收了一个研究生后，双方才根据从收取的学费中获得的新的招生信息调整和更新策略，进入下一轮博弈。如图1（见下页）所示。
如果在s时刻，高校A招收了一名研究生，则剩余招生名额变为（nA-1，nB），在剩余招生时段的博弈如图1中箭头A所示；如果在s时刻，高校B招收了一名研究生，则剩余招生名额变为（nA，nB-1），在剩余招生时段的博弈如图1中箭头B所示。如此继续下去，直到两个高校的招生名额全部用完或招生时间结束。由于研究生报考的随机性，研究生报考的时刻s是随机的，整个招生过程可用一个随机控制过程来描述。 研究生报考过程服从参数为？姿的泊松分布，则相邻时两个研究生报考的时间间隔服从参数为？姿的指数分布。
设在时段[t，z]内的研究生到达率为？姿1（即报考密度），时段[z，T]内的研究生到达率为？姿2。则从t时刻算起，下一个研究生报考的时刻s服从概率密度函数如下的指數分布：
应用上述引理，可建立随机事件“s时刻高校k招收一名研究生后，双方因高校k的剩余招生名额改变而转入下一轮博弈”的概率密度函数为：
由于问题的对称性，假设zA ≤zB 。用Vk（t，nA，nB）表示高校k（k=A、B）在给定状态（t，nA，nB）下的期望收益函数。若s时刻高校A以PA（s，nA，nB）的学费招收一名研究生，则高校A获得PA（s，nA，nB）的收入，同时还剩nA-1个名额，因而，此时高校A的期望收益为：PA（s，nA，nB）+VA（s，nA-1，nB），高校B的期望收益变为VB（s，nA-1，nB）；同理，若s时刻高校B以PB（t，nA，nB）的学费招收一名研究生时，两个高校的期望收益分别为：PB（s，nA，nB）+VB（s，nA，nB-1）和VA（s，nA，nB-1）。由（4）及（6）式，可给出t时刻两个竞争高校的剩余招生名额为nA和nB，切换时间分别是为z 和z 时，各自的期望收益函数。其中，高校A的期望收益函数为：
由此，可以得到使两个高校的期望收益最大化的均衡策略。
由（7）及（8）式可以看出，高校A的期望收益VA（t，n ，n ）不仅与自身策略z 有关，也与对手策略z 有关；而高校B的期望收益VB（t，n ，n ）也取决于双方的策略z 和z ，高校都希望通过调整自身策略z （k=A，B），以获得最大收益。对高校A来说，假设高校B的策略为z ，那么VA（t，n ，n ）对自身收费的切换点z 求偏导整理后得：
同理，高校B的期望收益VB（t，n ，n ）对自身收费的切换点z 求偏导后整理得：
当两个高校的收费切换点策略互为给定对手策略下的最优策略，即双方策略互为对手策略的最佳反应时，双方策略达到纳什均衡。均衡策略必定是对手策略一定的情况下使己方期望收益达到最大时的极值点。由于是在闭区间[t，T]上讨论问题，最大值也可能在区间端点取到。因此，两个高校的均衡策略点（z ，z ）是在闭区间[t，T]上的纳什均衡点，即当两个高校的收费切换点分别为z 和z 时，两个高校取得的收益最大。高校可以通过招生的动态情况及时调整高校的奖助体系，同时根据高校的收益情况来调整投入机制。
三、结论
本文从我国研究生招生的实际情况出发，尝（下转第240页）（上接第238页）试解决竞争环境下的高校收益管理动态收费问题，在适当的假设下得到了一些比较好的结果。但是，本文的研究只讨论了两个竞争高校， 各自只提供两种奖助体系的情况。在现实中，研究生教育水平相当的高校数量很多，每个高校都会设置多种奖助体系，因此，关于多样的奖助体系、多个高校模型的研究具有重大的实践意义。另外，本文的研究是针对完全信息的竞争情况，而事实上，高校对于自身的奖助体系并不是完全被其他高校尤其是竞争高校所知道，如何在不完全信息的条件下做出占优的收费决策，以及分析不同竞争对手的信息对自身策略的影响程度，确定对自身策略影响最大的一个或几个竞争对手，便于集中精力收集关于该对手的信息，就成为迫切需要研究的问题。
[基金项目：江苏省2015研究生教改立项课题（JGLX15_023）；江苏科技大学2014研究生教改课题（YJG2014Y_21）。]
参考文献：
[1] Feng Y， Xiao B. Integration of pricing and capacity allocation for perishable products[J]. European Journal of Operational Research， 2006（169）
[2] Netessine S， Shumsky R A. Revenue Management Games： Horizontal and Vertical Competition[ R] . Working Paper， 2004
[3] Lin K Y. A sequential dynamic pricing model and its applications[J] . Naval Research Logistics，2004（4）
[4] 罗利，萧柏春.收益管理理论的研究现状及其发展前景[J].管理科学学报，2004（5）
[5] Wu S-y，D.Banker R.Best Pricing Strategy for Information Services[J]. Journal of the Association for Information Systems，2010（6）
[6] Bertini M，Wathieu L.How to stop customers from fixating on price[J]. Harvard Business Review， 2010（5）
[7] Chen P y，Wu S y.The Impact and Implications of On-Demand Services on Market Structure[J]. Information Systems Research，2012（3）
[8] Davis L W， Muehlegger E.Do Americans consume too little natrual gas An empirical test of marginal cost pricing[J]. RAND Journal of Economics （Blackwell Publishing Limited）， 2010（4）
[9] 罗利，彭际华.竞争环境下的民航客运收益管理动态定价模型.系统工程理论与实践，2007（11）
[10] 衣萌，王腾飞，牟晖，徐淑贤.发达国家研究生收费制度与资助体系比较研究.学位与研究生教育，2014（5）
[11] 夏文莉.加强经管类本科生科研训练，培养创新性人才.价值工程，2012（8）
[12] 李春华；朱新坚.基于PEMWE的光伏氢能生产系统的性能分析.可再生能源，2012（9）
（作者单位：江苏科技大学财务处 江苏镇江 212003）
（作者简介：魏微，硕士研究生，高级审计师，主要研究方向：高校财务管理。）（责编：贾伟）
关键词：全面收费 投入机制 奖助体系
中图分类号：F230 文献标识码：A
文章编号：1004-4914（2016）09-237-03
一、引言
我国研究生教育投入机制与奖助体系从新中国成立后已经发展了60多年，在1985年以前，研究生教育经费全部由政府财政统一负担，研究生除了免除学费外，还享受不低于同等级机关干部工资标准的人民助学金。1985年以后，研究生教育的培养费或由委托单位交纳或由研究生自己交纳，同时研究生教育奖助体系也逐渐演变为普通奖学金和优秀奖学金等奖学金制度。2013年2月，国务院常务会议决定从2014年秋季学期起，纳入国家招生计划的全部新入学研究生需交纳学费，这标志着我国全面实行研究生教育收费制度。
很多欧美国家最初施行研究生教育也是免收学费的，但随着经济的发展及研究生招生规模的扩大，越来越多的国家实行了收费制度。美国从1643年安妮·默尔森（Anne Mowlsen）女士捐助贫困学生开始建立了奖助体系，从某种意义上来讲，美国高等教育与奖助体系是同时起步的。美国研究生教育学费相对比较昂贵（私立大学约$25000～$45000左右，公立大学约$10000～$20000左右），因此，许多研究生不得不通过争取奖学金来完成学业。美国颁布了一系列法案来完善投入机制与奖助体系，因此，美国也是世界上高等教育投入机制与奖助体系最完善的国家之一。英国从2012年开始实行研究生教育完全市场化，各个高校的各个专业可以采取不同的收费标准。法国研究生资助体系的一大特色是建立了国家一体化的奖、助、贷机制，各类资助由CNOUS（法国大学生事务管理中心）统一管理，直接向研究生发放，而不经过大学。
由于我国研究生教育全面收费制度刚刚起步，国家发改委、财政部、教育部虽然明确了全日制学术型研究生按照硕士生每生每年不超过8000元、博士生不超过10000元的标准，但却未给出详细的实施方案，因此，對于研究生教育的收费形式、投入机制与奖助体系还需不断摸索和借鉴总结。
二、问题描述及模型建立
本文考虑研究生教育水平相当的两个高校（A高校和B高校）的同一个专业分别招收研究生；且只有这两个高校；两个高校开始招生的时刻相近；两个高校在时段[0，T]内同时招收研究生。在招生起始时刻t=0时，两个高校的招生名额分别为NA、NB，到招生结束时刻t=T时，剩余招生名额的学费为0。为了简化问题，这里报考的研究生均被录取且不考虑研究生录取后退学的情况，并假设每个高校分别只制定全额学费（不享受奖助政策）和部分减免学费（享受奖助政策）两种收费政策，用P1K、P2K分别表示第K（K=A、B）个高校的全额学费、部分减免学费，且P1K>P2K。研究生在招生时段[0，T]的报考顺序满足泊松分布，每个研究生只能填报一个志愿，且研究生会根据学费的高低而考虑报考志愿。当A高校的学费为PiA（i=1，2），B高校的学费为PjB（j=1，2）时，k高校的招收密度为？姿iK，j（K=A，B），即k高校在单位时间内招收的研究生的数量。假设高校之间的竞争信息是完全对称的，各个高校互相知道对方当前的奖助体系和剩余招生名额。显然，高校招收研究生的数量受对方高校和自身制定的奖助体系有关，同时也要考虑各个高校的投入机制，假设当B高校的奖助标准大于A高校时，A高校的学费高于B高校，那么，报考B高校的研究生数量就会增加，即
类似的，招生数量与学费应满足如下关系，高校才会有提高奖助标准的动力，否则，高标准的奖助体系永远不会被采用。因此，下面的假设成立。
假设1：收入是学费的递减函数，即
在招收研究生时段[0，T]内的任一时刻t，当A、B两个高校剩余招生名额为（nA，nB）时，高校k（k=A、B）所面临的决策是确定剩余招生时段[t，T]内任一时刻s应当采用的学费Pk（s，nA，nB），使得自己高校的期望收入最大。
Pk（s，nA，nB）=P1K s时刻学院K采用高学费P2K s时刻学院K采用低学费 s∈[t，T]（3）
高校在确定研究生学费标准时要考虑奖助体系、招收研究生的数量、投入机制以及竞争高校的学费标准。高校的最优学费标准变化比无竞争状态时复杂，但是当两个高校的剩余招生名额（nA，nB）都不变时，高校各自的学费PK（s，nA，nB）随招生时间s递减。
假设2：当两个高校的剩余招生名额（nA，nB）都不变时，高校最优的学费PK随招生时间s递减，即
考虑招收研究生时段[0，T]内的任一时刻t，高校A、B剩余招生名额分别为nA和nB时，在下一位研究生报考之前，两个高校均没有招收研究生。两个高校确定各自高、低学费的切换时间分别为ZAnA，nB和ZBnA，nB，即高校k（k=A、B）在ZknA，nB之前使用高学费，ZknA，nB之后使用低学费，（3）式可明确表示为：
Pk（s，nA，nB）=P1K t≤s≤ZknA，nBP2K ZknA，nB
如果在s时刻，高校A招收了一名研究生，则剩余招生名额变为（nA-1，nB），在剩余招生时段的博弈如图1中箭头A所示；如果在s时刻，高校B招收了一名研究生，则剩余招生名额变为（nA，nB-1），在剩余招生时段的博弈如图1中箭头B所示。如此继续下去，直到两个高校的招生名额全部用完或招生时间结束。由于研究生报考的随机性，研究生报考的时刻s是随机的，整个招生过程可用一个随机控制过程来描述。 研究生报考过程服从参数为？姿的泊松分布，则相邻时两个研究生报考的时间间隔服从参数为？姿的指数分布。
设在时段[t，z]内的研究生到达率为？姿1（即报考密度），时段[z，T]内的研究生到达率为？姿2。则从t时刻算起，下一个研究生报考的时刻s服从概率密度函数如下的指數分布：
应用上述引理，可建立随机事件“s时刻高校k招收一名研究生后，双方因高校k的剩余招生名额改变而转入下一轮博弈”的概率密度函数为：
由于问题的对称性，假设zA ≤zB 。用Vk（t，nA，nB）表示高校k（k=A、B）在给定状态（t，nA，nB）下的期望收益函数。若s时刻高校A以PA（s，nA，nB）的学费招收一名研究生，则高校A获得PA（s，nA，nB）的收入，同时还剩nA-1个名额，因而，此时高校A的期望收益为：PA（s，nA，nB）+VA（s，nA-1，nB），高校B的期望收益变为VB（s，nA-1，nB）；同理，若s时刻高校B以PB（t，nA，nB）的学费招收一名研究生时，两个高校的期望收益分别为：PB（s，nA，nB）+VB（s，nA，nB-1）和VA（s，nA，nB-1）。由（4）及（6）式，可给出t时刻两个竞争高校的剩余招生名额为nA和nB，切换时间分别是为z 和z 时，各自的期望收益函数。其中，高校A的期望收益函数为：
由此，可以得到使两个高校的期望收益最大化的均衡策略。
由（7）及（8）式可以看出，高校A的期望收益VA（t，n ，n ）不仅与自身策略z 有关，也与对手策略z 有关；而高校B的期望收益VB（t，n ，n ）也取决于双方的策略z 和z ，高校都希望通过调整自身策略z （k=A，B），以获得最大收益。对高校A来说，假设高校B的策略为z ，那么VA（t，n ，n ）对自身收费的切换点z 求偏导整理后得：
同理，高校B的期望收益VB（t，n ，n ）对自身收费的切换点z 求偏导后整理得：
当两个高校的收费切换点策略互为给定对手策略下的最优策略，即双方策略互为对手策略的最佳反应时，双方策略达到纳什均衡。均衡策略必定是对手策略一定的情况下使己方期望收益达到最大时的极值点。由于是在闭区间[t，T]上讨论问题，最大值也可能在区间端点取到。因此，两个高校的均衡策略点（z ，z ）是在闭区间[t，T]上的纳什均衡点，即当两个高校的收费切换点分别为z 和z 时，两个高校取得的收益最大。高校可以通过招生的动态情况及时调整高校的奖助体系，同时根据高校的收益情况来调整投入机制。
三、结论
本文从我国研究生招生的实际情况出发，尝（下转第240页）（上接第238页）试解决竞争环境下的高校收益管理动态收费问题，在适当的假设下得到了一些比较好的结果。但是，本文的研究只讨论了两个竞争高校， 各自只提供两种奖助体系的情况。在现实中，研究生教育水平相当的高校数量很多，每个高校都会设置多种奖助体系，因此，关于多样的奖助体系、多个高校模型的研究具有重大的实践意义。另外，本文的研究是针对完全信息的竞争情况，而事实上，高校对于自身的奖助体系并不是完全被其他高校尤其是竞争高校所知道，如何在不完全信息的条件下做出占优的收费决策，以及分析不同竞争对手的信息对自身策略的影响程度，确定对自身策略影响最大的一个或几个竞争对手，便于集中精力收集关于该对手的信息，就成为迫切需要研究的问题。
[基金项目：江苏省2015研究生教改立项课题（JGLX15_023）；江苏科技大学2014研究生教改课题（YJG2014Y_21）。]
参考文献：
[1] Feng Y， Xiao B. Integration of pricing and capacity allocation for perishable products[J]. European Journal of Operational Research， 2006（169）
[2] Netessine S， Shumsky R A. Revenue Management Games： Horizontal and Vertical Competition[ R] . Working Paper， 2004
[3] Lin K Y. A sequential dynamic pricing model and its applications[J] . Naval Research Logistics，2004（4）
[4] 罗利，萧柏春.收益管理理论的研究现状及其发展前景[J].管理科学学报，2004（5）
[5] Wu S-y，D.Banker R.Best Pricing Strategy for Information Services[J]. Journal of the Association for Information Systems，2010（6）
[6] Bertini M，Wathieu L.How to stop customers from fixating on price[J]. Harvard Business Review， 2010（5）
[7] Chen P y，Wu S y.The Impact and Implications of On-Demand Services on Market Structure[J]. Information Systems Research，2012（3）
[8] Davis L W， Muehlegger E.Do Americans consume too little natrual gas An empirical test of marginal cost pricing[J]. RAND Journal of Economics （Blackwell Publishing Limited）， 2010（4）
[9] 罗利，彭际华.竞争环境下的民航客运收益管理动态定价模型.系统工程理论与实践，2007（11）
[10] 衣萌，王腾飞，牟晖，徐淑贤.发达国家研究生收费制度与资助体系比较研究.学位与研究生教育，2014（5）
[11] 夏文莉.加强经管类本科生科研训练，培养创新性人才.价值工程，2012（8）
[12] 李春华；朱新坚.基于PEMWE的光伏氢能生产系统的性能分析.可再生能源，2012（9）
（作者单位：江苏科技大学财务处 江苏镇江 212003）
（作者简介：魏微，硕士研究生，高级审计师，主要研究方向：高校财务管理。）（责编：贾伟）